Đạo hàm là nói về độ dốc!
| Độ dốc = thay đổi theo Y/ thay đổi theo X | |
| Chúng ta có thể tìm một giá trị trung bình giữa 2 điểm: | |
| Chúng ta có thể tìm một giá trị trung bình giữa 2 điểm: | |
| Nhưng làm sao tìm được độ dốc tại một điểm? Thật sự không có gì để đo! | |
| Nhưng, với đạo hàm chúng ta sử dụng một sự khác biệt nhỏ sau đó co giá trị về 0 |
Bây giờ chúng ta hãy tìm Đạo Hàm
Để tìm đạo hàm của một hàmy = f[x], chúng ta sử dụng công thức độ dốc:
Slope = Change in Y /Change in X = Δy/Δx
Từ đồ thị chúng ta thấy rằng:
x thay đổi từx tớix+Δx
y thay đổi từ f[x] tớif[x+Δx]
Từ đó áp dụng các bước sau:
- Δy/Δx = f[x+Δx] f[x]/Δx
- Rút gọn theo cách tốt nhất
- Cuối cùng làmΔx dần tới Zero [0]
Ví dụ ta có hàm: f[x] = x2
Dễ thấy ta đã cóf[x] = x2 và có thể tínhf[x+Δx]
f[x+Δx] = [x+Δx]2
=>f[x+Δx] = x2 + 2x Δx + [Δx]2
Từ công thức độ dốc: f[x+Δx] f[x]/Δx
Thay thếcác giá trị đã có vào công thức ta được
x2 + 2x Δx + [Δx]2 x2 /Δx
Rút gọn x2: 2x Δx + [Δx]2 /Δx
Rút gọnΔx:2x + Δx
KhiΔx dần tới 0 ta có: 2x
Kết luận: Đạo hàm của x2bằng 2x
Chúng ta viết dxthay choΔxhướng về0 vì vậy đạo hàm thường được viêt d/dx
đạo hàmx2 bằng2x
hoặc đơn giản làd dx of x2 bằng2x
Có nghĩa là, hàmx2, có độ dốc hoặc tỉ lệ thay đổi ở bất cứ điểm nào đều bằng2x.
Vì vậy khix=2 độ dốc2x = 4, như đồ thị bên cạnh:
Hoặc khi x=5 độ dốc2x = 10, vân vân.
Ghi chú: thỉnh thoảngf[x] cũng được sử dụng với nghĩa làđạo hàm của:
f[x] = 2x
Đạo hàm của f[x] bằng 2x
hoặc đơn giản làf- phẩy x bằng 2x
Example: What is
We know f[x] = x3, and can calculate f[x+Δx] :
f[x+Δx] = [x+Δx]3
Expand [x + Δx]3:f[x+Δx] = x3 + 3x2 Δx + 3x [Δx]2 + [Δx]3
Công thức độ dốc:
x3 + 3x2 Δx + 3x [Δx]2 + [Δx]3 x3/ Δx
Tối giản [x3vàx3]:
3x2 Δx + 3x [Δx]2 + [Δx]3/Δx
Tiếp tục tối giản[chiaΔx]: = 3x2 + 3x Δx + [Δx]2
KhiΔx dần tới 0:
Đạo hàm và những hàm khác
Học thuộc các quy tắc đạo hàm:
Ví dụ: Đạo hàm sin[x] = cos[x]
Quy tắc
Thu nhỏ giá trị về Zero [0] thực ra được viết là limit [giới hạn]
Hiểu là:Đạo hàm của hàm f bằng giới hạn khi Δx đi về 0 của f[x + Δx] f[x] trên Δx.
Thỉnh thoảng đạo hàm được viết là dy/dx.
QUAN TRỌNG
Hãy học các quy tắc đạo hàm ở đây các quy tắc đạo hàm
Đạo hàm là nói vềsự thay đổi
Cho biết một thứ đang thay đổi nhanh như thế nào [được gọi là tỉ lệ thay đổi rate of change] ở một điểm.
Trong bàiĐạo hàm derivative[xin vui lòng đọc bài này trước] chúng ta tìm hiểu làm sao làm một đạo hàm bằng giới hạn [limits].
Ở đây, sử dụng quy tác dy/dx [cũng được gọi là quy tắc Leibniz] thay vì giới hạn [limits]
Gọi hàm y:
y = f[x]
1. Thêm Δx
Khi x tăng theo Δx, thì y tăng theo Δy
y + Δy = f[x + Δx]
2. Trừ 2 công thức
Từ : y +Δy = f[x +Δx]
Trừ : y = f[x]
Có được: y +Δy y = f[x +Δx] f[x]
Tối giản có được: Δy = f[x +Δx] f[x]
3.Tỉ lệ thay đổi
Để có tỉ lệ thay đổi chúng ta chia choΔx:
4. Giảm giá trị Δx dần tới 0
Δx không thể bằng 0 [vì nó là mẫu số], nhưng chúng ta có thể hướng giá trị của nó dần tới 0, và gọi là dx:
Δx
vì vậy, bạn cũng có thể nghĩ dx là cực nhỏ hay vô cùng nhỏ.
Tương tự như vậyΔy trở nên rất nhỏ và chúng ta gọi là dy, nên ta có:
Ví dụ:
f[x] = x2
| f[x] = x2 | |
| mở rộng[x+dx]2 | |
| tối giản[x2-x2=0] | |
| tối giản dx | |
| khi dx dần tới 0 |
Nam và Minh đang đi du lịch bằng ô tô nhưng đồng hồ tốc độ bị hư.
Nam: Bây giờ chúng ta đang đi tốc độ bao nhiêu?
Minh: Chờ một chút
Phút trước chúng ta đi đươc 1.2 km, vì vậy chúng ta đang đi : 1.2 km/phút x 60 phút = 72 km/h
Nam: oh Minh! không phải là tốc độ trung bình cho phút hay giây đã đi, điều tôi muốn biết là tốc độ BÂY GIỜ?
Minh: OK, chúng ta đo nó ở đây ở biển báo này!
Ngay bây giờ chúng ta đang ở giây thứ 0 và khoảng cách đi được là 0 mét. vậy thì tốc độ đi được là 0m/0s = TÔI KHÔNG BIẾT! [không được chia cho 0].
Tôi không thể tính được nó Nam! Tôi cần biết một khoảng cách nhất định trên thời gian nào đó, và với thời gian bằng 0 thì không thể tính được.
Bạn có nghĩ là sẽ tính được tốc độ của ô tô ở bất cứ thời điểm nào không?
Thậm chí cả đồng hồ đo tốc độ [khi nó đang làm việc], nó chỉ hiển thị giá trị trung bình chúng ta đã đi nhanh như thế nào trong một khoảng thời gian ngắn [ví dụ 2 phút nó cập nhật kết quả 1 lần chẳng hạn].
VẬY LÀM SAO ĐỂ ĐẠT TỚI GIÁ TRỊ GẦN CHÍNH XÁC NHẤT?
Câu chuyện trên của chúng ta chưa dừng ở đó !
Nam và Minh ra khỏi xe, vì họ đã tới nơi. Minh là một vận động viên nhào lộn.
Minh sẽ nhảy xuống từ độ cao 20 m, trong khi đó Nam là một Photographer, anh ta hỏi Minh: Tốc độ rơi của cậu trong 1 giây là bao nhiêu?
Minh sử dụng một công thức đơn giản để tính khoảng cách rơi được trong 1 s:
d = 5 * t *t
trong đó: d là khoảng cách rơi [m]
t: thời gian từ lúc nhảy [s : giây]
ví dụ:
trong 1s Minh rơi được: d = 5t2 = 5 × 12 = 5 m
Thế còn tốc độ rơi thì sao:
tôc độ = khoảng cách / thời gian
với tốc độ 1s
tốc độ = 5 m/ 1s = 5 m/s
Nhưng đó vẫn chỉ là tốc độ trung bình trong một giây từ lúc cậu nhảy, điều tôi muốn là tốc độ tại thời điểm 1 giây, tôi có thể cài đặt chính xác qua CAMERA.
tốc độ = [5-5 m] / [1-1 s] = ????
Từ trước tới giờ Nam vẫn luôn có 1 vấn đề:
Làm sao đo được tốc độ tại một thời điểm nhất định?
Cái gì là khoảng cách? cái gì là sự khác biệt về thời gian?
Cả 2 đều bằng 0, chẳng có gì để làm việc với 2 con số đó!
Nhưng Minh nảy ra một ý tưởng, ở một thời điểm cực kỳ ngắn thì chắc sẽ không có vấn đề gì!
Minh sẽ không đưa ra một giá trị cụ thể, nhưng sẽ tạm gọi nó là Δt [được gọi làdelta t].
Và Minh sẽ làm việc với thời gian giữa t và t +Δt.
