Dạng 5: Khối chóp và phương pháp tỉ số thể tích
muốn tính thể tích khối chóp con trong khối chóp to, ta tính tỉ lệ các cạnh bên tương ứng của hai khối chóp. Từ đó suy ra được tỷ số thể tích.
II.Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC = $a\sqrt{2}$,SA vuông góc với đáy ABC , SA = a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng [m] qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN.
Bài giải:
Ta có $\bigtriangleup ABC$ vuông cân tại B, AC = $a\sqrt{2}$ suy ra AB = BC = a.
$\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{1}{2}a^{2}$.
Có: $\Rightarrow V_{SABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}.SA=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.a^{2}.a=\frac{a^{3}}{6}$
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. G là trọng tâm của tam giác $\Rightarrow \frac{SG}{SI}=\frac{2}{3}$.
Mặt phẳng [m] qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N.
$MN // BC \Rightarrow \frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SC}=\frac{SG}{SI}$
Vậy ta có: $\frac{V_{SAMN}}{V_{SABC}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$
$\Rightarrow V_{SAMN}=\frac{4}{9}.V_{SABC}=\frac{4}{9}.\frac{a^{3}}{6}=\frac{2}{27}a^{3}$.
Bài tập 2: Cho khối tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng [m] qua A, B và trung điểm M của SC. Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
Bài giải:
Ta kẻ MN // CD [ N thuộc SD]SD] thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng [ABM].
Ta có: $\frac{V_{SAND}}{V_{SADB}}=\frac{SN}{SD}=\frac{1}{2}\Rightarrow V_{SAND}=\frac{1}{2}V_{SADB}=\frac{1}{4}V_{SABCD}$.
$\frac{V_{SBMN}}{V_{SBCD}}=\frac{SM}{SC}.\frac{SN}{SD}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}V_{SABCD}.$
$\Rightarrow V_{SBMN}=\frac{1}{4}V_{SBCD}=\frac{1}{8}V_{SABCD}.$
Mà $V_{SABMN}= V_{SANB}+V_{SBMN}=\frac{3}{8}V_{SABCD}.$
$\Rightarrow V_{ABMNBCD}=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}V_{SABCD}.$
$\Rightarrow \frac{V_{SABMN}}{V_{ABMNBCD}}=\frac{3}{5}$
Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Tỉ số thể tích của khối lăng trụ Toán lớp 12, tài liệu bao gồm 11 trang có phương pháp giải chi tiết và bài tập có đáp án [có lời giải], giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi THPT môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.
Tài liệu Bài tập Tỉ số thể tích của khối lăng trụ có đáp án gồm các nội dung chính sau:
A. Phương phương giải
- Gồm phương pháp giải Bài tập Tỉ số thể tích của khối lăng trụ.
B. Bài tập minh họa
- Gồm 14 bài tập có đáp án và lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng Bài tập Tỉ số thể tích của khối lăng trụ.
Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:
Bài giảng Toán 12: Tỷ số thể tích
TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
a. Lăng trụ tam giác
Kết quả 1:
Gọi V là thể tích khối lăng trụ, là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ, là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó: V1=V3;V2=2V3
Ví dụ: Hình lăng trụ ABC.A'B'C'→VA'B'BC=13VABC.A'B'C';VA'B'ABC=23VABC.A'B'C'
Kết quả 2:
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Mặt phẳng α cắt các đường thẳng AA',BB',CC' lần lượt tại M,N,P [tham khảo hình vẽ bên]. Tính tỉ số VABC.MNPVABC.A'B'C' .
HD: Ta có VABC.MNP=VM.ABC+VA.BNPC
Lại có VM.ABC=13.dM;ABC.SΔABC=13.AMAA'.dA';ABC.SΔABC
=13.AMAA'.VABC.A'B'C'→VM.ABC=13.AMAA'.VABC.A'B'C'
Và SBNPC=h2.BN+CP; SBCC'B'=h2.BB'+CC'=h.BB'
⇒SBNPCSBCC'B'=h2.BN+CPh.BB'=12BN+CPBB'=12BNBB'+CPCC'.
Suy ra VA.BNPC=13.dA;BCC'B'.SBNPC
=13.dA;BCC'B'.12BNBB'+CPCC'.SBCC'B'=12BNBB'+CPCC'.VA.BCC'B'
Mà VA.BCC'B'=23VABC.A'B'C'⇒VA.BNPC=13.BNBB'+CPCC'.VABC.A'B'C'
Vậy VABC.MNP=13.AMAA'.VABC.A'B'C'+13.BNBB'+CPCC'.VABC.A'B'C'⇒VABC.MNPVABC.A'B'C'=13AMAA'+BNBB'+CPCC'
Công thức tính nhanh
VABC.MNPVABC.A'B'C'=13AMAA'+BNBB'+CPCC'
b. Khối hộp
Kết quả 1:
Gọi V là thể tích khối hộp, V1 là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp gồm hai đường chéo của hai mặt song song, V2 là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp ở các trường hợp còn lại. Khi đó: V1=V3;V2=V6
Ví dụ: Hình hộp ABCD.A'B'C'D'→VA'C'BD=13VABCD.A'B'C'D';VA'C'D'D=16VABCD.A'B'C'D'
þ Kết quả 2:
Cho hình lăng trụ tam giác ABCD.A'B'C'D'. Mặt phẳng α cắt các đường thẳng AA',BB',CC',DD' lần lượt tại M,N,P,Q [tham khảo hình vẽ bên].
Chứng minh rằng AMAA'+CPCC'=BNBB'+DQDD'
và VABCD.MNPQVABCD.A'B'C'D'=12AMAA'+CPCC'=12BNBB'+DQDD'
· Chứng minh AMAA'+CPCC'=BNBB'+DQDD'
Gọi I là tâm hình vuông ABCD; I' là tâm hình vuông A'B'C'D'.
Ta có: AMAA'+CPCC'=AM+PCAA'=2OIAA';
BNBB'+DQDD'=BN+DQBB'=2OI'BB'⇒AMAA'+CPCC'=BNBB'+DQDD'.
· Chứng minh VABCD.MNPQVABCD.A'B'C'D'=12AMAA'+CPCC'=12BNBB'+DQDD'
Chia khối đa diện thành hai khối đa diện ABC.MNP và ACD.MPQ;
Làm tương tự với thể tích khối lăng trụ tam giác;
Cộng thể tích hai khối đa diện ⇒VABC.MNPVABC.A'B'C'=14AMAA'+CPCC'+BNBB'+DQDD'
Mà AMAA'+CPCC'=BNBB'+DQDD'⇒VABCD.MNPQVABCD.A'B'C'D'=12AMAA'+CPCC'=12BNBB'+DQDD'
Công thức tính nhanh VABCD.MNPQVABCD.A'B'C'D'=14AMAA'+CPCC'+BNBB'+DQDD'=12AMAA'+CPCC'=12BNBB'+DQDD'
Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Tỉ số thể tích của khối chóp Toán lớp 12, tài liệu bao gồm 23 trang có phương pháp giải chi tiết và bài tập có đáp án [có lời giải], giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi THPT môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.
Tài liệu Bài tập Tỉ số thể tích của khối chóp có đáp án gồm các nội dung chính sau:
A. Phương phương giải
- Gồm phương pháp giải Bài tập Tỉ số thể tích của khối chóp.
B. Bài tập minh họa
- Gồm 30 bài tập có đáp án và lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng Bài tập Tỉ số thể tích của khối chóp.
Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:
Bài giảng Toán 12: Tỷ số thể tích
TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
a. Tỉ số thể tích của khối chóp tam giác
Công thức: VS.A'B'C'VS.ABC=SA'SA.SB'SB.SC'SC
Lưu ý: Công thức chỉ áp dụng với khối chóp có đáy là tam giác nên trong nhiều trường hợp ta cần chia nhỏ các khối đa diện thành các hình chóp tam giác khác nhau rồi mới áp dụng.
b. Tỉ số thể tích của khối chóp tứ giác
§ Trường hợp đặc biệt: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD [hoặc đa giác bất kỳ], mặt phẳng P song song với đáy cắt các cạnh bên SA,SB,SC,SD lần lượt tại A',B',C',D'.
Khi đó VS.A'B'C'D'VS.ABCD=k3; với SA'SA.SB'SB.SC'SC=SD'SD=k.
Chú ý: Công thức trên đúng với đáy n giác.
Trường hợp đáy là hình bình hành [hay gặp]
Bài toán: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng P cắt các cạnh SA,SB,SC,SD lần lượt tại A',B',C',D' sao cho SA'SA=x;SB'SB=y;SC'SC=z;SD'SD=t.
Khi đó 1x+1z=1y+1t và VS.MNPQVS.ABCD=xyzt41x+1y+1z+1t
B. BÀI TẬP MINH HỌA
| Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có thể tích V=18. Gọi M là trung điểm của SA, E là điểm đối xứng với B qua C. Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng SB và ME. a] Tính thể tích khối chóp MABE b] Tính thể tích khối chóp AMNBC c] Tính thể tích khối chóp SANE |
Lời giải
Vì E đối xứng với B qua C ⇒ C là trung điểm của BE.
Mà M là trung điểm của SB. SC∩ME=N
Suy ra N là trọng tâm ΔSBE→SNSC=23.
a] Ta có: SΔSBE=12dA→BC.BE=212dA→BC.BC=2.SABC
Và dS;ABCdM;ABC=SBBM⇒dM;ABC=12dS;ABC
Khi đó VM.ABE=13dM;ABC.SΔSBE
=12.2.13dM;ABC.SΔABC=VS.ABC=18.