Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng là một dạng toán cơ bản trong dạng toán về đường tròn. Bài giảng trước thầy đã gửi tới các bạn bài giảng viết phương trình đường tròn biết tâm và bán kính, các bạn có thể xem qua. Để lập được phương trình đường tròn với dạng này chúng ta cùng tìm hiểu phương pháp làm dưới đây:
Phương pháp viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm
Giả sử cho đường tròn [C] và 3 điểm không thẳng hàng A, B, C. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C
Cách 1:
Bước 1: Gọi phương trình đường tròn [C] có dạng: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $a^2+b^2-c>0$
Bước 2: Thay tọa độ của 3 điểm A, B, C vào phương trình đường tròn [C] ta được một hệ 3 phương trình ẩn a, b và c.
Bước 3: Giải hệ trên ta được a, b và c.
Bước 4: Thay a, b và c vừa tìm được ở bước 3 vào phương trình đường tròn [C] đã gọi ở trên ta sẽ được phương trình đường tròn [C] cần tìm.
Cách 2:
Bước 1: Gọi tâm đường tròn là điểm $I[a;b]$. Vì 3 điểm A, B và C thuộc đường tròn nên ta có: $IA=IB=IC$. Từ đây ta cũng có hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{ll}IA^2=IB^2\\IA^2=IC^2\end{array}\right.$
Bước 2: Các bạn giải hệ phương trình trên cũng tìm được tọa độ của tâm $I$
Bước 3: Tìm bán kính $R=IA=IB=IC$
Bước 4: Thay tọa độ điểm I và bán kính R vào phương trình đường tròn dạng: $[x-a]^2+[y-b]^2=R^2$
Đối với cách 2 này cũng tương tự như cách 1.
Cách 3:
Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B và C có thể phát biểu thành bài toán viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Như vậy ta có thêm một cách phát biểu bài toán nữa và từ đây ta sẽ có thêm một cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng.
Gọi phương trình đường tròn có dạng: $[x-a]^2+[y-b]^2=R^2$
Bước 1: Tìm tọa độ trung điểm của hai trong 3 cạnh tam giác, giả sử là $AB$ và $BC$
Bước 2: Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ và $BC$
Bước 3: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường trung trực trên, giả sử là điểm $I$. Khi đó $I$ chính là tâm đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C.
Bước 4: Tính bán kính $R=IA=IB=IC$
Bước 5: Thay tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ vào phương trình đường tròn.
Chú ý: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường tung trực trong tam giác. Chúng ta xác định 2 đường trung trực là đủ rồi.
Trên đây là 3 phương pháp lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng. Để áp dụng các phương pháp trên chúng ta cũng tìm hiểu một số bài tập dưới đây.
Xem thêm bài giảng: Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn
Bài tập lập phương trình đương tròn đi qua 3 điểm
Bài tập 1: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm $A[1;2], B[5;2]$ và $C[1;-3]$
Hướng dẫn giải:
Với bài tập 1 này thầy sẽ hướng dẫn các bạn làm theo cách 1
Gọi phương trình đường tròn có dạng: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $a^2+b^2-c>0$
Vì đường tròn đi qua điểm $A[1;2]$ nên ta có:
$1^2+2^2-2.a.1-2.b.2-c=0\Leftrightarrow 2a+4b+c-5=0$ [1]
Vì đường tròn đi qua điểm $B[5;2]$ nên ta có:
$5^2+2^2-2.a.5-2.b.2-c=0\Leftrightarrow 10a+4b+c-29=0$ [2]
Vì đường tròn đi qua điểm $C[1;-3]$ nên ta có:
$1^2+[-3]^2-2.a.1-2.b.[-3]-c=0\Leftrightarrow 2a-6b+c-10=0$ [3]
Lấy [2] – [1] ta được: $8a=24\Leftrightarrow a=3$ [*]
Lấy [1] – [3] ta được: $10b=-5\Leftrightarrow b=-\frac{1}{2}$ [**]
Thay [*] và [**] vào [1] ta được: $2.3+4.[-\frac{1}{2}]+c-5=0\Leftrightarrow c=1$
Thay 3 giá trị của a, b và c tìm được ở trên vào phương trình đường tròn ta được:
$x^2+y^2-6x+y-1=0$
Bài tập 2: Lập phương trình đường tròn đi qua 3 điểm $A[1;2], B[3;2], C[5;0]$
Hướng dẫn giải:
Với bài tập 2 này thầy sẽ hướng dẫn các bạn làm theo cách 3.
Ở đây thầy sẽ tìm phương trình đường trung trực của 2 cạnh AB và AC.
Phương trình đường trung trực cạnh AB:
Gọi M là trung điểm của cạnh AB thì tọa độ của M là: $M[2;2]$
Ta có $\vec{AB}[2;0]$ sẽ là vecto pháp tuyến của đường trung trực AB.
Đường trung trực AB có phương trình là: $2[x-2]+0.[y-2]=0\Leftrightarrow x-2=0$
Phương trình đường trung trực cạnh AC:
Gọi N là trung điểm của cạnh AC thì tọa độ của N là: $N[3;1]$
Ta có $\vec{AC}[4;-2]$ sẽ là vecto pháp tuyến của đường trung trực AC.
Đường trung trực AC có phương trình là: $4[x-3]-2[y-1]=0\Leftrightarrow 2x-y-5=0$
Tọa độ tâm của đường tròn:
Gọi $I$ là giao điểm của 2 đường trung trực của AB và AC thì $I$ cũng là tâm của đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B và C. Tọa độ của $I$ thỏa mãn hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{ll}x-2=0\\2x-y-5=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}x=2\\y=-1\end{array}\right.$
Vậy tọa độ của điểm I là $I[2;-1]$
Ta có: $\vec{IA}[1;-3]\Rightarrow IA=\sqrt{10}$
Bán kính của đường tròn là $R=IA=\sqrt{10}$
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: $[x-2]^2+[y+1]^2=10$
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng: Phương pháp giải. Cho ba điểm A, B, C phân biệt không thẳng hàng. Khi đó mặt phẳng [ABC] có một vectơ pháp tuyến là i = AB, AC. Ví dụ 18. Viết phương trình mặt phẳng [ABC] biết A[1; -2; 4], B[3; 2; -1] và C[-2; 1; -3]. Ta có AB = [2; 4; -5], A = [-3; 3; -7]. Do đó n = AB, AC =[-13; 29; 18]. Vậy phương trình mặt phẳng [ABC] là -13[x – 1] + 29[y + 2] + 18[z — 4] = 0.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 30. Viết phương trình mặt phẳng [ABC] biết A[0; 0; 0], B[-2; -1; 3] và C [4; -2; 1]. Lời giải. Ta có AB =[-2; -1; 3], AC = [4; -2; 1]. Do đó m = AB, AC = [5; 14; 8]. Vậy phương trình mặt phẳng [ABC] là 5[x – 0] + 14[y – 0] + 8[z – 0] = 0. Bài 31. Viết phương trình mặt phẳng [ABC] biết A[0; 1; 0], B[2; 3; 1] và C[-2; 2; 2]. Ta có AB = [2; 2; 1], AC =[-2; 1; 2]. Do đó m = AB, AC = [3; –6; 6]. Vậy phương trình mặt phẳng [ABC] là x – 2y + 2x + 2 = 0.
4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến n→ =[AB→, AC→]Chú ý: Phương trình mặt phẳng [P] đi qua 3 điểm A[a;0;0]; B[0;b;0]; C[0;0;c] códạng là:x/a + y/b + z/c = 1 với a.b.c ≠ 0.Trong đó A ∈ Ox; B ∈ Oy; C∈ Oz. Khi đó [P] được gọi là phương trình mặtphẳng theo đoạn chắn.* Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm M và nhận hai vecto u→, v→ làmvecto chỉ phương1: Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [ P]: n→ = [u→, v→]2. Mặt phẳng [ P] đi qua điểm M và nhận vecto n làm VTPT=> Phương trình mặt phẳng [P].2. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểmA[1; -2; 0], B[1; 1; 1] và C[0; 1; -2]A. 9x- 3y+ 3z- 11= 0C. 9x- y- 3z- 11=0B. 9x+ y- 3z – 7= 0D. 9x- y+ 3z- 10= 0Hướng dẫn giải:Ta có: AB→[0;3;1]; AC→ => [AB→, AC→]= [ - 9; -1; 3]Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [ABC] ta cón→ cùng phương với [AB→, AC→]nên Chọn n→[ 9;1; -3] ta được phương trình mặt phẳng [ABC] là9.[ x – 1]+1.[y + 2] - 3[ z - 0] = 0 hay 9x + y – 3z – 7 = 0Chọn B.Ví dụ 2: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng [P] đi qua điểm M[5;4; 3] và cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC. Viếtphương trình mặt phẳng [P].A. x+ y+ z - 12 = 0C. x- y+ z – 4= 0B. x- y- z + 2= 0D. x+ y- z – 6= 0Hướng dẫn giải:Do mặt phẳng [P] cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB =OC nênA [a; 0; 0]; B[0; a; 0]; C[0; 0; a] ; [ a > 0]Phương trình mặt phẳng [P] theo đoạn chắn là: x/a + y/a + z/a = 1Do mặt phẳng [P] đi qua điểm M [5; 4; 3] nên ta có:5/a + 4/a + 3/a = 1 => 12/a = 1 => a = 12Khi đó, phương trình mặt phẳng [P] là: x/12 + y/12 + z/12 = 1 hay x+ y + z – 12 =0Chọn A.Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A[5; 1; 3], B[1; 6;2],C[5; 0; 4], D[4; 0; 6]. Mặt phẳng [P] đi qua hai điểm A, B và song song với đườngthẳng CD có phương trình là:A. x+ 4y+ z- 27= 0B. 10x+ 9y+ 5z- 74= 0C. 10x- 5y- 9z+ 22= 0D. Tất cả sai Hướng dẫn giải:Ta có: AB→[-4;5-1]; CD→[-1;0;-2] => [AB→, CD→] = [10; 9; 5]Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P]Do A, B thuộc mặt phẳng [P], mặt phẳng [P] song song với đường thẳng CD nênta có:nên n→ cùng phương với [AB→, CD→].Chọn n→ = [10;9;5]Vậy phương trình mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến n → và đi qua điểm A[5; 1; 3]là:10 [x – 5] + 9 [ y- 1] + 5 [ z – 3] = 0 hay 10x + 9y + 5z – 74 = 0Chọn B.Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua M[ 2; -1; 2]và nhận haivecto u→[1;2;3] và v→[-2;1;0] làm vecto chỉ phương?A. 3x+ 6y- 5z+ 1= 0B. – 3x- 6y + 5z- 10= 0C. 3x+ 5y- 6x+ 8= 0D. 3x- 6y+ 5z+ 1= 0Hướng dẫn giải:Ta có hai vecto u→[1;2;3] và v→[-2;1;0] là vecto chỉ phương của mặt phẳng [P]nên một vecto pháp tuyến của mp [P] là: n→ = [u→,v→] = [- 3; - 6; 5]Mặt phẳng [P] nhận n→ làm vecto pháp tuyến và đi qua điểm M[ 2; -1; 2 ] nênphương trình mặt phẳng [ P] là:-3[ x- 2] – 6 [ y+ 1] + 5[ z-2]= 0 hay – 3x- 6y+ 5z - 10= 0Chọn B. Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua A[ 2; -3; 4]; B[2; 1; -3] và mặtphẳng [P] nhận vecto u→[ 2; 0; 1] làm vecto chỉ phương ?A. 2x- 7y- 4z- 9= 0B. 2x- 5y+ 3z – 9= 0C. 2x+ 5y- 7z+ 10= 0D. 2x+ 7y- 4z+ 10= 0Hướng dẫn giải:+ Ta có: AB→[0; 4; -7]+ Lại có mặt phẳng [ P] nhận vecto u→[ 2; 0; 1] làm vecto chỉ phương nên mộtvecto pháp tuyến của mp[ P] là: n→ = [u→;AB→] = [-4; 14; 8]= -2[ 2; -7; -4]=> Phương trình mặt phẳng [ P] đi qua A[2; -3; 4] và nhận n→ làm VTPT là:2[ x-2] – 7[ y+ 3] – 4[ z- 4] =0 hay 2x – 7y - 4z- 9=0Chọn A.Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng1. Phương pháp giải+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M [x o; yo; zo] và có vecto pháptuyến n→[A:B:C] là:A[x – xo] + B[ y – yo] + C[z- zo ] = 0+ Cho trước hai điểm A và B. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB :• Gọi I là trung điểm của AB. Suy ra tọa độ điểm I [ áp dụng công thức trung điểmcủa đoạn thẳng].• Mặt phẳng trung trực của AB đi qua điểm I và nhận AB→ làm vecto pháp tuyến=> Phương trình mặt phẳng trung trực của AB.2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hai điểm A[ 2; 1; 0] và B[-4 ; -3; 2] . Viết phương trình mặt phẳngtrung trực của AB?A. 3x + 2y - z+ 6= 0B. 6x- 4y + 4z+ 3= 0C. 3x – 2y – 2z+ 4= 0D. 6x + 4y + 4z+ 1= 0Hướng dẫn giải:+ Gọi [P] là mặt phẳng trung trực của AB.=> Mặt phẳng [ P] nhận AB→ [- 6; -4; 2] làm vecto pháp tuyến. Chọn n→ [ 3; 2;-1]+ Gọi I là trung điểm của AB; tọa độ điểm I là:=> I[ -1; - 1; 1]+ Mặt phẳng [ P] qua I [- 1; -1; 1] và vecto pháp tuyến có phương trình là:3[ x+ 1]+ 2[ y+ 1] – 1[ z – 1] = 0 hay 3x + 2y – z + 6 = 0Chọn A.Ví dụ 2: Cho hai điểm A[ 0; 2; -3] và B[ 4; -4; 1]. Gọi M là trung điểm củaAB.Viết phương trình mặt phẳng trung trực của OM?A. 2x + y +z+ 3= 0B. 2x + y - z+ 3= 0