Bài toán khó chưa có lời giải trên thế giới năm 2024

Theo IFL Science, câu đố hóc búa hàng nghìn năm được nhà toán học Thomas Bloom giải mã và đăng trên trang cá nhân của mình. Trước đó, phiên bản khác của bài toán này cũng được hai nhà toán học Erdős và Graham đặt ra và trao thưởng 500 USD cho ai giải được nó.

Đề bài được đưa ra như sau: Cho trước tập hợp các số nguyên dương, hỏi từ tập hợp này, có thể chọn ra những phần tử có tổng nghịch đảo bằng 1 được không? Hiểu đơn giản ví dụ chúng ta có tập {2, 4, 6, 8, 10, 12}. Yêu cầu đưa ra là bạn có thể lấy ra các số với tổng bằng 1 không.

Trong khi đó, bài toán biến tấu của Erdős – Graham là: Nếu tập A là tập con của tập N và A có mật độ dương, có tồn tại một tập con hữu hạn S của A mà tổng nghịch đảo các phần tử của nó bằng 1 không? Ví dụ với tập con của N có mật độ dương là A = {3,5,7,9,11...}, chúng ta có thể lấy một lượng đủ lớn các số tự nhiên liên tiếp mà xác suất để tồn tại một số thuộc vào A là khác 0 hay không.

Bài toán hóc búa được cho là không thể tìm ra lời giải. Ảnh: ILFS.

Câu hỏi nghe có vẻ đơn giản nhưng được một số nhà toán học cho rằng vấn đề này “hóc búa nhất từ trước đến nay”.

Nhà toán học Andrew Granville, Đại học Montreal, Pháp, trả lời tạp chí Quanta: “Tôi nghĩ đây là bài toán bất khả thi mà không ai có thể giải được. Tôi không thấy bất kỳ công cụ rõ ràng nào để có thể giải quyết nó”. Song, ông Bloom tình cờ tìm được đáp án trong bài báo cách đây 20 năm, in ở sách Biên sử Toán học năm 2003 của nhà toán học Ernie Croot.

Những gì ông Croot giải ra được gọi là “phiên bản tô màu” của bài toán Erdős – Graham. Bởi nó liên quan các tập con “tô màu”, tương tự việc phân chia tập A bằng cách loại bỏ các phần tử của A vào một số hữu hạn các hộp có màu khác nhau.

Sau đó, ông Bloom đã vận dụng những ý tưởng của Croot và giải trọn vẹn bài toán hóc búa. Ông cho rằng Croot đã chứng minh được trường hợp đặc biệt của bài toán này. “Phương pháp của Croot thực sự phi thường, ông ấy xứng đáng nhận được 99% công lao. Tất cả những gì tôi làm là đẩy thêm một chút vào cánh cửa mà ông ấy đã mở ra”, nhà toán học khiêm tốn nói.

Ý tưởng của ông Bloom là thay vì tìm các số có tổng nghịch đảo bằng 1, ta tìm các số có tổng nhỏ hơn, sau đó cộng bằng 1. “Ví dụ ta tìm được nhóm mà tổng nghịch đảo bằng 1/3 theo các cách khác nhau, chỉ cần cộng lại, chúng ta có kết quả là 1”, ông Bloom nói với tờ Quanta.

Cách giải bài toán hóc búa của nhà toán học Thomas Bloom. Ảnh: IFLS.

Với cách làm tưởng chừng như không thể đơn giản hơn, nhà toán học đã giải quyết được câu hỏi có nguồn gốc cách đây 3.500 năm. Tuy nhiên, ông vẫn đặt ra câu hỏi mới và tiếp tục đi tìm câu trả lời: Với tập A ⊂ N nào, chúng ta không thể tìm được tập con của A có tổng nghịch đảo các phần tử bằng 1?

