\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right| > 0,\,\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right| > 0,...,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{2n}}}\\ \begin{array}{l} ....\\ {a_{n1}} \end{array}&\begin{array}{l} \\ {a_{n2}} \end{array}&\begin{array}{l} \\ {a_{nm}} \end{array} \end{array}} \right| > 0 \]
ii] [*] là dạng toàn phương xác định âm \[\Leftrightarrow {a_{11}} < 0\]
\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right| > 0,\,\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right| < 0,...,{[ - 1]^n}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{2n}}}\\ \begin{array}{l} ....\\ {a_{n1}} \end{array}&\begin{array}{l} \\ {a_{n2}} \end{array}&\begin{array}{l} \\ {a_{nm}} \end{array} \end{array}} \right| > 0 \]
7.4 Điều kiện đủ của cực trị địa phương
Giả sử \[\forall i,j = \overline {1,n} ;\,\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x_i}\partial {x_j}}}\] tồn tại và liên tục trong lân cận của điểm dừng \[{x_0} = \left[ {x_1^0,x_2^0,...,x_n^0} \right]\]
Nếu \[{d^2}f[{x_0}] = \sum\limits_{i,j = 1}^n {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x_i}\partial {x_j}}}} d{x_i}d{x_j}\] là dạng toàn phương xác định dấu của các biến \[dx_1, dx_2, dx_n\] thì f đạt cực trị địa phương tại x0. Khi đó, nếu \[d^2f[x_0] < 0\] thì f đạt cực đại tại x0 và nếu \[d^2f[x_0] > 0\] thì f đạt cực tiểu tại x0.
7.5 Cực trị hàm 2 biến
Giả sử \[\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}},\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}},\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}}\] tồn tai và liên tục tai \[M_0[x_0, y_0]\]. Giả sử \[\frac{{\partial f}}{{\partial x}}[{x_0},{y_0}] = \frac{{\partial f}}{{\partial y}}[{x_0},{y_0}] = 0\] [M0 là điểm dừng]
Đặt \[{a_{11}} = \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}[{x_0},{y_0}],{a_{12}} = \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}}[{x_0},{y_0}],{a_{21}} = \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial y\partial x}}[{x_0},{y_0}]\]và \[\Delta [{M_0}] = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right| = {a_{11}}{a_{22}} - {[{a_{12}}]^2}\]
Ta có:
- Nếu \[\Delta [{M_0}] < 0\] thì f không đạt cực trị tại \[[x_0,y_0]\]
ii] \[\left\{ \begin{array}{l} {a_{11}} > 0\\ \Delta [{M_0}] > 0 \end{array} \right.\] thì f đạt cực tiểu tại \[[x_0,y_0]\]
iii] \[\left\{ \begin{array}{l} {a_{11}} < 0\\ \Delta [{M_0}] > 0 \end{array} \right.\] thì f đạt cực đại tại \[[x_0,y_0]\]
Nhận xét:
- Khi \[\Delta [{M_0}] > 0\] thì a11 và a22 cùng dấu.
- Khi \[\Delta [{M_0}] = 0\] thì không có kết luận tổng quát.