Ở một giây Minh đã rơi:
d = 5t2 = 5 × [1]2 = 5 m
vậy ở 1 +Δt Minh đã rơi :
d = 5t2 = 5 × [1+Δt]2 m
Chúng ta có thể phân tích ra từ[1+Δt]2:
| [1+Δt]2 | = [1+Δt][1+Δt] |
| = 1 + 2Δt + [Δt]2 |
Và chúng có được:
d= 5 × [1+2Δt+[Δt]2] m= 5 + 10Δt + 5[Δt]2 m
Vì vậy giữa khoảng thời gian 1 svà[1+Δt]s Minh đã rơi được:
| Khoảng cách d thay đổi | = [5 + 10Δt + 5[Δt]2] 5 m |
| = 10Δt + 5[Δt]2 m |
Và lấy khoảng cách chia thời gian chúng ta có được tốc độ rơi:
| Speed | = 10Δt +5[Δt]2 mΔt s |
| = 10 + 5Δt m/s |
Với tốc độ10 + 5Δt m/s, Minh nghĩ về giá trịΔt anh ta muốnΔt là rất nhỏ sẽ không có vấn đề gì anh ta nghĩ ngay đến giá trị nhỏ nhất là 0 và anh ta có được:
Tốc độ = 10 m/s
Thật là tuyệt, bây giờ Minh đã có câu trả lời, một con số hoàn toàn khác với tốc độ trung bình [5 m/s].
Minh: Chính xác thì tớ rơi ở tốc độ 10 m/s
Nam: Tôi nhớ là bạn nói không thể tính nó?
Minh: Đó là trước khi tôi sử dụng vi phân!
Vâng, đó là vi phân!
Từ vi phân trong tiếng La Tinh có nghĩa là small stone tạm dịch là hòn đá nhỏ. Hiểu nôm na là tìm kiếm những phần nhỏ.
Nhưng vi phân có 2 loại, tên gọi chính xác của 2 loại đó trong tiếng anh là:
Differential Calculus [Vi phân]: Chia nỏ một thứ thành nhiều phần nhỏ để tìm thấy sự thay đổi. [ví dụ ở trên là chia nhỏ thời gian để thấy sự thay đổi của tốc độ rơi]
Integral Calculus[Tích phân]: Liên kết các phần nhỏ lại với nhau để xem tổng là bao nhiêu.
Vi phân và Tích phân thì ngược nhau, giống như chia và nhân vậy.
Chúng ta hãy thử một ví dụ khác nhé, với hàmy = x3
Độ dốc của hàm y = x3tại x=1 ?
x = 1, y = 13 = 1
x = [1+Δx], y = [1+Δx]3
Phân tích ra theo hằng đẳng thức:
= 1 + 3Δx + 3[Δx]2 + [Δx]3
Sự thay đổi giá trị của y từ x =1 tới x = 1+Δx là:
| y | = 1 + 3Δx + 3[Δx]2 + [Δx]3 1 |
| = 3Δx + 3[Δx]2 + [Δx]3 |
Bây giờ chúng ta có thể tính dộ dốc:
| Độ dốc = | [3Δx + 3[Δx]2 + [Δx]3 ]/ Δx |
| = 3 + 3Δx + [Δx]2 |
VớiΔx = 0 thì độ dốc = 3.
Độ dốc của đồ thị y =x3
Độ dốc tiếp tục thay đổi, nhưng ở điểm
point [1,1] chúng ta có thể vẽ một đường tiếp tuyến với dường cong và tìm thấy độ dốc ở đó bằng 3, bạn có thể đếm hình vuông nếu muốn.
Câu hỏi cho bạn là: Độ dốc ở điểm [2,8] là bao nhiêu?
Kết luận:
Vi phân là xét về sự thay đổi [biến thiên], tôi nghĩ bây giờ bạn đã rõ hơn về công dụng của vi phân.
Nam và Minh đang đi du lịch bằng ô tô nhưng đồng hồ tốc độ bị hư.
Nam: Bây giờ chúng ta đang đi tốc độ bao nhiêu?
Minh: Chờ một chút
Phút trước chúng ta đi đươc 1.2 km, vì vậy chúng ta đang đi : 1.2 km/phút x 60 phút = 72 km/h
Nam: oh Minh! không phải là tốc độ trung bình cho phút hay giây đã đi, điều tôi muốn biết là tốc độ BÂY GIỜ?
Minh: OK, chúng ta đo nó ở đây ở biển báo này!
Ngay bây giờ chúng ta đang ở giây thứ 0 và khoảng cách đi được là 0 mét. vậy thì tốc độ đi được là 0m/0s = TÔI KHÔNG BIẾT! [không được chia cho 0].
Tôi không thể tính được nó Nam! Tôi cần biết một khoảng cách nhất định trên thời gian nào đó, và với thời gian bằng 0 thì không thể tính được.
