Tìm khoảng cách giữa các điểm cực tiểu

Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải

Ví dụ 1: Tìm m để đồ thị hàm số có khoảng cách giữa các điểm cực đại cực tiểu là nhỏ nhất.

Phân tích bài toán: Bài toán giải theo ba bước

Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu.

Bước 2: Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị để đưa ra toạ độ các điểm cực trị

Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị và sử dụng hàm số hoặc các bất đẳng thức cơ bản đưa ra giá trị nhỏ nhất của khoảng cách đó từ đó tìm ra m.

Bài giải:

Ta có:

có có hai nghiệm phân biệt và hàm số đạt cực trị tại khi đó gọi các các điểm cực trị của đồ thị hàm số là

A[

], B[].

Theo Viét ta có:

.

Thực hiện phép chia

cho ta có:

Do

nên .

Ta có:

Vậy m=0 thì giá trị nhỏ nhất giữa điểm cực đại và cực tiểu là:

.

Ví dụ 2: Cho hàm số . Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu cách đều O.

Phân tích bài toán: Bài toán này ta làm theo hai bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm và tìm ngay được cực trị.

Bước 2: Cho hai khoảng cách bằng nhau ta được giá trị m cần tìm.

Bài giải:

Ta có:

Hàm số đạt cực đại cự tiểu khi phương trình

có hai nghiệm phân biệt.

Ta có:

Ta cần có

Với điều kiện đó hàm số có cực trị là

.

Gọi hai điểm cực trị là:

Khi đó:

Đối chiếu điều kiện

.

Ví dụ 3: Cho hàm số . Chứng minh với mọi m khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu là không đổi.

Phân tích bài toán: Bài toán này rất đơn giản ta làm theo hai bước

Bước 1: Tính đạo hàm và tìm ngay được 2 cực trị.

Bước 2: Tính khoảng cách và đưa ra điều phải chứng minh.

Bài giải:

Ta có:

.

hàm số có hai điểm cực trị là A[0;-m], B[2;4-m].

Khoảng cách hai điểm cực trị là:

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 4: Cho hàm số

Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng [d]: là bằng nhau.

Phân tích bài toán: Bài toán này ta giải theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại và cưc tiểu.

Bước 2: Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị để đư ra toạ độ hai điểm cực trị.

Bước 3: Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng ta suy ra m.

Bài giải:

Ta có:

. Đặt:

Hàm số có cực đại và cực tiểu

có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt khác -1.

Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị ta có:

Với

là hai nghiệm , áp dụng viét ta có .

Ta có:

Khi đó:

Đối chiếu [*]

thoả mãn.

Ngoài cách làm trên ta còn có thể dùng hình học để giải dựa vào cơ sở hai điểm A, B cách đều [d] khi AB song song với d hoặc trung điểm của AB thuộc [d].

Ví dụ 5: Cho hàm số

Tìm m để hàm số có cực trị khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là 10.

Phân tích bài toán: Bài toán này làm theo ba bước:

Bước 1: Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại, cực tiểu.

Bước 2: Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị để tìm toạ độ của điểm cực đại, điểm cực tiểu.

Bước 3: Tính khoảng cách và áp dụng viét ta có m.

Bài giải:

Ta có:

.

Đặt:

.

Hàm số có cực đại, cực tiểu

có hai nghiệm phân biệt khác 1

Khi đó sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị ta có hai điểm cực trị là:

Với là 2 nghiệm của phương trình .

Theo viét:

.

Ta có:

Đối chiếu [*] m=4 thoả mãn.

Ví dụ 6: Cho hàm số có đồ thị [H]. Tìm trên [H] điểm M để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của [H] là nhỏ nhất.

Phân tích bài toán:

Bước 1: Tìm tiệm cận đứng và ngang.

Bước 2: Tính tổng các khoảng cách, áp dụng bất đẳng thức côsi tìm giá trị nhỏ nhất. Từ đó tìm được điểm M.

Bài giải:

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang

, tiệm cận đứng .

Gọi toạ độ

. Khi đó tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là:

Dấu bằng xẩy ra khi:

Từ đó ta có M[1;2] và M[3;4].

Ví dụ 7: Cho hàm số

có đồ thị [C]. Tìm M thuộc [C] để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.

Phân tích bài toán:

Bước 1: Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bước 2: Gọi toạ độ của M ra và tính tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận sau đó áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có giá trị nhỏ nhất từ đó tìm được M.

Bài giải:

Ta dễ tìm được tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:

; Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là .