Ví dụ:
\[f[x, y] = x^3 + y^3\] có \[\Delta \left[ {0,0} \right]{\rm{ }} =0\] và không đạt cực trị tại [0,0]
\[f=[x,y]=x^4+y^4\] có \[\Delta \left[ {0,0} \right]{\rm{ }} =0\] và đạt cực trị tại [0,0]
Ví dụ: Tìm cực trị [nếu có] của \[u = f[x,y]\] với \[f[x,y]\] là
\[i]{x^2} + {y^2} + 2x - 6y - 3\]
\[ii]{x^3} + {y^2} + 12xy + 1\]
\[iii]\,\,x + \frac{y}{{4x}} + \frac{1}{y} + 2\]
\[iv]\,\,3 - \sqrt {{x^2} + {y^2}}\]
\[v]\,\,xy\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9}}\]
\[vi]\,\,2{x^4} + {y^4} - {x^2} - 2{y^2} + 6\]
\[vii]\,\,{x^4} + {y^4} - {x^2} - {y^2} - 2xy + 5\]
Giải
- \[u{'_x} = \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 2x + 2,u{'_y} = 2y - 6\]
Tìm điểm dừng \[\left\{ \begin{array}{l} u{'_x} = 0\\ u{'_y} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = 3 \end{array} \right. \]
\[\begin{array}{l} {a_{11}} = u'{'_{xx}} = u{'_{{x^2}}} = \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}[ - 1,3] = 2,\,\,{a_2} = u{'_{{y^2}}} = \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}}[ - 1,3] = 2\\ \\ {a_{12}} = \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}}[ - 1,3] = \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial y\partial x}}[ - 1,3] = 0 \end{array}\]
\[\Rightarrow \Delta [ - 1,3] = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0\\ 0&2 \end{array}} \right| = 4 > 0 \]và \[a_{11}>0\]
⇒ Hàm đạt cực tiểu tại [-1,3] và UCT = -13
ii] \[u{'_x} = 3{x^2} + 12y,u{'_y} = 2y + 12x\]
\[\left\{ \begin{array}{l} u{'_x} = 0\\ u{'_y} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ y = 0 \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l} x = 24\\ y = - 14 \end{array} \right. \]
\[u'{'_{{x^2}}} = 6x,\,\,u'{'_{{y^2}}} = 2,\,\,u'{'_{xy}} = 12\]
\[\Delta [0,0] = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{12}\\ {12}&2 \end{array}} \right| = - 144 < 0 \Rightarrow u\]
\[\Delta [24, - 144] = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {144}&{12}\\ {12}&2 \end{array}} \right| = 144 > 0 \]và \[a_{11}=144>0\]
⇒ hàm đạt cực tiểu tại [24, -144]
Bạn đọc tự giải các ví dụ còn lại
7.6 Cực trị có điều kiện
Bài toán: Tìm cực trị của hàm \[z = f[{x_1},{x_2},...,{x_n}]\]thỏa mãn điều kiện [với m < n]:
\[[I]:\,\left\{ \begin{array}{l} {g_1}[{x_1},{x_2},...,{x_n}] = 0\,\,\,[1]\\ {g_2}[{x_1},{x_2},...,{x_n}] = 0\,\,\,[2]\\ ....\\ {g_m}[{x_1},{x_2},...,{x_n}] = 0\,\,\,[m] \end{array} \right. \]
Cách 1: Giả sử m < n và ta có
\[\left\{ \begin{array}{l} {g_1}[{x_1},{x_2},...,{x_n}] = 0\,\,\\ {g_2}[{x_1},{x_2},...,{x_n}] = 0\,\\ ...............\\ {g_m}[{x_1},{x_2},...,{x_n}] = 0\,\, \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = {h_1}[{x_{m + 1}},{x_{m + 2}},...,{x_n}]\\ {x_2} = {h_2}[{x_{m + 1}},{x_{m + 2}},...,{x_n}]\\ ............\\ {x_m} = {h_m}[{x_{m + 1}},{x_{m + 2}},...,{x_n}] \end{array} \right. \]
\[z = f[{x_{m + 1}},{x_{m + 2}},...,{x_n}]\] là hàm có n - m biến. Khi đó ta tìm cực trị không điều kiện của hàm n - m biến.
