Giải toán sự đồng biến nghịch biến của hàm số

\[y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\]

Bảng biến thiên:

.png]

Kết luận:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left[ { - 1;0} \right]\] và \[\left[ {1; + \infty } \right]\]

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left[ {- \infty;-1 } \right]\] và \[[0;1].\]

1. \[y=\frac{x+1}{x-1}\]

Xét hàm số \[y=\frac{x+1}{x-1}\].

TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\]

\[y' = \frac{{ - 2}}{{{{[x - 1]}^2}}} > 0,\forall \ne 1\]

Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left[ { - \infty ;1} \right]\] và \[\left[ { 1;+ \infty } \right]\].

2.2. Dạng 2: Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên một miền

Ví dụ 2:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \[y=x^3+3x^2+mx+m\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\].

Lời giải:

Xét hàm số \[y=x^3+3x^2+mx+m\]

TXĐ: \[D=\mathbb{R}\]

\[y' = 3{x^2} + 6x + m\]

Hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\] khi \[y' \ge 0,\forall x \in\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' \le 0\\ a = 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 9 - 3m < 0 \Leftrightarrow m \ge 3\].

Kết luận: với \[m\geq 3\] thì hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\].

Ví dụ 3:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \[y = 2x^3 - 3[2m + 1]{x^2} + 6m[m + 1]x + 1\] đồng biến trong khoảng \[[2; + \infty ]\].

Lời giải:

Xét hàm số \[y = 2x^3 - 3[2m + 1]{x^2} + 6m[m + 1]x + 1\].

TXĐ: \[D=\mathbb{R}\]

\[y' = 6{x^2} - 6[2m + 1]x + 6m[m + 1]\]

\[\Delta = {[2m + 1]^2} - 4[{m^2} + m] = 1 > 0\]

\[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = m\\ x = m + 1 \end{array} \right.\]

.png]

Hàm số đồng biến trong các khoảng \[[ - \infty ;m],\,\,[m + 1; + \infty ]\].

Kết luận: Do đó hàm số đồng biến trong khoảng \[[2; + \infty ]\] khi \[m + 1 \le 2 \Leftrightarrow m \le 1.\]

Trong chương trình toán 12 sự đồng biến nghịch biến của hàm số là một phần kiến thức thường xuất hiện ở các đề thi đại học. Để học tốt phần này, các em cần nắm được lý thuyết và là cơ sở để giải bài tập. Các em hãy cùng ôn tập lý thuyết và bài tập về hàm số đồng biến nghịch biến lớp 12 với VUIHOC nhé!

1. Lý thuyết toán 12 sự đồng biến nghịch biến của hàm số

1.1. Tính đơn điệu của hàm số định nghĩa như thế nào?

Một trong những tính chất quan trọng của hàm số trong chương trình Toán 12 là tính đơn điệu [đồng biến – nghịch biến hay tăng – giảm].

Ta có hàm số y = f[x] xác định trên một miền D bất kỳ.

- Hàm số f[x] được gọi là đồng biến [hay tăng] trên D nếu: thì

- Hàm số f[x] được gọi là nghịch biến [hay giảm] trên D nếu: thì

Cách hiểu đơn giản: Hàm số đồng biến là hàm số có x và f[x] cùng tăng hoặc cùng giảm; hàm số nghịch biến là hàm số mà nếu x tăng thì f[x] giảm và x giảm thì f[x] tăng.

1.2. Điều kiện thỏa mãn để hàm số đơn điệu

Cho hàm số y=f[x] có đạo hàm trên [a;b]:

- Nếu f’[x] ≥ 0 với mọi x thuộc K và f’[x] = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f[x] đồng biến trên khoảng [a;b].

- Nếu f’[x] ≤ 0 với mọi x thuộc K và f’[x] = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f[x] nghịch biến trên khoảng [a;b].

1.3. Các bước xét tính đơn điệu của hàm số

4 bước xét tính đơn điệu của hàm số cụ thể như sau:

- Bước 1: Tìm tập xác định.

- Bước 2: Tìm đạo hàm f’[x] rồi tìm các điểm xᵢ [i = 1, 2, …, n] sao cho tại đó đạo hàm không xác định hoặc đạo hàm bằng 0.

- Bước 3: Sắp xếp lại các điểm xᵢ theo thứ tự tăng dần rồi lập bảng biến thiên.

- Bước 4: Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Đăng ký nhận ngay bí kíp nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán 12

2. Bài tập về sự đồng biến nghịch biến của hàm số lớp 12

2.1. Xét tính đơn điệu của hàm số đồng biến nghịch biến lớp 12

Bài tập 1: Hãy xét tính đơn điệu của hàm số sau: y = x³ – 3x² + 2

Giải:

Bước 1: Hàm số y = x³ – 3x² + 2 xác định với mọi x ∊ R

Bước 2: Ta có: y’=3x²– 6x

Xét y’=0 ⇒ 3x²– 6x = 0 ⇔ x = 0, x = 2

Bước 3: Bảng biến thiên

Bước 4: Kết luận

- Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng [-∞;0] và [2;+∞] và nghịch biến trên khoảng [0;2].

Bài tập 2: Xét tính đơn điệu của hàm số y = x⁴ – 2x² + 1

Giải:

Ta có: y = x⁴ – 2x² + 1, hàm số xác định với mọi x ∊ R

y’ = 4x³ – 4x = 4x [x² – 1]

Cho y’ = 0 ⇒ 4x [x² – 1] = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = 1

Bảng biến thiên:

Xét bảng biến thiên có thể kết luận:

• Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng [-1;0] và [1;+∞].
• Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng [-∞;-1] và [0;1].

2.2. Phương pháp tìm điều kiện của tham số khi hàm số đơn điệu

Bài tập 3: Xác định tham số m để thỏa mãn hàm số đồng biến trên tập xác định.

Giải:

Xét hàm số:

Có:

Do hệ số

Nên để hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định thì phương trình y'=0 phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

Tức là:

Bài tập 4: Xác định tham số m để hàm số luôn nghịch biến

Giải:

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Thông qua những kiến thức trong bài viết, hi vọng các em đã có thể vận dụng lý thuyết vào làm bài tập sự đồng biến nghịch biến của hàm số thuộc chương trình Toán 12. Để có thể học thêm nhiều phần bài giảng thú vị và chi tiết khác, các em có thể truy cập ngay

Hàm số đồng biến và nghịch biến là gì?

Cách hiểu đơn giản: Hàm số đồng biến là hàm số có x và f[x] cùng tăng hoặc cùng giảm; hàm số nghịch biến là hàm số mà nếu x tăng thì f[x] giảm và x giảm thì f[x] tăng.

Hàm số nghịch biến trên khoảng khi nào?

Nghịch biến: Một hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng xác định nếu giá trị của hàm số giảm khi biến số tăng trong khoảng đó. Trong trường hợp của hàm số lượng giác, chẳng hạn cos[x], khi x tăng thì giá trị của cos[x] giảm. Ví dụ: Trong khoảng [0; π/2], hàm số y = cos[x] là một hàm số nghịch biến.

Hàm số đồng biến trên R khi nào lớp 9?

Hàm số y=ax+b là hàm số bậc nhất ⇔ a ≠ 0. + Đồng biên trên R, khi a > 0. + Nghịch biến trên R, khi a < 0.

Hàm số đồng biến trên R khi nào?

Một hàm số được gọi là đồng biến trên R nếu giá trị của hàm số tăng khi giá trị của biến đổi tăng. Nghĩa là nếu x1 và x2 là hai số bất kỳ thuộc tập R [tập số thực], và x1 < x2, thì f[x1] < f[x2]. y[x2], trong đó y[x1] và y[x2] lần lượt là giá trị của hàm số tại x1 và x2.