Gọi M[

] thuộc [C]. Tổng khoảng cách từ M đên hai tiệm cận là :

Theo bất đẳng thức côsi ta có:

Tức là giá trị nhỏ nhất của d[M] là

khi

Vậy toạ độ M[

] hay M[].

Ví dụ 8: Cho hàm số có đồ thị [C]. Tìm M thuộc [C] sao cho khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung.

Phân tích bài toán:

Bước 1: Gọi toạ độ của M

Bước 2: Tính khoảng cách từ M đến trục hoành d1, khoảng cách từ M đến trục tung d2. Ta có phương trình d1=2d2 từ đó tìm được M.

Bài giải:

Gọi toạ độ M[

]

Khoảng cách từ M đến trục hoành là:

.

Khoảng cách từ M đến trục tung là:

.

Ta có:

Xét hai trường hợp:

+ Trường hợp 1:

Khi đó toạ độ M là:

.

+ Trường hợp 2:

phương trình này vô nghiệm.

Vậy toạ độ M là:

.

Ví dụ 9: Cho hàm số có đồ thị [H]. Tìm M thuộc [H] sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất.

Phân tích bài toán:

Bước 1: Gọi toạ độ của M sau đó tính tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ.

Bước 2: Ta tìm cách hạn chế miền tìm giá trị nhỏ nhất để thuận lợi cho việc tìm giá trị nhỏ nhất.

Bài làm:

Gọi toạ độ M[

] thuộc [H].

Tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là:

Để ý rằng với M[1;0] thì d[M]=1 do đó để tìm giá trị nhỏ nhất d[M] ta chỉ cần xét khi:

Với

thì

Áp dụng côsi ta có:

Khi đó giá trị d[M] nhỏ nhất khi:

Vậy toạ độ M[

].

Ví dụ 10: Cho hàm số có đồ thị là [C]. Tìm điểm M thuộc đồ thị [C] sao cho tổng khoảng cách M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất.

Phân tích bài toán:

Bước 1: Gọi toạ độ M[] hay M[].

Bước 2: Tính tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ, giới hạn miền lấy giá trị nhỏ nhất, sử dụng hàm số tìm giá trị nhỏ nhất.

Bài giải:

Gọi toạ độ M[

] hay M[].

Tổng khoảng cách từ M đến trục hoành và trục tung là:

.

Do M[2;0]thuộc [C] nên tìm giá trị nhỏ nhất d[M] ta chỉ cần xét với

, xét hai khả năng:

*] Nếu

thì

suy ra giá trị nhỏ nhất trên [-2;0] là g[0]=2.

*] Nếu

thì

Lập bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ nhất d[M] trên [0;2] là p[0]=p[2]=2.

Vậy toạ độ M[2;0] và M[0;2].

Ví dụ 11: Cho hàm số có đồ thị [H]. Tìm trên mỗi nhánh của [H] hai điểm A, B sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ nhất.

Phân tích bài toán:

Bước 1: Nhận thấy đồ thị hàm số gồm hai nhánh ứng với hoành độ lớn hơn 3 và hoành độ nhỏ hơn 3, ta gọi toạ độ của A[]; B[] với là hai số dương.

Bước 2: Tính khoảng cách AB theo sử dụng linh hoạt bất đẳng thức côsi ta có giá trị nhỏ nhất của AB từ đó ta có A, B.

Bài giải:

Gọi toạ độ của A[

]; B[] với là hai số dương.

Ta có:

áp dụng côsi.

Dấu bằng xẩy ra khi:

Vậy toạ độ A[

]; B[].

Ví dụ 12: Cho hàm số có đồ thị là [C]. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị [C] hai điểm A, B sao cho khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất.

Phân tích bài toán:

Bước 1: Nhận thấy đồ thị hàm số gồm hai nhánh ứng với hoành độ lớn hơn 1 và hoành độ nhỏ hơn 1, ta gọi toạ độ của A[]; B[] với là hai số dương.

Bước 2: Tính khoảng cách AB theo sử dụng linh hoạt bất đẳng thức côsi ta có giá trị nhỏ nhất của AB từ đó ta có A, B.

Bài giải:

Gọi toạ độ của A[

]; B[] với là hai số dương.

Ta có:

Áp dụng côsi ta có:

Dấu bằng xẩy ra:

Vậy toạ độ hai điểm A, B là: A[

]; B[].

Ví dụ 13: Cho hàm số có đồ thị [C]. Tìm M thuộc [C] để khoảng cách từ M đến đường thẳng : nhỏ nhất.

Phân tích bài toán:

Bước 1: Gọi toạ độ của M thuộc [C].