Ví dụ: Tìm cực trị của \[f\left[ {{x_1},x{}_2,{x_3},{x_4}} \right] = {\rm{ }}2{x_1} + {\rm{ x}}_2^3 + 5x_3^2 - 3{x_4}\]
thỏa điều kiện: \[[*]:\left\{ \begin{array}{l} {x_1} - x{}_2 + {x_3} - {x_4} = 3\\ {x_1} + x{}_2 - 5{x_3} + 3{x_4} = 1 \end{array} \right. \]
[ta có m = 2, n = 4 ]
\[[*] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = 2 + 2{x_3} - {x_4}\\ x{}_2 = - 1 + 3{x_3} + 2{x_4} \end{array} \right. \]
Thế vào biểu thức của hàm f ta có: \[f\left[ {{x_1},x{}_2,{x_3},{x_4}} \right] = {\rm{ }}2{x_1} + {\rm{ x}}_2^3 + 5x_3^2 - 3{x_4}\]
\[= 2[2 + 2x_3 - x_4] + [- 1 + 3x_3 - 2x_4]^3 + 5x^2_3 - 3x_4 = F[x_3,x_4] \]
Định lý [điều kiện cần]: Giả sử \[f,g_1,g_2,...,g_m\] có các đạo hàm riêng cấp 1 tại \[{x_0} = \left[ {x_1^0,x_2^0,x_3^0,...,x_n^0} \right]\] và f đạt cực trị tại x0. Khi đó tồn tại \[\lambda _1^0,\lambda _2^0,...,\lambda _m^0\] sao cho \[\frac{{\partial \phi [{x_0}]}}{{\partial {\lambda _j}}} = {g_j}[{x_0}] = 0,\,\forall j = \overline {1,m}\]và \[\frac{{\partial \phi }}{{\partial {x_k}}}[x_1^0,x_2^0,...,x_n^0,\lambda _1^0,\lambda _2^0,...,\lambda _m^0] = 0,\forall k = \overline {1,n}\]
Do đó để tìm cực trị có điều kiện, ta giải hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial \phi }}{{\partial {\lambda _i}}} = 0,j = \overline {1,m} \\ \frac{{\partial \phi }}{{\partial {x_k}}} = 0,k = \overline {1,n} \end{array} \right. \]
Định lý [điều kiện đủ]
Giả sử điều kiện cần của định lý trên được thỏa và \[\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x_i}\partial {x_j}}}\] tồn tai, liên tục tai điểm dừng x0 ứng với \[\lambda _0=[\lambda _1^0,\lambda _2^0,...,\lambda _m^0]\]. Đặt \[{a_{ij}} = \frac{{{\partial ^2}\phi [{x_0}{\lambda _0}]}}{{\partial {x_i}\partial {x_j}}},{b_{ij}} = \frac{{\partial {g_j}}}{{\partial {x_i}}} = \frac{{{\partial ^2}\phi }}{{\partial {x_i}\partial {\lambda _j}}}[{x_0}]\]
\[{H_k} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}} \cdots {a_{1k}}}&{{b_{11}}}&{{b_{12}} \cdots {b_{1m}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}} \cdots {a_{2k}}}&{{b_{21}}}&{{b_{22}} \cdots {b_{2m}}}\\ {.....}&{}&{}&{}\\ {{a_{k1}}}&{{a_{k2}} \cdots {a_{kk}}}&{{b_{k1}}}&{{b_{k2}} \cdots {b_{km}}}\\ {{b_{11}}}&{{b_{21}} \cdots {b_{k1}}}&0&{0 \cdots 0}\\ {{b_{12}}}&{{b_{22}} \cdots {b_{k2}}}&0&{0 \cdots 0}\\ {....}&{}&{}&{}\\ {{b_{1m}}}&{{b_{2m}} \cdots {b_{km}}}&0&{0 \cdots 0} \end{array}} \right|;k = 1,2,...,n \]
Đặt Hb là ma trận của Hn [nghĩa là Hn = |Hb|]. Ta có :
- Nếu \[{[ - 1]^m}{H_k} > 0,\forall k = \overline {m + 1,n} \Rightarrow f\] đạt cực tiểu thỏa điều kiện [I] tại x0
ii] Nếu \[{[ - 1]^k}{H_k} > 0,\forall k = \overline {m + 1,n} \Rightarrow f\] đạt cực đại thỏa điều kiện [I] tại x0.
Ví dụ 1: n = 4, m = 1
\[{H_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_1}}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_2}}}}\\ {\frac{{\partial g}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_2}}}}&0 \end{array}} \right|;\,\,{H_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_1}}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_2}}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_3}}}}\\ {\frac{{\partial g}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_2}}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_3}}}}&0 \end{array}} \right| \]; \[{H_4} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{{a_{14}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_1}}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{{a_{24}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_2}}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}&{{a_{34}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_3}}}}\\ {{a_{41}}}&{{a_{42}}}&{{a_{43}}}&{{a_{44}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_4}}}}\\ {\frac{{\partial g}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_2}}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_3}}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_4}}}}&0 \end{array}} \right| \]
Ta có:
- \[H_2 0, H4 \> 0 ⇒ f đạt cực tiểu
ii] H3 < 0, H4 \> 0 ⇒ f đạt cực đại.
Ví dụ:Tìm cực trị của hàm \[f[x,y,z] = 2x + y + 3z \]thỏa mãn điều kiện \[x^2 + 4y^2 - 2z^2 =35\] [1]
Cách 1: Dùng bất đẳng thức BCS.
