Viết phương trình đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác và song song với trục hoành

BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNGMỤC TIÊUKiến thức- Nhận biết được vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương của đường thẳng.- Trình bày được cách viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng.- Trình bày được điều kiện để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau hoặc vng góc.- Hiểu được các cơng thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng.Kỹ năng-Viết được phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng dối qua một điểm M [ x0 ; y0 ]và có phương cho trước hoặc đi qua hai điểm do trước.- Tính được tọa độ của vectơ pháp tuyến nếu biết tọa độ của vectơ chỉ phương của một đường thẳng vàngược lại.- Biết cách chuyển đổi giữa phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng.- Tính được khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.- Tính được góc giữa hai đường thẳng.I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂMVectơ chỉ phương của đường thẳngVectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu u  0 và giá của u song song hoặc trùngvới  .Nhận xét. Một đường thẳng có vơ số vectơ chỉ phương.Nếu u là vectơ chỉ phương của  thì ku  k  0  cũng là vectơ chỉ phương của  .Vectơ pháp tuyến của đường thẳngVectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu u  0 và giá của n vng góc với  .Nhận xét. Một đường thẳng có vơ số vectơ pháp tuyến.Nếu n là vectơ pháp tuyến của  thì kn  k  0  cũng là vectơ pháp tuyến của  .Liên hệ giữa vectơ chỉ phương, hệ số góc, vectơ pháp tuyến của một đường thẳngCho đường thẳng  với u   ui ; u2  ; n   n1; n2  ; k lần lượt là vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến và hệsố góc của  .Nhận xét 1. u  n  un  0  u1, n1  u2 , n2  0 .Trang 1 Nhận xét 2. k u2n 1u1n2Các dạng phương trình đường thẳngCho đường thẳng  đi qua điểm M  x0 ; y0  và nhận u   u1; u2  làm vectơ chỉ phương n   a; b  làmvectơ pháp tuyến.1. Phương trình tham số của đường thẳng x  x0  tu1Phương trình tham số của đường thẳng  là  y  y0  tu22. Phương trình tổng quát của đường thẳngPhương trình tổng quát của đường thẳng  có dạngax  by  c  0, trong đó c  ax0  by03. Một số trường hợp đặc biệtCho đường thẳng  cắt Ox, Oy lần lượt tại M  a0 ;0 ; N  0; b0  , trong đó a0 .b0  0 . Khi đó ta cóphương trình đường thẳng theo đoạn chắn làx y  1.a0 b0Vị trí tương đối giữa hai đường thẳngCho hai đường thẳng d : ax  by  c  0 và a x  b y  c  0ax  by  c  0ta xét hệ phương trình  a x  b y  c  0I +] Hệ  I  vô nghiệm  d / / d ' . I  vô số nghiệm  d / / d ' .+] Hệ  I  có nghiệm duy nhất  d cắt d'.+] HệGóc giữa hai đường thẳngGóc giữa hai đường thẳng 1 và 2 , có vectơ pháp tuyếnn1   a1; b1  và n2   a2 ; b2  được tính theo cơng thức:cos  1 ,  2   cos  n1 , n2  n1  n2a1a2  b1b2n1  n2a12  b12  a22  b22Trang 2 Chú ý: Góc giữa hai đường thẳng ln là góc nhọn hoặc vng nên khi tính Cơsin của góc giữa haiđường thẳng ta cần lấy giá trị tuyệt đối côsin góc giữa hai vectơ chỉ phương [hoặc pháp tuyến].Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳngKhoảng cách từ một điểm M  x0 ; y0  đến đường thẳng  : ax  by  c  0  a 2  b2  0  được tính theocơng thức:d [ M , ] ax0  by0  ca 2  b2Mở rộng:Khoảng cách giữa hai đường thẳng song songCho 1 : ax  by  c  0; 2 : ax  by  c'  0 Khoảng cách giữa hai đường thẳng 1; 2 làd  1 ;  2  c  ca 2  b2SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓAII CÁC DẠNG BÀI TẬPDạng 1. Xác định các yếu tố của đường thẳng khi biết phương trình đường thẳngBài tốn 1. Phương trình được cho ở dạng tổng quátPhương pháp giảiTrang 3 Cho đường thẳng  : ax  by  c  0  a 2  b2  0 +] Đường thẳng có một vectơ pháp tuyến là n  a; b  , một vectơ chỉ phương là u [b; a ] .Chú ý:Các vectơ chỉ phương của  là ku [k  0] .Các vectơ pháp tuyến của  là kn  k  0  .+] Đường thẳng đi qua điểm M  x0 ; y0  thỏa mãn ax0  by0  c  0abVí dụ: Cho đường thẳng  : 2 x  3 y  1  0 .+] Hệ số góc của đường thẳng là k  a] Xác định một vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng.b] Xác định điểm thuộc đường thẳng có hồnh độ là 3.Hướng dẫn giảia] Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng là n  2;3Một vectơ chỉ phương của đường thẳng u  3;2  .b] Gọi M  3; y0  là điểm thuộc đường thẳng  . Khi đó ta có: 2.3  3 y0  1  0  y0  7.37Vậy điểm M  3;   thuộc đường thẳng  : 2 x  3 y  1  03Ví dụ mẫuVí dụ 1. Cho đường thẳng d : 7 x  14 y  13  0 . Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của d?A. n  [1; 2] .B. n  [14;7] .C. n  [2; 4] .D. n  [14;7] .Hướng dẫn giảiMột vectơ pháp tuyến của đường thẳng d : 7 x  14 y  13  0 là n  [7;14] . Do đó đường thẳng d nhậnkn [k  0] làm vectơ pháp tuyến. 2 2  2Ta thấy [2; 4]   ,7; ,14  n nên n  [2; 4] là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.7 7 7Chọn C.Ví dụ 2. Cho đường thẳng  : 2 x  y  5  0 .a] Xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳng có hồnh độ là 4.b] Biểu diễn các điểm thuộc đường thẳng có hồnh độ là t.c] Xác định điểm trên đường thẳng  cách gốc tọa độ một khoảng bằngHướng dẫn giải5 .a] Đường thẳng có một vectơ pháp tuyến là n0 [2;1] nên có một vectơ chỉ phương là u0 [1;2] .Do đó các vectơ chỉ phương của đường thẳng có dạng ku0  [k;2k ], k  0 . Vậy vectơ chỉ phương cầntìm là  4; 8 .b] Các điểm thuộc đường thẳng  : 2 x  y  5  0 có hoành độ t là  t;5 – 2t  .c] Theo câu b ta có M  t;5 – 2t   nên.OM  [t  0]2  [5  2t  0]2  5  5t 2  20t  20  0  t  2Vậy điểm cần tìm là M  2;1 .Trang 4 Bài tốn 2. Phương trình được cho ở dạng tham số, chính tắcPhương pháp giải x  x0  tu1Cho đường thẳng  : . y  y0  tu2+] Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là u  u1; u2  và một vectơ pháp tuyến là n  u2 ; u1  .+] Hệ số góc của đường thẳng là k u2u1+] Đường thẳng đi qua điểm M  x0 ; y0  .+] Với mỗi giá trị của t thay vào phương trình tham số ta được tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng. x  1  2tVí dụ: Cho đường thẳng d : . y  2  3ta] Xác định một vectơ chỉ phương, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng.b] Xác định hệ số góc của đường thẳng.Hướng dẫn giảia] Một vectơ chỉ phương của đường thẳng là u [2;3] .Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng là n  3; 2  .b] Hệ số góc của đường thẳng là k 3.2Ví dụ mẫu x  3  2t[t  ]Ví dụ. Cho đường thẳng d :  y  4  ta] Xác định điểm trên trục hoành thuộc đường thẳng.b] Xác định điểm thuộc đường thẳng d có hoành độ lớn gấp hai lần tung độ.Hướng dẫn giảia] Gọi điểm M  x0 ;0 là điểm trên trục hoành và thuộc đường thẳng d. x  3  2t x  3  2.4 0 x0  5 .Khi đó  0t  40  4  tVậy điểm cần tìm là M  5;0 .b] Giả sử điểm N  3  2t0 ; 4  t0  thuộc đường thẳng d và có hồnh độ lớn gấp hai tung độ.Khi đó 3  2t0  2  4  t0   11  4t0  t0 114 5 5Vậy điểm cần tìm là N   ;   2 4Bài tập tự luyện dạng 1BÀI TẬP CƠ BẢNCâu 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng  có phương trình tổng qt là 16 x  8 y  2019  0 .Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?A.  có vectơ pháp tuyến là n  16,8 .C.  có hệ số góc k 1.2B.  có vectơ chỉ phương là n   1; 2  .2019 D.  đi qua điểm M  0; .8 Trang 5 x  2  tCâu 2. Cho đường thẳng d có phương trình [t  ] . Hệ số góc của đường thẳng d là. y  3  2t123A. 2 .B.  .C..D. .232Câu 3. Đường thẳng  vuông góc với đường thẳng AB, với A  2;1 và B  4;3 . Đường thẳng  cómột vectơ chỉ phương làB. d  [1;3] .A. a  [3;1] .C. b  [3; 1] .D. c  [1; 3] .Câu 4. Cho đường thẳng d : 2 x  3 y  4  0 . Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của d?A. n  [2;3] .B. n  [3; 2] .C. n  [3; 2] .D. n  [3; 2] .Câu 5. Cho tam giác ABC với A  2;4 ; B  2;1 ;C  3;0 . Đường thẳng chứa trung tuyến AM của tam giácABC nhận vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương?A.  2;14 .B.  1;7  .C. 14; 2 .D.  7;1 . x  2  3tCâu 6. Cho đường thẳng [d ] : . Giá trị của m để đường thẳng d đi qua điểm A  1; 3 là y  1  4mtA. 1 .B. 1 .C. 2 .D. 2 . x  2  3t. . Điểm nào sau đây không thuộc  d  ?Câu 7. Cho [d ] :  y  5  4tA. A  5;3 .B. B  2;5 .C. C  1;9  .D. D 8; 3 . x  2  3t7Câu 8. Cho đường thẳng d ] : và điểm A  ; 2  . Điểm A   d  ứng với giá trị nào của t?2 y  1  2t311A. t  .B. t  .C. t   .D. t  0 .222Câu 9. Đường thẳng  d  có vectơ pháp tuyến n   a, b  . Mệnh đề nào sau đây sai?A. u1  [b; a] là vectơ chỉ phương của  d  .B. u2  [b; a] là vectơ chỉ phương của  d  .C. n  [ka; kb], k  0 là vectơ pháp tuyến của  d  .b[a  0] .a x  2  3tCâu 10. Cho [d ] : . Điểm M   d  cách A  0;1 một đoạn bằng 2 2 lày  3 tD. d  có hệ số góck 14 7 A. M1 [2;3], M 2  ;  . 5 5 14 7 C. M1 [2;3], M 2 ;  . 5 5 14 7 B. M1 [2;3], M 2 ; . 5 5 14 7 D. M1 [2;3], M 2  ;  . 5 5Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A  2;1 và đường thẳng  : x  2 y  5  0 . Điểm Mthuộc đường thẳng  sao cho AM  10 làA. M1  1;2 , M 2  4;3 .B. M1  1;2 , M 2  3;4 .C. M1 1;2 , M 2 3;4 .D. M1 1;2 , M 2  4;3 .Trang 6 Bài tập nâng caox  1 tCâu 12. Cho hai điểm A  1;2 , B 3;1 và đường thẳng  : . Tọa độ điểm C thuộc  để tamy  2 tgiác ACB cận tại C là 7 13  7 13  13 7  7 13 A.  ;  .B.  ;   .C.  ;  .D.   ;  .6 6 6 6  6 6 6 6Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABC có A 1;2 , B  4; 2 , C  3;5 . Một vectơ chỉphương của đường phân giác trong của góc A làA. u  [2;1] .B. u  [1; 1] .C. u  [1; 2] .D. u  [1;1] .Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M  4; 1 , đường thẳng d qua M , d cắt tia Ox, Oy lầnlượt tại A  a; 0 , B  0; b  sao cho tam giác ABC [O là gốc tọa độ] có diện tích nhỏ nhất. Giá trị a  4bbằngA. 14 .B. 0.C. 8.D. 2 .x yCâu 15. Đường thẳng d :   1, với a  0, b  0 , đi qua điểm M  16 và tạo với các tia Ox, Oy mộta btam giác có diện tích bằng 4. Giá trị của S  a  2b làA. S  6 .C. S B. S  10 .Đáp án trắc nghiệm1-C2-A3-D4-A11 - B12 - A13 - D14 - BHướng dẫn giảiCâu 10.Gọi M [2  3t;3  t ]  [d ] . Khi đó:5-B14 - B6-B5  7 7.37-AD. S  8-C74.39-Dt  0AM  [2  3t  0]  [3  t  1]  2 2  10t  16t  8  10t  16t  0  t   852222Với t = 0 ta có M1 [-1 ; 2]Với t  8ta có M2 [3 ; 4]5Câu 11.Gọi điểm M [2t  5; t ]   . Khi đó:t  2AM  10  [2t  7] 2  [t  1] 2  10  5t 2  30t  40  0  t  4Với t = 2 ta có M1 [-1 ; 2]Với t = 4 ta có M2 [3;4].Câu 12.Gọi C [1  t ; 2  t ]   . Để tam giác ABC cân tại C thìCB  CA  [t  2]2  [t  1]2  [t  2]2  t 2  t 1 7 13 C ; 66 6 Kiểm tra thấy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.Câu 13.Trang 710 - B Cách 1. Ta có AB  [3; 4], AC  [4;3] | AB || AC |Suy ra  ABC là tam giác cân tại A.Gọi M là trung điểm của BC khi đó AM là vectơ chỉ phương của đường phân giác trong của góc A.xB  xC4  [3] 1 xM  2 xM 22  M 1;3Ta có 2 2 y  yB  yC y  2  5  3M M222 1 1Suy ra AM    ;   2 2Vậy một vectơ chỉ phương của đường phân giác trong của góc A là u  [1;1]Cách 2. AB  [3; 4] AB  3 4 AC  4 3   ;  ; AC  [4;3]  ; | AB |  5 5 | AC |  5 5 Suy ra vectơ chỉ phương của phân giác trong góc A là u ABAC  1 1  ; | AB | | AC |  5 5 Vậy một vectơ chỉ phương của đường phân giác trong của góc A là u  [1;1]Câu 14.Ta có phương trình đường thẳng d có dạngDo d đi qua M [4; 1] nên ta cóx y  1 [theo giá thiết ta có a >0, b >0].a b4 1 1a bMặt khác diện tích của tam giác vuông AB0 là S ABO Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si, ta có 1 1ab24 14 141 2   ab  4  ab  8a ba b2ab4 1 a  ba  8Vậy diện tích của tam giác vng ABO nhỏ nhất bằng 8 khi a, b thỏa mãn  4  1  1 b  2 a b a  4b  8  4.2  0Câu 15.x y1 6d :   1 đi qua điểm M [-1;6]   1 [1]a ba bx yĐường thẳng d :   1 tạo với các tia Ox và Oy tam giác có diện tích bằng 4 nên ab = 8 [2].a b 1 61 6 b 6  1   1   1Từ [1] và [2], ta có  a b a b 8 bab  8ab  8ab  8b  4[thỏa mãn ] hoặca  2b  123 [không thỏa mãn ]a   2 S  a  2b  10Dạng 2. Lập phương trình đường thẳngTrang 8 Bài tốn 1. Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳngPhương pháp giảiĐể viết phương trình tham số của một đường thẳng  , ta cần xác định:+] Một điểm M  x0 ; y0  +] Một vectơ chỉ phương của đường thẳng  là u  [a; b] x  x0  at[t  ] .Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng  là  y  y0  btx  x0 y  y0Nếu a.b  0 thì đường thẳng  có phương trình chính tắc là  :.abVí dụ: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng  đi qua điểm M  1;3 và nhậnu   2; 1 làm một vectơ chỉ phương.Hướng dẫn giảiTa có M [1;3]  ; u  [2; 1] là vectơ chỉ phương của  . Khi đó, phương trình tham số của đường x  1  2t[t  ] .thẳng  là y  3tPhương trình chính tắc của đường thẳng  làx 1 y  321Ví dụ mẫuVí dụ 1. Viết phương trình tham số, chính tắc [nếu có] của đường thẳng d trong các trường hợp sau:a] d đi qua A 1; 2  và nhận u   1;0  làm vectơ chỉ phương.b] d đi qua hai điểm M  3;1 và  2  2  .c] d đối xứng với d ' : x  2 y  16  0 qua l 1  3 . x  2  3t[t  ] .d] d đi qua điểm B  4; 3 và song song với đường thẳng d  :  y  2tHướng dẫn giảia] Ta có A 1; 2  d và u   1;0  là vectơ chỉ phương của d. x  3  5t[t  ]Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng d là  y  1  3tVì u   1;0  là vectơ chỉ phương của d nên d khơng có phương trình chính tắc.b] Ta có MN   5; 3 là vectơ chỉ phương của d và M  3;1  d . x  3  5t[t  ]Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng d là  y  1  3tx  3 y 1Phương trình chính tắc của d là.53c] Chọn E [0;8]  d  . Gọi E  xE ; yE  là điểm đối xứng của E qua l . l là trung điểm của EE' và E  d [vì d đối xứng với d' qua l ].x  2 x 1  1  0 lE  E 'l   E E E [2; 14] yE  3  3  8  yE  14Trang 9 Tương tự chọn F ' 16;0  d ' . Khi đó F [14; 6]  d . x  2  2tVậy phương trình tham số của đường thẳng d là . y  14  tx  2 y  14Phương trìn chính tắc của đường thẳng d là.21 x  2  3t[t  ]  ud   [3; 2] là vectơ chỉ phương của d'd] Ta có d  :  y  2t ud cũng là vectơ chỉ phương của d vì d / / d ' .Vì B  4; 3  d nên phương trình tham số của đường thẳng d là x  4  3t[t  ] y  3  2tPhương trình chính tắc của d làx4 y332Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có A  2;1 , B 1; 5 và C  2,3 .a] Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của ABC .b] Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM, BN của ABC .c] Viết phương trình đường thẳng AD là đường phân giác trong góc A của ABC  D  BC  .d] Viết phương trình đường thẳng DG với G là trọng tâm của ABC .Hướng dẫn giảia] Ta có AB   3; 6 nên chọn uAB  [1; 2] là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. x  2  t[t  ]Vậy phương trình tham số của đường thẳng AB là  y  1  2tTa có AC   4; 2  nên chọn U AC  [2;1] là vectơ chỉ phương của AC. x  2  2t[t  ]Vậy phương trình tham số của đường thẳng AC là  y  1 tTa có BC  1;8 là vectơ chỉ phương của BC.x  1 t[t  ]Vậy phương trình tham số của đường thẳng BC là  y  5  8tTrang 10 xB  xC 1  2 3 xM  2  2  23 M  ; 1 .b] Vì M là trung điểm của BC nên 2 y  yB  yC  5  3  1M227Do đó AM   ; 2  nên chọn u AM  [7; 4] là vectơ chỉ phương của đường thẳng AM .2 x  2  7tVậy phương trình đường trung tuyến AM là [t  ] . y  1  4tTa có N  0;2 là trung điểm của AC  BN  [1;7] là vectơ chỉ phương của đường thẳng BN. x  tVậy phương trình đường trung tuyến BN là [t  ] . y  2  7tc] Cách 1:Gọi D  xD ; yD  là chân đường phân giác trong kẻ từ A đến BC của ABC .AB DC [tính chất đường phân giác trong tam giác]ACAB BD  DCACTa có BD Mà AB  [1  2]2  [5  1]2  3 5 và AC  [2  2] 2  [3  1] 2  2 5nên BD AB3 