Bước 2: Tính khoảng cách từ M đến : , sau xử lý khéo giá trị tuyệt đối để áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số.

Bài giải:

Gọi điểm M[

] hay M[] thuộc [C].

Khoảng cách từ M đến

: là:

Khoảng cách từ M đến

: nhỏ nhất bằng , xẩy ra khi

Vậy toạ độ M là:

Ví dụ 14: Cho hàm số có đồ thị [C]. Tìm để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến tiệm cận xiên đạt giá trị lớn nhất.

Phân tích bài toán:

Bước 1: Ta tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bước 2: Tính khoảng cách từ O đến tiệm cận xiên, sử dụng bất đẳng thức Buanhiacopski để đư ra giá trị lớn nhất, từ đó tìm được .

Bài giải:

Ta có:

Từ đó ta dễ có tiệm cân xiên của đồ thị hàm số là:

.

Khoảng cách từ O[0;0] đến tiệm cân xiên

là:

Áp dụng bất đẳng thức Buanhiacopski ta có:

Khoảng cách lớn nhất từ O[0;0] đến tiệm cân xiên

là

Khi

Vậy

.

Ví dụ 15: Giả sử là tiếp tuyến tại M[0;1] của đồ thị hàm số [C]. Tìm trên [C] những điểm có hoành độ lớn hơn 1 mà khoảng cách từ điểm đó đến là nhỏ nhất.

Phân tích bài toán:

Bước 1: Tìm phương trình tiếp tuyến .

Bước 2: Dùng phương pháp tiếp tuyến để tìm khoảng cách nhỏ nhất trên miền .

Bài giải:

Ta có:

.

Phương trình tiếp tuyến

là: .

Gọi

có khoảng cách tới nhỏ nhất.

Thế thì

là nghiệm của phương trình:

Vậy toạ độ điểm cần tìm là N[2;-5].

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho hàm số . Tìm để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu cách đều trục Oy.

Bài 2: Cho hàm số có đồ thị [C]. Tìm toạ độ M trên [C] sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.

Bài 3: Cho hàm số có đồ thị [C]. Tìm M trên [C] để tổng khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận là nhỏ nhất.

Bài 4: Cho hàm số có đồ thị [C]. Tìm M trên [C] sao cho tổng khoảng cách giữa hai trục toạ độ là nhỏ nhất.

Bài 5: Cho hàm số có đồ thị [C]. Tìm trên mỗi nhánh của [C] các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó là nhỏ nhất.

Bài 6: Cho hàm số có đồ thị [C]. Tìm M trên [C] cách đều hai trục toạ độ.

Bài 7: Cho hàm số có đồ thị [C]. Tìm M trên [C] để tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất.

Bài 8: Cho hàm số có đồ thị [C]. Tìm M trên [C] sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.

Bài 9: Cho hàm số có đồ thị [C]. Tìm M thuộc [C] sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.

Bài 10: Cho hàm số có đồ thị [C]. Tìm M thuộc [C] sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.

Bài 11: Cho hàm số có đồ thị [C]. Tìm M thuộc [C] sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.

Bài 12: Cho hàm số có đồ thị [C]. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M bất kỳ trên [C] đến các tiệm cận là hằng số.

Bài 13: Cho hàm số có đồ thị [C]. Tìm trên mỗi nhánh của [C] các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất.

Bài 14: Cho hàm số có đồ thị [C]. Tìm trên mỗi nhánh của [C] các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa chúng đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 15: Cho hàm số có đồ thị [C]. Tìm trên mỗi nhánh của [C]

Các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó là nhỏ nhất.

Bài 16: Cho hàm số có đồ thị [C]. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị [C] các điểm A, B sao cho khoảng cách giữa chung nhỏ nhất.

Bài 17: Cho hàm số có đồ thị [C]. Tìm M trên [C] để khoảng cách từ M đến trục hoành gấp 3 lần khoảng cách từ M đến trục tung.

Bài 18: Cho hàm số có đồ thị [C]. Tìm M trên [C] sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.

Bài 19: Cho hàm số có đồ thị [C]. Tìm M trên [C] để tổng khoảng cách từ M đến trục hoành và trục tung là lớn nhất.

Bài 20: Cho hàm số có đồ thị [C]. Tìm để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến tiệm cận xiên là lớn nhất.

Bài 21: Cho hàm số . Tìm để khoảng cách từ

A[-1;0] đến tiệm cận xiên là lớn nhất.

Поделитесь с Вашими друзьями: