Trường THPT Trịnh Hoài Đức - Trường Trung Học Chất Lượng Cao
Địa chỉ: DT745, Thạnh Lợi, An Thạnh, Thuận An, Bình Dương
Điện thoại: 0650.825477
Website: //thpttrinhhoaiduc.edu.vn/
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Định nghĩa :
vectơ \[\vec{u}\] được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \[∆\] nếu \[\vec{u}\] ≠ \[\vec{0}\] và giá của \[\vec{u}\] song song hoặc trùng với \[∆\]
Nhận xét :
- Nếu \[\vec{u}\] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[∆\] thì \[k\vec{u} [ k≠ 0]\] cũng là một vectơ chỉ phương của \[∆\] , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
- Phương trình tham số của đường thẳng \[∆\] đi qua điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\] và nhận vectơ \[\vec{u} = [u_1; u_2]\] làm vectơ chỉ phương là :
\[∆\] : \[\left\{\begin{matrix} x= x_{0}+tu_{1}& \\ y= y_{0}+tu_{2}& \end{matrix}\right.\]
-Khi \[u_1≠ 0\] thì tỉ số \[k= \dfrac{u_{2}}{u_{1}}\] được gọi là hệ số góc của đường thẳng.
Từ đây, ta có phương trình đường thẳng \[∆\] đi qua điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\] và có hệ số góc k là:
\[y – y_0 = k[x – x_0]\]
Chú ý: Ta đã biết hệ số góc \[k = \tan α\] với góc \[α\] là góc của đường thẳng \[∆\] hợp với chiều dương của trục \[Ox\]
3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Định nghĩa: Vectơ \[\vec{n}\] được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[∆\] nếu \[\vec{n}\] ≠ \[\vec{0}\] và \[\vec{n}\] vuông góc với vectơ chỉ phương của \[∆\]
Nhận xét:
- Nếu \[\vec{n}\] là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[∆\] thì k\[\vec{n}\] \[[k ≠ 0]\] cũng là một vectơ pháp tuyến của \[∆\], do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.
- Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Định nghĩa: Phương trình \[ax + by + c = 0\] với \[a\] và \[b\] không đồng thời bằng \[0\], được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Trường hợp đặc biết:
+ Nếu \[a = 0 => y = \dfrac{-c}{b}; ∆ // Ox\] hoặc trùng Ox [khi c=0]
+ Nếu \[b = 0 => x = \dfrac{-c}{a}; ∆ // Oy\] hoặc trùng Oy [khi c=0]
+ Nếu \[c = 0 => ax + by = 0 => ∆\] đi qua gốc tọa độ
+ Nếu \[∆\] cắt \[Ox\] tại \[A[a; 0]\] và \[Oy\] tại \[B [0; b]\] thì ta có phương trình đoạn chắn của đường thẳng \[∆\] :
\[\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\]
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng ∆1 và ∆2
có phương trình tổng quát lần lượt là :
a1x+b1y + c1 = 0 và a2x+b2y +c2 = 0
Điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\]] là điểm chung của ∆1 và ∆2 khi và chỉ khi \[[x_0 ;y_0]\] là nghiệm của hệ hai phương trình:
[1] \[\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y +c_{1} = 0& \\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}= 0& \end{matrix}\right.\]
Ta có các trường hợp sau:
a] Hệ [1] có một nghiệm: ∆1 cắt ∆2
b] Hệ [1] vô nghiệm: ∆1 // ∆2
c] Hệ [1] có vô số nghiệm: ∆1 \[ \equiv \]∆2
6.Góc giữa hai đường thẳng
Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành 4 góc.
Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2 thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2.
Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 900.
Trường hợp ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 00.
Như vậy góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 900
Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là \[\widehat{[\Delta _{1},\Delta _{2}]}\]
Cho hai đường thẳng:
∆1: a1x+b1y + c1 = 0
∆2: a2x+b2y + c2 = 0
Đặt \[\varphi\] = \[\widehat{[\Delta _{1},\Delta _{2}]}\]
\[\cos \varphi\] = \[\dfrac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}\sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}\]
Chú ý:
+ \[{\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {n_1} \bot {n_2}\] \[ \Leftrightarrow {a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2} = 0\]
+ Nếu \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\] có phương trình y = k1 x + m1 và y = k2 x + m2 thì
\[{\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {k_1}.{k_2} = - 1\]
7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng \[Oxy\] cho đường thẳng \[∆\] có phương trình \[ax+by+c=0\] và điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\]].
Khoảng cách từ điểm \[M_0\] đến đường thẳng \[∆\] kí hiệu là \[d[M_0,∆]\], được tính bởi công thức
\[d[M_0,∆]=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\]
Loigiaihay.com
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Quảng cáo
Cho đường thẳng d: ax + by + c= 0. Khi đó, một vecto pháp tuyến của đường thẳng d là n→[ a;b].
Một điểm M[x0; y0] thuộc đường thẳng d nếu: ax0 + by0 + c = 0.