Cách 2: Đặt \[g[x,y,z]=x^2+4y^2+2z^2-35\]
Đặt \[F[x,y,z,\lambda ] = f[x,y,z] + \lambda g[x,y,z] = 2x + y + 3z + \lambda [{x^2} + 4{y^2} + 2{z^2} - 35]\]
\[\begin{array}{l} \frac{{\partial F}}{{\partial x}} = 2 + 2\lambda x;\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = 1 + 8\lambda x\\ \\ \frac{{\partial F}}{{\partial z}} = 3 + 4\lambda x;\frac{{\partial F}}{{\partial \lambda }} = g = {x^2} + 4{y^2} + 2{z^2} - 35\\ \\ \frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial {x^2}}} = 2\lambda ;\frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial {y^2}}} = 8\lambda ;\frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial {z^2}}} = 4\lambda ;\frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial {\lambda ^2}}} = 0\\ \\ \frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial x\partial y}} = \frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial x\partial z}} = \frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial y\partial z}} = 0;\frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial \lambda \partial x}} = \frac{{\partial g}}{{\partial x}} = 2x\\ \\ \frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial \lambda \partial y}} = \frac{{\partial g}}{{\partial y}} = 8y;\frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial \lambda \partial z}} = \frac{{\partial g}}{{\partial z}} = 4z \end{array}\]
Điều kiện cần để F đạt cực trị tại \[[x,y,z,\lambda ]\]
\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial F}}{{\partial \lambda }} = g = {x^2} + 4{y^2} + 2{z^2} - 35 = 0\\ \frac{{\partial F}}{{\partial x}} = 2 + 2\lambda x = 0\\ \frac{{\partial F}}{{\partial y}} = 1 + 8\lambda y = 0\\ \frac{{\partial F}}{{\partial z}} = 3 + 4\lambda z = 0 \end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{ - 1}}{\lambda } = 8y\\ y = \frac{{ - 1}}{{8\lambda }}\\ z = \frac{{ - 3}}{{4\lambda }} = 6y\\ 64{y^2} + 4{y^2} + 2.36{y^2} - 35 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 4\\ y = \frac{1}{2}\\ z = 3\\ \lambda = \frac{{ - 1}}{4} \end{array} \right.\,hay\,\left\{ \begin{array}{l} x = - 4\\ y = - \frac{1}{2}\\ z = - 3\\ \lambda = \frac{1}{4} \end{array} \right. \]
- Xét tại \[[x,y,z,\lambda ] = \left[ {4,\frac{1}{2},3, - \frac{1}{4}} \right]\]
\[\frac{{\partial g}}{{\partial x}}[4;\frac{1}{2};3] = 8;\,\,\frac{{\partial g}}{{\partial y}}[4;\frac{1}{2};3] = 4;\,\,\frac{{\partial g}}{{\partial z}}[4;\frac{1}{2};3] = 12\]
\[\begin{array}{l} {a_{11}} = \frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial {x^2}}}[4;\frac{1}{2};3;\frac{{ - 1}}{4}] = \frac{{ - 1}}{2};\,\,\\ \\ {a_{22}} = \frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial {y^2}}}[4;\frac{1}{2};3;\frac{{ - 1}}{4}] = - 2;\,\\ \\ \,{a_{33}} = \frac{{{\partial ^2}F}}{{\partial {z^2}}}[4;\frac{1}{2};3;\frac{{ - 1}}{4}] = - 1 \end{array} \]
\[{a_{12}} = {a_{21}} = {a_{31}} = {a_{13}} = {a_{23}} = {a_{32}} = 0\]
Ta có: \[{H_b} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1/2}&0&0&8\\ 0&{ - 2}&0&4\\ 0&0&{ - 1}&{12}\\ 8&4&{12}&0 \end{array}} \right] \]
\[{H_1} = - 64;{H_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1/2}&0&8\\ 0&{ - 2}&4\\ 8&4&0 \end{array}} \right| > 0;\,{H_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1/2}&0&0&8\\ 0&{ - 2}&0&4\\ 0&0&{ - 1}&{12}\\ 8&4&{12}&0 \end{array}} \right| < 0 \]