SAT là một kỳ thi phổ biến nhằm sát hạch học sinh, sinh viên trong các kỳ thi tuyển sinh vào hệ đại học, cao đẳng tại Mỹ. Kỳ thi này được tiến hành và giám sát bởi hiệp hội College Board (một hiệp hội của các trường học và cao đẳng tại Mỹ).

Phần thi SAT Reasoning Test (còn được biết đến là SAT- I) sẽ kiểm tra khả năng tư duy logic và phân tích vấn đề của các thí sinh với mức điểm từ 600 đến 2.400 điểm. Trong mức giới hạn điểm này thí sinh có số điểm từ 1.800 trở lên có nhiều cơ hội cạnh tranh hơn khi nộp vào các trường đại học danh tiếng và uy tín. Đối với những tường đại học trong top 50 của bảng xếp hạng thì các thí sinh cần có số điểm trên 2.000.

Năm 1982, kỳ thi này đã đưa ra một bài toán khiến nhiều người tranh cãi gay gắt. Theo đó, chỉ có 3/300.000 thí sinh tham dự kỳ thi SAT năm ấy đưa ra đáp án đúng. Con số này tương ứng với tỷ lệ 0,001%.

Nhiều năm trôi qua, bài toán này vẫn được đánh giá là siêu hóc búa, khiến nhiều người căng não mỗi khi nhắc lại. Theo đó, đề bài cụ thể như sau:

Bán kính hình tròn B gấp 3 lần bán kính hình tròn A. Nếu hình A lăn xung quanh hình B, nó phải thực hiện bao nhiêu vòng quay để trở lại điểm xuất phát?

\=> Các phương án được đưa ra là 3/2, 3, 6, 9/2, 9 vòng.

Bài toán gây tranh cãi năm ấy

Rất nhiều người và cả phần lớn thí sinh dự kỳ thi SAT năm đó đều chọn phương án B là phương án trả lời đúng.

Nếu lấy hệ quy chiếu là vòng tròn A, nó chỉ tự quay quanh 3 vòng. Nhưng nếu hệ quy chiếu không nằm trên vòng A, nó đã quay được 4 vòng, vòng thứ tư là do vòng tròn B tặng thêm.

Ngày 25/5/1982, tờ Washington Post đã đăng tải 1 bài viết cho rằng cả 5 phương án trên đều sai. Theo lập luận của tác giả bài viết, câu hỏi nhắc đến "revolve" nghĩa là hình tròn A vừa tự xoay quanh nó vì xoay quanh hình tròn B. Đáp án thực sự của bài toán là 4 vòng. Như vậy cả 5 phương án lựa chọn không có phương án nào đúng.

Cách giải tham khảo của bài toán này như sau:

Cách 1: Quãng đường mà hình tròn A lăn được bằng quãng đường di chuyển của tâm hình tròn A. Tâm I của hình tròn A cách tâm hình tròn B một khoảng bằng 4 lần bán kính của hình tròn A (tương ứng, chu vi của đường tròn mà I vạch nên cũng gấp 4 lần chu vi hình A). Vì vậy, hình A phải thực hiện 4 vòng quay mới trở lại điểm xuất phát.

Cách 2: Dễ thấy chu vi hình B gấp 3 lần chu vi hình A. Chia đường tròn lớn thành 3 phần bằng nhau bởi 3 điểm M, N, P (hình vẽ), mỗi phần như vậy có độ dài bằng chu vi hình A. Khi hình A lăn từ M đến N theo chiều kim đồng hồ, bán kính nối tâm hình tròn A với điểm tiếp xúc giữa 2 hình tròn (bán kính màu đen) quét một góc 3600 1200.. Tương tự cho 2 phần còn lại, để hình A trở về điểm xuất phát thì bán kính màu đen quét 1 góc tổng cộng là 3x(3600 1200)=4x3600, tức 4 vòng quay.

Theo Nhịp sống Việt

Đây là các tác phẩm toán học của người Việt hiện được bảo tồn trong các thư viện và trong các bộ sưu tập tư nhân.