53 DC  DC  DC .AC22 583x0 x0  1   2  x0  8 1 52Suy ra  D ; 5 5  y  5  3  3  y   y  100025 18 6 Khi đó AD   ;  nên chọn uAD  [3; 1] là vectơ chỉ phương của AD.5 5  x  2  3t[t  ]Vậy phương trình đường phân giác trong AD của ABC là  y  1 tCách 2:Đặt u1 AB  3 6   1 2 ;; và| AB |  3 5 3 5   5 5 AC  42   2 1 ;;| AC |  2 5 2 5   5 5 Khi đó một vectơ chỉ phương của đường phân giác trong AD làu2  3 1 u  u1  u2  ; 5 5Vậy đường thẳng chứa đường phân giác trong AD đi qua điểm A  2;1 và nhận U AD   3; 1 làm vectơ x  2  3t[t  ]chỉ phương có phương trình là  y  1 tTrang 11 xA  xB  xC 2  1  2 1 xG 333d] Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên  y  y A  yB  yC  1  5  3   1 G333 1 1  G ; 3 3  19 2  DG  ;  nên chọn uDG  [19;2] là vectơ chỉ phương của DG. 15 15 1 x  3  19t[t  ]Vậy phương trình đường thẳng DG là  y  1  2t3Ví dụ 3. Cho hình bình hành ABCD có A  3; 1 , B  1;2 và C  4;2 . Viết phương trình các cạnh củahình bình hành ABCD.Hướng dẫn giảiTa có AB   2;3 là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. x  3  2t[t  ]Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là  y  1  3tTa có BC  [5;0] nên chọn uBC  [1;0] là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC. x  1  t[t  ]Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là y  2Vì AB / /CD [ABCD là hình bình hành] nên AB là vectơ chỉ phương của đường thẳng CD. x  4  2t[t  ]Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là  y  2  3tTa có AD / / BC [ ABCD là hình bình hành] nên u BC là vectơ chỉ phương của đường thẳng AD. x  3  t[t  ] .Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh AD là  y  1Bài tốn 2. Lập phương trình tổng qtPhương pháp giảiĐể viết phương trình tổng quát của một đường thẳng  , ta cần xác định:+] Một điểm M  x0 ; y0   .+] Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng  là n  [ A; B] .Khi đó, phương trình tổng qt của đường thẳng  là A  x  x0   B  y  y0   0 .Nếu đường thẳng  cắt trục Ox tại A  a;0 và cắt trục Oy tại điểm B  0; b  thì đường thẳng  cóphương trình đoạn chắn làx y  1[a.b  0] .a bVí dụ:a] Phương trình tổng qt của đường thẳng d đi qua điểm M 1;4 và nhận n  [5; 1] làm vectơ pháptuyến là 5  x 1   y  4  0 hay 5x  y 1  0 .Trang 12 b] Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ lần lượt tại A  2;0 và B  0; 3 làx y 1.2 3Ví dụ mẫuVí dụ 1. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d biếta] d đi qua điểm A  2;1 và nhận n  1  3 là một vectơ pháp tuyến.1.2c] d đi qua điểm C  3;2 và song song với đường thẳng d  : 2x  y  7  0 .b] d đi qua điểm B  0; 1 và có hệ số góc k x  6  t[t  ] .d] d đi qua điểm D  2; 2 và vng góc với đường thẳng d  :  y  2  2tHướng dẫn giảia] Ta có A  2;1  d và n  1; 3 là vectơ pháp tuyến của d.Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d là x  2  3  y 1  0 hay x  3 y  5  0 .b] Ta có k 11 n   ; 1 là vectơ pháp tuyến của d.22Khi đó ta chọn n  1; 2  là vectơ pháp tuyến của d.LạiB  0; 1  dcónênphươngtrìnhtổngqtcủađườngthẳngdlàx  0  2  y  1  0 hay x  2 y  2  0 .c] Vì d song song với đường thẳng d ' : 2 x  y  7  0 nên nd  nd '  [2; 1] là vectơ pháp tuyến của d'.LạicóC  3;2  dnênphươngtrìnhtổngqtcủađườngthẳngdlà2  x  3   y  2  0 hay 2x  y  4  0 .x  6  t[t  ] nên u   1;2  là vectơ chỉ phương của d'd] Ta có d ' :  y  2  2t u  [1; 2] là vectơ pháp tuyến của d [vì d  d ' ].Lại có D  2; 2  d nên phương trình tổng quát của đường thẳng d là[ x  2]  2[ y  2]  0 hay  x  2 y  2  0Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có A  2;3 , B  2; 1 và C  4; 1 .a] Viết phương trình đường thẳng chứa các đường cao của ABC . Tìm tọa độ trực tâm của ABC .b] Viết phương trình các đường trung trực của ABC . Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp củaABC .c] Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của ABC .d] Viết phương trình đường thẳng qua A và song song với BC.Hướng dẫn giảiTrang 13 a] Gọi H là trực tâm của tam giác ABC+ Ta có AB   4; 4 là vectơ pháp tuyến của đường cao CH [vì AB  CH ].Chọn nCH  1; 1 là vectơ pháp tuyến của CH.Với C  4; 1 : CH thì phương trình đường cao CH là  x  4   y  1  0 hay x  y  3  0 .+] Ta có AC   2; 4 là vectơ pháp tuyến của đường cao BH [vì AC  BH ].Chọn nBH  [1;2] là vectơ pháp tuyến của BH.Với B[2; 1]  BH thì phương trình đường cao BH là x – 2  2  y  1  0 hay x  2 y  0 .+] Ta có BC   6;0 là vectơ pháp tuyến của đường cao AH [vì BC  AH ].Chọn nAH  [1;0] là vectơ pháp tuyến của AH.Với A[2;3]  AH thì phương trình đường cao AH là x  2  0 .+] Ta có H  AH  CH nên tọa độ trực tâm H là nghiệm của hệ phương trìnhx  2  0 x  2.y 1x  y  3  0Vậy H  2;1 .b] +] Đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm BC và nhận BC làm vectơ pháp tuyến.Ta có M  1; 1 là trung điểm của BC và BC   6;0 là vectơ pháp tuyến của đường trung trực củađoạn thẳng BC hay n  1;0  là vectơ pháp tuyến của đường trung trực của BC. Vậy phương trình đườngtrung trực của BC là x  1  0 .+] Đường trung trực của đoạn thẳng AC đi qua trung điểm AC và nhận AC làm vectơ pháp tuyến.Ta có N  3;1 là trung điểm của AC và AC   2; 4 là vectơ pháp tuyến của đường trung trực củaAC hay n '  1;2  là vectơ pháp tuyến của đường trung trực của AC.Vậy phương trình đường trung trực của AC làx  3  2  y 1  0 hay x  2 y  1  0.+] Đường trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm AB và nhận AB làm vectơ pháp tuyến.Ta có P  0;1 là trung điểm của AB và AB   4; 4 là vectơ pháp tuyến của đường trung trực của ABhay n ''  1; 1 là vectơ pháp tuyến của đường trung trực của AB.Vậy phương trình đường trung trực của AB làx  0   y 1  0 hay x  y  1  0 .+] Tâm đường tròn ngoại tiếp của ABC là giao điểm của ba đường trung trực của các cạnh.Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC là nghiệm của hệ phương trìnhx 1  0 x  1y  0x  y 1  0Vậy l  1; 0  là tâm đường trịn ngoại tiếp ABC .c] +] Ta có AB   4; 4 là vectơ chỉ phương của AB  nAB  [1;1] là vectơ pháp tuyến của AB.Với A[2;3]  AB thì phương trình tổng quát của đường thẳng chứa cạnh AB làx  2  y  3  0 hay x  y  1  0.Trang 14 +] Ta có AC   2; 4 là vectơ chỉ phương của AC  nAC  [2;1] là vectơ pháp tuyến của AC.VớiA[2;3]  ACthì phương trình tổng quát của đường thẳng chứa cạnh AC là2  x  2  y  3  0 hay 2 x  y  1  0.