Đề bài
Cho hai đường thẳng d: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6}\\{y = - 2t}\\{z = 7 + t}\end{array}} \right.\] và d1: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 + t'}\\{y = - 2}\\{z = - 11 - t'}\end{array}} \right.\]
Lập phương trình mặt phẳng [P] sao cho khoảng cách từ d và d1 đến [P] là bằng nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nhận xét: Do d và d1 chéo nhau nên [P] là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn vuông góc chung AB của d, d1 và song song với d và d1.
Lời giải chi tiết
Hình 3.32
Đường thẳng d đi qua M[6; 0 ;7] có vecto chỉ phương \[\overrightarrow a [0; - 2;1]\].
Đường thẳng d1 đi qua N[-2; -2; -11] có vecto chỉ phương \[\overrightarrow b [1;0; - 1]\].
Do d và d1 chéo nhau nên [P] là mặt phẳng trung trực của đoạn vuông góc chung AB của d, d1 và song song với d và d1.
Để tìm tọa độ của A, B ta làm như sau:
Lấy điểm A[6; - 2t; 7 + t] thuộc d, B[ -2 + t; -2 ; -11 t] thuộc d1. Khi đó: \[\overrightarrow {AB} = [ - 8 + t'; - 2 + 2t; - 18 - t - t']\]
Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow a }\\{\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow b }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow a = 0}\\{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow b = 0}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2[ - 2 + 2t] + [ - 18 - t - t'] = 0}\\{ - 8 + t' - [ - 18 - t - t'] = 0}\end{array}} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5t - t' - 14 = 0}\\{t + 2t' + 10 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 2}\\{t' = - 4}\end{array}} \right.\]
Suy ra A[6; 4; 5], B[-6; -2; -7]
Trung điểm của AB là I[0; 1; -1]
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = [ - 12; - 6; - 12]\]. Chọn \[\overrightarrow {{n_P}} = [2;1;2]\]
Phương trình của [P] là: 2x + [y 1] + 2[z + 1] = 0 hay 2x + y +2z + 1 = 0.
Chú ý:
Có thể tìm tọa độ của A, B bằng cách khác:
Ta có: Vecto chỉ phương của đường vuông góc chung của d và d1 là là \[\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left[ {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\0\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 1}\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 1}\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\0\end{array}}\end{array}} \right|} \right]\]\[ = \left[ {2;1;2} \right]\]
Gọi [Q] là mặt phẳng chứa d và đường vuông góc chung AB.
Khi đó: \[\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow a ,\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]} \right]\]\[ = \left[ {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\1\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}0\\2\end{array}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}0\\2\end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}\\1\end{array}}\end{array}} \right|} \right]\] \[ = \left[ { - 5;2;4} \right]\]
Phương trình của [Q] là : \[5[x 6] + 2y + 4[z 7] = 0\] hay \[5x + 2y + 4z + 2 = 0\]
Để tìm \[{d_1} \cap [Q]\] ta thế phương trình của d1 vào phương trình của [Q]. Ta có:
\[5[2 + t] + 2[2] +4[11 t ] + 2 = 0\] \[ \Rightarrow t' = 4\]
\[ \Rightarrow {d_1} \cap \left[ Q \right] = B\left[ { - 6; - 2; - 7} \right]\]
Tương tự, gọi [R] là mặt phẳng chứa \[{d_1}\] và đường vuông góc chung AB.
Khi đó: \[\overrightarrow {{n_R}} = [ - 1;4; - 1]\]
Phương trình của [R] là \[ x + 4y z 5 = 0\].
Suy ra \[d \cap [R] = A[6;4;5]\]