Ví dụ 1: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 2x- 3y+ 7= 0 là :
A. n4→ = [2; -3] B. n2→ = [2; 3] C. n3→ = [3; 2] D. n1→ = [-3; 2]
Lời giải
Cho đường thẳng d: ax + by + c= 0. Khi đó; đường thẳng d nhận vecto [ a; b] làm VTPT.
⇒ đường thẳng d nhận vecto n→[ 2;-3] là VTPT.
Chọn A.
Ví dụ 2. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Ox?
A. n→[ 1; 1] B. n→[ 0; -1] C. n→[1; 0] D. n→[ -1; 1]
Lời giải
Đường thẳng song song với Ox có phương trình là : y + m= 0 [ với m ≠ 0] .
Đường thẳng này nhận vecto n→[ 0; 1] làm VTPT.
Suy ra vecto n'→[ 0; -1 ] cũng là VTPT của đường thẳng[ hai vecto n→ và n'→ là cùng phương] .
Chọn B.
Quảng cáo
Ví dụ 3: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Oy?
A. n→[ 1; 1] B. n→[ 0; -1] C. n→[2; 0] D. n→[ -1; 1]
Lời giải
Đường thẳng song song với Oy có phương trình là : x + m= 0 [ với m ≠ 0] .
Đường thẳng này nhận vecto n→[1;0] làm VTPT.
Suy ra vecto n'→[ 2; 0 ] cũng là VTPT của đường thẳng[ hai vecto n→ và n'→ là cùng phương] .
Chọn D.
Ví dụ 4. Cho đường thẳng ∆: x- 3y- 2= 0. Vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp tuyến của ∆?
A. n1→ = [1; -3] . B. n2→ = [-2; 6] . C. n3→ = [ ; -1]. D. n4→ = [3; 1].
Lời giải
Một đường thẳng có vô số VTPT và các vecto đó cùng phương với nhau.
Nếu vecto n→ ≠ 0→ là một VTPT của đường thẳng ∆ thì k.n→ cũng là VTPT của đường thẳng ∆.
∆ : x - 3y - 2 = 0 → nd→ = [1; -3] →
=> Vecto [ 3; 1] không là VTPT của đường thẳng ∆.
Chọn D
Ví dụ 5. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường phân giác góc phần tư thứ hai?
A. n→[ 1; 1] B. n→[0; 1] C. n→[1;0] D. n→[ 1; -1]
Lời giải
Đường phân giác của góc phần tư [II] có phương trình là x + y= 0. Đường thẳng này có VTPT là n→[ 1; 1]
Chọn A.
Quảng cáo
Ví dụ 6. Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?
A. 1. B. 2. C. 4. D. Vô số.
Lời giải
Một đường thẳng có vô số vecto pháp tuyến. Các vecto đó cùng phương với nhau.
Chọn D.
Ví dụ 7. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d: 2x- 19y+ 2098= 0?
A. n1→ = [2;0]. B. n1→ = [2;2098] C. n1→ = [2; -19] D. n1→ = [-19;2098]
Lời giải
Đường thẳng ax+ by+ c= 0 có VTPT là n→[ a; b] .
Do đó; đường thẳng d có VTPT n→[ 2; -19].
Chọn C.
Ví dụ 8: Cho đường thẳng d: x- 2y + 3 = 0. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A. A[3; 0] B. B[1;2] C. C[1;2] D. D[2;-1]
Lời giải
Ta xét các phương án :
+ Thay tọa độ điểm A ta có: 3 - 2.0 + 3 = 0 vô lí
⇒ Điểm A không thuộc đường thẳng d.
+ thay tọa độ điểm B ta có: 1 - 2.2 + 3 = 0
⇒ Điểm B thuộc đường thẳng d.
+ Tương tự ta có điểm C và D không thuộc đường thẳng d.
Chọn B.
Ví dụ 9: Cho đường thẳng d: 2x - 3y + 6 = 0. Điểm nào không thuộc đường thẳng d?
A. A[- 3;0] B. B[0;2] C. [3;4] D. D[1;2]
Lời giải
+ Thay tọa độ điểm A ta được: 2.[-3] - 3.0 + 6 = 0
⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d.
+ Thay tọa độ điểm B ta được: 2.0 - 3.2 + 6 = 0
⇒ Điểm B thuộc đường thẳng d.
+ Thay tọa độ điểm C ta có: 2.3 - 3.4 + 6 = 0
⇒ Điểm C thuộc đường thẳng d.
+ Thay tọa độ điểm D ta được : 2.1 - 3.2 + 6 = 2 ≠ 0
⇒ Điểm D không thuộc đường thẳng d.
Chọn D
Câu 1: Cho đường thẳng d: 2x + 3y - 8 = 0. Trong các vecto sau; vecto nào không là VTPT của đường thẳng d?