Bạn có nghĩ là sẽ tính được tốc độ của ô tô ở bất cứ thời điểm nào không?
Thậm chí cả đồng hồ đo tốc độ [khi nó đang làm việc], nó chỉ hiển thị giá trị trung bình chúng ta đã đi nhanh như thế nào trong một khoảng thời gian ngắn [ví dụ 2 phút nó cập nhật kết quả 1 lần chẳng hạn].
VẬY LÀM SAO ĐỂ ĐẠT TỚI GIÁ TRỊ GẦN CHÍNH XÁC NHẤT?
Câu chuyện trên của chúng ta chưa dừng ở đó !
Nam và Minh ra khỏi xe, vì họ đã tới nơi. Minh là một vận động viên nhào lộn.
Minh sẽ nhảy xuống từ độ cao 20 m, trong khi đó Nam là một Photographer, anh ta hỏi Minh: Tốc độ rơi của cậu trong 1 giây là bao nhiêu?
Minh sử dụng một công thức đơn giản để tính khoảng cách rơi được trong 1 s:
d = 5 * t *t
trong đó: d là khoảng cách rơi [m]
t: thời gian từ lúc nhảy [s : giây]
ví dụ:
trong 1s Minh rơi được: d = 5t2 = 5 × 12 = 5 m
Thế còn tốc độ rơi thì sao:
tôc độ = khoảng cách / thời gian
với tốc độ 1s
tốc độ = 5 m/ 1s = 5 m/s
Nhưng đó vẫn chỉ là tốc độ trung bình trong một giây từ lúc cậu nhảy, điều tôi muốn là tốc độ tại thời điểm 1 giây, tôi có thể cài đặt chính xác qua CAMERA.
tốc độ = [5-5 m] / [1-1 s] = ????
Từ trước tới giờ Nam vẫn luôn có 1 vấn đề:
Làm sao đo được tốc độ tại một thời điểm nhất định?
Cái gì là khoảng cách? cái gì là sự khác biệt về thời gian?
Cả 2 đều bằng 0, chẳng có gì để làm việc với 2 con số đó!
Nhưng Minh nảy ra một ý tưởng, ở một thời điểm cực kỳ ngắn thì chắc sẽ không có vấn đề gì!
Minh sẽ không đưa ra một giá trị cụ thể, nhưng sẽ tạm gọi nó là Δt [được gọi làdelta t].
Và Minh sẽ làm việc với thời gian giữa t và t +Δt.
Ở một giây Minh đã rơi:
d = 5t2 = 5 × [1]2 = 5 m
vậy ở 1 +Δt Minh đã rơi :
d = 5t2 = 5 × [1+Δt]2 m
Chúng ta có thể phân tích ra từ[1+Δt]2:
| [1+Δt]2 | = [1+Δt][1+Δt] |
| = 1 + 2Δt + [Δt]2 |
Và chúng có được:
d= 5 × [1+2Δt+[Δt]2] m= 5 + 10Δt + 5[Δt]2 m
Vì vậy giữa khoảng thời gian 1 svà[1+Δt]s Minh đã rơi được:
| Khoảng cách d thay đổi | = [5 + 10Δt + 5[Δt]2] 5 m |
| = 10Δt + 5[Δt]2 m |
Và lấy khoảng cách chia thời gian chúng ta có được tốc độ rơi:
| Speed | = 10Δt +5[Δt]2 mΔt s |
| = 10 + 5Δt m/s |
Với tốc độ10 + 5Δt m/s, Minh nghĩ về giá trịΔt anh ta muốnΔt là rất nhỏ sẽ không có vấn đề gì anh ta nghĩ ngay đến giá trị nhỏ nhất là 0 và anh ta có được:
Tốc độ = 10 m/s
Thật là tuyệt, bây giờ Minh đã có câu trả lời, một con số hoàn toàn khác với tốc độ trung bình [5 m/s].
Minh: Chính xác thì tớ rơi ở tốc độ 10 m/s
Nam: Tôi nhớ là bạn nói không thể tính nó?
Minh: Đó là trước khi tôi sử dụng vi phân!
Vâng, đó là vi phân!
Từ vi phân trong tiếng La Tinh có nghĩa là small stone tạm dịch là hòn đá nhỏ. Hiểu nôm na là tìm kiếm những phần nhỏ.
