Đề bài
Cho cấp số cộng \[[{u_n}]\] và cho các số nguyên dương m, k với \[m < k\]. Chứng minh rằng
\[{u_k} = {{{u_{k - m}} + {u_{k + m}}} \over 2}.\]
Áp dụng. Hãy tìm một cấp số cộng có 7 số hạng mà số hạng thứ ba bằng 2 và tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 10.
Lời giải chi tiết
Kí hiệu d là công sai của cấp số cộng \[[{u_n}]\], ta có
\[\eqalign{
& {u_{k - m}} = {u_1} + [k - m - 1]d = {u_1} + [k - 1]d - md \cr&= {u_k} - md, \cr
& {u_{k + m}} = {u_1} + [k + m - 1]d = {u_1} + [k - 1]d + md \cr&= {u_k} + md \cr} \]
Từ đó suy ra \[{u_{k - m}} + {u_{k + m}} = 2{u_k}\] hay \[{u_k} = {{{u_{k - m}} + {u_{k + m}}} \over 2}.\]
Áp dụng. Với mỗi \[n \in \left\{ {1,2,3,4,5,6,7} \right\},\] kí hiệu \[{u_n}\] là số hạng thứ n của cấp số cộng cần tìm. Theo giả thiết cả bài ra, ta có \[{u_3} = 2\] và \[{u_1} + {u_7} = 10\]
Áp dụng kết quả đã chứng minh ở trên cho \[m = 3\]và\[k = 4,\]ta được
\[{u_4} = {{{u_1} + {u_7}} \over 2} = {{10} \over 2} = 5\]
Suy ra\[d = {u_4} - {u_3} = 5 - 2 = 3.\]Do đó
\[{u_1} = {u_3} - 2d = 2 - 2.3 = - 4,\]
\[{u_2} = {u_1} + d = - 4 + 3 = - 1,\]
\[{u_5} = {u_4} + d = 5 + 3 = 8\]
\[{u_6} = {u_5} + d = 8 + 3 = 11\] và \[{u_7} = {u_6} + d = 11 + 3 = 14\]