A. n1→[ 4; 6] B. n2→[-2;-3] C. n3→[ 4; -6] D. n4→[-6;-9]
Đáp án: C
Trả lời:
+ Đường thẳng d nhận vecto n→[ 2; 3] làm VTPT.
+ Lại có; vecto n1→ = 2n→; n2→ = - n→ và n4→ = - 3n→
=> Các vecto n1→; n2→; n4→ cùng phương với vecto n ⃗ nên ba vecto này cũng là VTPT của đường thẳng d.
Câu 2: Cho đường thẳng d: = 1. Tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng d?
A. n→[ 2;3] B. n→[ 3;2] C. n→[ 2; -3] D. n→[ -2;3]
Đáp án: B
Trả lời:
Đường thẳng d: = 1 ⇔ [d]: 3x + 2y - 6 = 0
⇒ Đường thẳng d nhận vecto n→[ 3;2] làm VTPT.
Câu 3: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d: x - 4y + 2018 = 0
A. n1→ = [1; 4]. B. n1→ = [4;1] C. n1→ = [2;8] D. n1→ = [-2;8]
Đáp án: D
Trả lời:
Đường thẳng ax + by + c= 0 có VTPT là n→[ a; b] .
Do đó; đường thẳng d có VTPT n→[1; - 4].
Lại có; n→[1; -4] và n'→[-2;8] cùng phương nên đường thẳng d nhận vecto n'→[-2;8] làm VTPT.
Câu 4: Cho đường thẳng d: 3x + 5y + 2018 = 0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. d có vectơ pháp tuyến n→ = [3; 5]
B. d có vectơ chỉ phương u→ = [5; -3]
C. d có hệ số góc k =
D. d song song với đường thẳng ∆ : 3x + 5y + 9080 = 0.
Đáp án: C
Trả lời:
Đường thẳng d: 3x+ 5y + 2018= 0 có:
Vecto pháp tuyến n→[3;5]
Vecto chỉ phương: u→[ 5; 3]
Từ 3x + 5y + 2018 = 0 suy ra: y = x +
Do đó đường thẳng d có hệ số góc k =
Hai đường thẳng d và ∆ có; = ≠ nên hai đường thẳng này song song với nhau.
Câu 5: Đường thẳng d: 12x - 7y + 5 = 0 không đi qua điểm nào sau đây?
A. M[1; 1] B. N[ -1; -1] C. P[- ; 0] D. Q[1; ] .
Đáp án: B
Trả lời:
Đặt f[ x; y] = 12x - 7y + 5. Ta thay tọa độ các điểm vào biểu thức f[x;y] ta được:
+ Thay tọa độ điểm M: f[1; 1] = 12.1 - 7.1 + 5 = 10 ≠ 0
⇒ điểm M không thuộc đường thẳng d.
+ Thay tọa độ điểm N[-1;-1]: f[-1; -1] = 12.[-1] – 7.[-1] + 5 = 0
⇒ điểm N thuộc đường thẳng d
+ Tương tự thay tọa độ điểm P và Q vào ta thấy P và Q không thuộc đường thẳng d.
Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có A[ 1; 2] ; B[ 2;4]. Tìm một VTPT của đường thẳng AC?
A. n→[ 1; -2] B. n→[ 2; 4] C. n→[-2; 1] D. n→[2; 1]
Đáp án: B
Trả lời:
Do tam giác ABC vuông tại A nên AB vuông góc AC.
⇒ Vecto AB→[ 1;2] là một VTPT của đường thẳng AC.
Mà AB→[ 1;2] cùng phương với vecto n→[ 2;4] nên đường thẳng AC nhận vecto
n→[ 2; 4]làm VTPT.
Câu 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Biết A[ 1; -4] và M[ -2; 3] là trung điểm của BC. Tìm một VTPT của đường thẳng BC?
A. n→[ 1; -4] B. n→[ 3;5] C. n→[3;-7] D. n→[5;-3]
Đáp án: C
Trả lời:
Do tam giác ABC cân tại A lại có AM là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao
⇒ AM vuông góc BC.
⇒ Đường thẳng BC nhận vecto MA→[ 3;-7] làm VTPT.
Câu 8: Cho đường thẳng d: 2x - 5y - 10 = 0. Trong các điểm sau; điểm nào không thuộc đường thẳng d?
A. A[5; 0] B. B[0; -2] C. C[-5; -4] D. D[-2; 3]
Đáp án:
Trả lời:
+ Thay tọa độ điểm A ta được :2.5 - 5.0 - 10 = 0
⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d.
+ Thay tọa độ điểm B ta được: 2.0 - 5.[-2] - 10 = 0
⇒ Điểm B thuộc đường thẳng d.
+ Thay tọa độ điểm C ta được : 2.[-5] - 5.[-4] – 10 = 0
⇒ Điểm C thuộc đường thẳng d.
+ Thay tọa độ điểm D vào ta được: 2.[-2] - 5.3 - 10 = - 29 ≠ 0
⇒ Điểm D không thuộc đường thẳng d.
Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp