Cho P[x] là đa thức nguyên bậc 2 sao cho P[n] là số chính phương với mọi số tự nhiên n khác 0. Chứng minh rằng P[x] được viết dưới dạng bình phương của một nhị thức bậc nhất với các hệ số nguyên
Đã gửi 29-10-2022 - 18:30
Hoang72
Thiếu úy
- Điều hành viên OLYMPIC
- 532 Bài viết
Bài toán tổng quát ở đây.
Bài toán này có một cách khác.
Đặt $P[x] = ax^2+bx+c$.
Xét dãy $[u_n]$ xác định bởi $u_n = \sqrt{P[n]},\forall n\in\mathbb N^*$.
Thế thì $[u_n]\subset \mathbb N$.
Ta có $u_{n+1} - u_n = \sqrt{P[n+1]}-\sqrt{P[n]}=\frac{P[n+1] - P[n]}{\sqrt{P[n+1]} + \sqrt{P[n]}} = \frac{a[2n+1]+b}{\sqrt{a[n+1]^2 + b[n+1] + c} + \sqrt{an^2+bn+c}}$.
Lấy giới hạn ta có: $\lim_{n\to +\infty}[u_{n+1} - u_n] = \sqrt{a}$.
Suy ra $a$ là số chính phương. Đặt $a=d^2,d\in\mathbb N^*$.
Vì $[u_n]$ là dãy số nguyên nên $[u_{n+1} - u_n]$ cũng là dãy số nguyên, mà dãy này có giới hạn nguyên nên tồn tại $n_0\in\mathbb N^*$ mà: $$u_{n+1} - u_n = d,\forall n\geq n_0$$
$\Rightarrow u_n = u_{n_0} + [n-n_0]d = pn+q,\forall n\geq n_0\Rightarrow f[n] = [pn+q]^2,\forall n\geq n_0$.
Một nhị thức chỉ phân tích được nếu nó là một trong ba trường hợp sau: hiệu các bình phương, hiệu các lập phương hoặc tổng các lập phương. Một nhị thức là hiệu các bình phương nếu cả hai số hạng đều là số chính phương. Nhắc lại là chúng ta có thể phải phân tích thừa số chung trước.
Nếu xác định là nhị thức là hiệu các bình phương, thì chúng ta sẽ phân tích nó thành hai nhị thức. Nhị thức đầu tiên là căn bậc hai của số hạng đầu tiên trừ đi căn bậc hai của số hạng thứ hai. Nhị thức thứ hai là căn bậc hai của số hạng đầu tiên cộng với căn bậc hai của số hạng thứ hai.
Trong đại số, nhị thức là một đa thức với hai số hạng - tổng của hai đơn thức. Đây là dạng đa thức đơn giản nhất sau đơn thức.
Phép tính và những nhị thức đơn giản[sửa | sửa mã nguồn]
- Nhị thức có thể chuyển thành tích của hai nhị thức khác
Đây là trường hợp đặc biệt của một công thức chung hơn: .
Nó có thể mở rộng thành khi làm việc với các số phức
- Một nhị thức với lũy thừa được viết là
nhị thức này có thể khai triển bằng các phương pháp của định lý nhị thức, hoặc tương đương, sử dụng tam giác Pascal. Ví dụ, nhị thức chính phương có thể biểu diễn bằng cách bình phương số hạng thứ nhất thêm hai vào tích số hạng thứ nhất và thứ hai, cuối cùng là bình phương số hạng thứ hai, để có .
Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]
- Định lý nhị thức
- Hệ số nhị thức
Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]
- Weisstein, Eric. “Binomial”. Wolfram MathWorld. Truy cập ngày 29 tháng 3 năm 2011.
Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]
- L. Bostock, and S. Chandler [1978]. Pure Mathematics 1. ISBN 0-85950-092-6. pp. 36
❮ Bài trước Bài sau ❯
Câu hỏi và bài tập ôn tập cuối năm
Bài 22 [trang 227 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao]: Cho hàm số y = mx3 + x2 + x – 5. Tìm m để:
- y’ bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất
- y’ có hai nghiệm trái dấu
- y’ > 0 với mọi x.
Lời giải: