I. Phương pháp qui nạp toán học
Bài toán: Gọi A[n] là một mệnh đề chứa biến n, n N*.Chứng minh A[n] đúng với mọi số tự nhiên n N*.
Cách giải: [Người ta thường sử dụng phương pháp sau đây]
Bước 1: Chứng minh A[n] đúng khi n = 1. [*]
Bước 2: Với k là số nguyên dương tùy ý, giả sửA[n] đúng với n = k, chứng minh A[n] cũng đúng khi n = k + 1.
Chú ý: [*]: trong thực tế, ta còn gặp các bài toán yêu cầu chứng minh mệnh đề A[n] [nói trên] đúng với mọi số tự nhiên n p, trong đó p là số tự nhiên cho trước. Trong trường hợp đó, thay cho chứng minh A[n] đúng khi n = 1, ta chứng minh A[n] đúng khi n = p.
Ví dụ: Chứng minh rằng:n7-nchia hết cho 7 với mọi n N*
Lời giải:
ĐặtAn=n7-n.
Khi n = 1 thìA1=07
Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức làAk=[k7-k]7.
Ta phải chứng minh, mệnh đề đúng với n = k + 1, tức là:Ak+1=[k+1]7-[k+1]7
Áp dụng công thức Nhị thức Niu-tơn, ta có:
Ak+1=[k+1]7-[k+1]=k7+7k6+21k5+35k4+35k3+21k2+7k+1-k-1=k7-k+7[k6+3k5+5k4+5k3+3k2+k]
Theo giả thiết quy nạpAk=[k7-k]7
Ak+17
Vậy mệnh đề đã cho đúng
II. Dãy số
1. Định nghĩa: Dãy số [un] là một ánh xạ từ N* vào R:
f: N* R
Khi đó, ta có un= f[n].
Kí hiệu [un] hay ở dạng khai triển là u1, u2, ... , un, ...
2. Cách xác định một dãy số
Một dãy số thường được xác định bằng một trong các cách:
Cách 1: Dãy số xác định bởi một công thức cho số hạng tổng quát un.
Cách 2: Dãy số xác định bởi một công thức truy hồi, tức là:
Trước tiên, cho số hạng đầu [hoặc vài số hạng đầu]
Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng [hay vài số hạng] đứng trước nó.
Cách 3: Dãy số xác định bởi một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó.
3. Dãy số đơn điệu
Định nghĩa 1:
[Dãy số tăng]: Dãy số [un] được gọi là tăng nếu n N*, un< un + 1.
Định nghĩa 2:
[Dãy số giảm]: Dãy số [un] được gọi là giảm nếunN*, un> un + 1.
4. Dãy số bị chặn
Định nghĩa 3:
[Dãy số bị chặn trên]: Dãy số [un] được gọi là bị chặn trên nếu:M R : un M,n N*
Định nghĩa 4:
[Dãy số bị chặn dưới]: Dãy số [un] được gọi là bị chặn dưới nếu:m R : un m,n N*
Định nghĩa 5:
[Dãy số bị chặn]: Dãy số [un] được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là:
m, M R : m un M,n N*
5. Các dạng bài tập
Dạng 1: Xác định các số hạng của dãy số.
Phương pháp giải:
Thay n vào công thứchoặc hệ thức truy hồi.
Ví dụ 1:Cho dãy sốvới. Tìm số hạng.
Lời giải:
Ví dụ 2:Cho dãy số.Tìm số hạng.
Lời giải:
Ta có:
Dạng 2*:
Xác định số hạng tổng quát cho bởi hệ thức truy hồi
Phương pháp giải:
Tính thử các số hạng đầu, dự đoán.
Chứng minh hệ thức đó đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Ví dụ 3:Cho dãy sốxác định bởi:. Tìm số hạng tổng quát.
Lời giải:
Ta có:
Ta dự đoán[1]
Chứng minh [1] bằng phương pháp quy nạp.
+ Với n = 1, ta có:[1] đúng với n = 1.
+ Giả sử [1] đúng với n = k [k> 1], tức là:.
+ Ta cần chứng minh [1] đúng với n = k + 1, tức là:.
Thật vậy,[1] đúng với n = k + 1.
Vậy [1] là công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho.
Dạng 3:
Xét tính đơn điệu của dãy số.
Phương pháp giải:
+là dãy số tăng.
+là dãy số giảm
+ Để so sánhvàta có thể xét hiệuhoặc xét thương.
Ví dụ 4:Xét tính tăng giảm của dãy số:
Lời giải:
Ta có:
Do đó dãy số đã cho là dãy số tăng.