Đề bài
Cho tứ giác \[ABCD\]. Gọi \[M, N, P, Q\]lần lượt là trung điểm của các đoạn \[AC, BD, AD\] và có \[MN = PQ\]. Chứng minh rằng \[AB CD\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta cần chứng minh \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0\]
Lời giải chi tiết
Ta cần chứng minh \[\displaystyle \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0\]
Đặt \[\displaystyle \overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c ,\,\,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow d \]. Ta có:
\[\displaystyle \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AN}\] \[\displaystyle = - {1 \over 2}\overrightarrow {AC} + {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right]\]
Suy ra \[\displaystyle \overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow b + \overrightarrow d - \overrightarrow c } \right]\]
\[\displaystyle \eqalign{
& \overrightarrow {QP} = \overrightarrow {QA} + \overrightarrow {AP} \cr
& = - {1 \over 2}\overrightarrow {A{\rm{D}}} + {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right] \cr
& = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow b + \overrightarrow c - \overrightarrow d } \right] \cr} \]
Theo giả thiết ta có:
\[\displaystyle MN = PQ \Leftrightarrow {\overrightarrow {MN} ^2} = {\overrightarrow {QP} ^2}\]
\[\displaystyle \eqalign{
& {\left[ {\overrightarrow b + \overrightarrow d - \overrightarrow c } \right]^2} = {\left[ {\overrightarrow b + \overrightarrow c - \overrightarrow d } \right]^2} \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow b .\overrightarrow d - \overrightarrow b .\overrightarrow c = \overrightarrow b .\overrightarrow c - \overrightarrow b .\overrightarrow d \cr
& \Leftrightarrow 2\overrightarrow b .\overrightarrow d - 2\overrightarrow b .\overrightarrow c = 0 \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow b .\left[ {\overrightarrow d - \overrightarrow c } \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {A{\rm{D}}} - \overrightarrow {AC} } \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {C{\rm{D}}} \cr} \]