Đề bài
Chứng minh rằng:
\[\dfrac{{{a^2}}}{{a + b}} + \dfrac{{{b^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{c^2}}}{{c + a}} = \dfrac{{{b^2}}}{{a + b}} \]\[\,+ \dfrac{{{c^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{a^2}}}{{c + a}}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta chứng minh hiệu hai vế bằng \[0\].
Sử dụng hằng đẳng thức số 3: \[{A^2} - {B^2} = \left[ {A + B} \right]\left[ {A - B} \right]\]
Lời giải chi tiết
Xét hiệu hai vế:
\[\Rightarrow\]\[\dfrac{{{a^2}}}{{a + b}} + \dfrac{{{b^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{c^2}}}{{c + a}} = \dfrac{{{b^2}}}{{a + b}} \]\[\,+ \dfrac{{{c^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{a^2}}}{{c + a}}\]
Lưu ý:
Có thể giải bằng cách biến đổi từ vế trái sang vế phải như sau:
\[\dfrac{{{a^2}}}{{a + b}} + \dfrac{{{b^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{c^2}}}{{c + a}}\]
\[ = \dfrac{{{a^2} - {b^2} + {b^2}}}{{a + b}} + \dfrac{{{b^2} - {c^2} + {c^2}}}{{b + c}}\]\[ + \dfrac{{{c^2} - {a^2} + {a^2}}}{{c + a}}\]
\[ = \dfrac{{\left[ {a + b} \right]\left[ {a - b} \right] + {b^2}}}{{a + b}} + \dfrac{{\left[ {b + c} \right]\left[ {b - c} \right] + {c^2}}}{{b + c}} \]\[+ \dfrac{{\left[ {c + a} \right]\left[ {c - a} \right] + {a^2}}}{{c + a}}\]
\[ = a - b + \dfrac{{{b^2}}}{{a + b}} + b - c\]\[ + \dfrac{{{c^2}}}{{b + c}} + c - a + \dfrac{{{a^2}}}{{c + a}}\]
\[ = \dfrac{{{b^2}}}{{a + b}} + \dfrac{{{c^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{a^2}}}{{c + a}}\]