Đề bài
Cho hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l} - 2mx + y = 5\\x + 3y = 1\end{array} \right.\]
a] Giải hệ phương trình với \[m=1\]
b] Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
c] Tìm điều kiện của m để hệ phương trình vô nghiệm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Thay \[m = 1\] vào hệ phương trình, sau đó sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số để giải hệ phương trình.
b] Xác định các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của từng phương trình của hệ.
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi 2 đường thẳng vừa xác định được cắt nhau.
c] Hệ phương trình vô nghiệm khi 2 đường thẳng vừa xác định được song song với nhau.
Lời giải chi tiết
a] Thay \[m = 1\] vào hệ phương trình ta được
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y = 5\\x + 3y = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x + y = 5\\ - 2x - 6y = - 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7y = 7\\x + 3y = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x + 3 = 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = - 2\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy \[\left[ {x;y} \right] = \left[ { - 2;1} \right]\] là nghiệm của hệ phương trình.
Ta có:
\[\begin{array}{l} - 2mx + y = 5 \Leftrightarrow y = 2mx + 5\,\,\left[ {{d_1}} \right]\\x + 3y = 1 \Leftrightarrow 3y = - x + 1 \\\Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 1}}{3}x + \dfrac{1}{3}\,\,\left[ {{d_2}} \right]\end{array}\]
b] Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng \[\left[ {{d_1}} \right]\] và \[\left[ {{d_2}} \right]\] cắt nhau
\[ \Leftrightarrow 2m \ne \dfrac{{ - 1}}{3} \Leftrightarrow m \ne \dfrac{{ - 1}}{6}\].
Vậy \[m \ne \dfrac{{ - 1}}{6}\] thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
c] Để hệ phương trình vô nghiệm thì hai đường thẳng \[\left[ {{d_1}} \right]\] và \[\left[ {{d_2}} \right]\] song song
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m = \dfrac{{ - 1}}{3}\\5 \ne \dfrac{1}{3}\,\,\left[ \text{luôn đúng} \right]\end{array} \right. \]
\[\Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 1}}{6}\].
Vậy \[m = \dfrac{{ - 1}}{6}\] thì hệ phương trình vô nghiệm.