Nhưng vi phân có 2 loại, tên gọi chính xác của 2 loại đó trong tiếng anh là:
Differential Calculus [Vi phân]: Chia nỏ một thứ thành nhiều phần nhỏ để tìm thấy sự thay đổi. [ví dụ ở trên là chia nhỏ thời gian để thấy sự thay đổi của tốc độ rơi]
Integral Calculus[Tích phân]: Liên kết các phần nhỏ lại với nhau để xem tổng là bao nhiêu.
Vi phân và Tích phân thì ngược nhau, giống như chia và nhân vậy.
Chúng ta hãy thử một ví dụ khác nhé, với hàmy = x3
Độ dốc của hàm y = x3tại x=1 ?
x = 1, y = 13 = 1
x = [1+Δx], y = [1+Δx]3
Phân tích ra theo hằng đẳng thức:
= 1 + 3Δx + 3[Δx]2 + [Δx]3
Sự thay đổi giá trị của y từ x =1 tới x = 1+Δx là:
| y | = 1 + 3Δx + 3[Δx]2 + [Δx]3 1 |
| = 3Δx + 3[Δx]2 + [Δx]3 |
Bây giờ chúng ta có thể tính dộ dốc:
| Độ dốc = | [3Δx + 3[Δx]2 + [Δx]3 ]/ Δx |
| = 3 + 3Δx + [Δx]2 |
VớiΔx = 0 thì độ dốc = 3.
Độ dốc của đồ thị y =x3
Độ dốc tiếp tục thay đổi, nhưng ở điểm
point [1,1] chúng ta có thể vẽ một đường tiếp tuyến với dường cong và tìm thấy độ dốc ở đó bằng 3, bạn có thể đếm hình vuông nếu muốn.
Câu hỏi cho bạn là: Độ dốc ở điểm [2,8] là bao nhiêu?
Kết luận:
Vi phân là xét về sự thay đổi [biến thiên], tôi nghĩ bây giờ bạn đã rõ hơn về công dụng của vi phân.
Thế giới Vi phân đến từ chữ La Tinh nghĩa là small stone [tạm dịch là hòn đá nhỏ]
Bởi vì nó giống như chúng ta hiểu những thứ bằng cách nhìn vào những phần nhỏ của nó.
Phép tính vi phân [Differential Calculus]: Chia một thứ thành từng mảnh nhỏ để tìm ra sự thay đổi của nó như thế nào.
Tích phân [Integral Calculus]:Liên kết [integrates] các mảnh nhỏ lại với nhau để tìm ra có bao nhiêu.
Bạn có thể xem bản giới thiệu đầy đủ hơn ở post này:
Giới thiệu chi tiết về Calculus [Vi phân-Tích phân]
Limits:
Thỉnh thoảng bạn sẽ không thể làm việc trực tiếp với những thứ vượt ra bên ngoài, nhưng bạn biết cái gì sẽ là nếu chúng ta tiến gần hơn.
Ví dụ: y=1/x , giả sử xét trường hợp giá trị x tăngthì y sẽ giảm, nếu x tăng tới vô cùng thì bạn biết là y sẽ dần tới 0.
Vi phân:
Là tỉ lệ thay đổi hoặc là độ dốc [SLOPE] của một hàm
Tích phân:
Tích phân được dùng để tìm diện tích, thể tích, điểm trung tâm [central points] và nhiều lợi ích khác.
Thế giới Vi phân đến từ chữ La Tinh nghĩa là small stone [tạm dịch là hòn đá nhỏ]
Bởi vì nó giống như chúng ta hiểu những thứ bằng cách nhìn vào những phần nhỏ của nó.
Phép tính vi phân [Differential Calculus]: Chia một thứ thành từng mảnh nhỏ để tìm ra sự thay đổi của nó như thế nào.
Tích phân [Integral Calculus]:Liên kết [integrates] các mảnh nhỏ lại với nhau để tìm ra có bao nhiêu.
Bạn có thể xem bản giới thiệu đầy đủ hơn ở post này:
Giới thiệu chi tiết về Calculus [Vi phân-Tích phân]
Limits:
Thỉnh thoảng bạn sẽ không thể làm việc trực tiếp với những thứ vượt ra bên ngoài, nhưng bạn biết cái gì sẽ là nếu chúng ta tiến gần hơn.
Ví dụ: y=1/x , giả sử xét trường hợp giá trị x tăngthì y sẽ giảm, nếu x tăng tới vô cùng thì bạn biết là y sẽ dần tới 0.
Vi phân:
Là tỉ lệ thay đổi hoặc là độ dốc [SLOPE] của một hàm
Tích phân:
Tích phân được dùng để tìm diện tích, thể tích, điểm trung tâm [central points] và nhiều lợi ích khác.