+] Ta có BC   6;0 là vectơ chỉ phương của BC  nBC  [0;1] là vectơ pháp tuyến của BC.Với C  4; 1  BC thì phương trình tổng quát chứa cạnh BC là0  x  4  y  1  0 hay y  1  0 .d] Đường thẳng qua A  2;3 và song song với BC sẽ nhận nBC  [0;1] làm vectơ pháp tuyến.Vậy phương trình đường thẳng thỏa mãn u cầu bài tốn là0.  x  2  y  3  0 hay y  3  0.Bài tập tự luyện dạng 2Câu 1. Phương trình đường thẳng  d  đi qua M  2;3 và có vectơ chỉ phương là u  [1; 4] là x  2  3t[t  ] .A.  y  1  4t x  1  2tC. [t  ] . y  4  3t x  2  t[t  ] .B.  y  3  4t x  3  2tD. [t  ] . y  4  tCâu 2. Phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua M 1; 3 và nhận vectơ u 1; 2  làm vectơ chỉphương làA.  : 2 x  y  5  0 .B.  :x 1 y  3.12x  1 t[t  ] .C.  :  y  3  2tD.  :x 1 y  3.12Câu 3. Đường thẳng đi qua A  1; 2  và nhận n  [1; 2] làm vectơ pháp tuyến có phương trình làA. x  2 y  5  0 .B. 2 x  y  0 .C. x  2 y –1  0 .D. x  2 y  5  0 .Câu 4. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua M 1; 3 và nhận vectơ n 12  làm vectơ pháptuyến làA.  : x  2 y  5  0 .x  1 t[t  ] .B.  :  y  3  2t x  1  2t[t  ] .C.  :  y  3  tD.  :x 1 y  3.21Câu 5. Cho đường thẳng  d  : x  2 y  1  0 . Đường thẳng    đi qua M 1; 1 và song song với  d  cóphương trình làA. x  2 y  3  0 .B. 2 x  y  1  0 .C. x  2 y  3  0 .D. x  2 y  1  0 .Câu 6. Cho tam giác ABC có A  2;0 , B  0;3 , C 3;1 . Đường thẳng đi qua B và song song với AC cóphương trình làA. 5 x – y  3  0 .B. 5 x  y  3  0 .Trang 15 C. x  5 y  15  0 .D. x  5 y  15  0 .Câu 7. Phương trình tham số của đường thẳng  d  đi qua điểm M  2;3 và vng góc với đường thẳng d ' : 3x – 4 y 1  0 là x  3  2t x  2  3tA. B. [t  ] .[t  ] . y  4  3t y  3  4tx 2 y 3C..D. 4 x  3 y  1  0 .34Câu 8. Phương trình tổng quát của đường thẳng  đi qua điểm M  1;2 và có hệ số góc k  3 làA. 3x  y  1  0 .B. 3x  y  5  0 .C. x  3 y  5  0 .D. 3x – y  5  0 .Câu 9. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A  2;4 ; B  6;1 là .A. 3x  4 y  10  0 .B. 3x  4 y  22  0 .C. 3x  4 y  8  0 .D. 3x  4 y  22  0 .Câu 10. Cho điểm A 1; 1 ; B 3;  5 . Phương trình tham số đường trung trực của đoạn thẳng AB là x  2  2t[t  ] .A.  y  3  tx  2  t[t  ] .C.  y  3  2t x  2  2t[t  ] .B.  y  1  3t x  1  2t[t  ] .D.  y  2  3tCâu 11. Cho tam giác ABC có A  2; 1 ; B  4;5 ; C  3;2 . Phương trình tổng quát của đường cao AHtrong tam giác ABC làA. 3x  7 y  11  0 .B. 7 x  3 y  11  0 .C. 3x  7 y  13  0 .D. 7 x  3 y  13  0 .Câu 12. Cho tam giác ABC có A  1  2 ; B  0; 2 ; C  2;1 . Đường trung tuyến BM của ABC cóphương trình làA. 5 x – 3 y  6  0 .B. 3x  5 y  10  0 .C. x  3 y  6  0 .D. 3x  y  2  0 . x  1  2tCâu 13. Phương trình tham số của đường thẳng d là . Phương trình nào sau đây là phương y  2  3ttrình tổng quát của đường thẳng d?A. 3x  2 y  7  0 .B. 3x  2 y  7  0 .C. 3x  2 y  7  0 .D. 3x  2 y  1  0 .Câu 14. Cho đường thẳng  d  : 3x  5 y 15  0 . Phương trình nào sau đây không phải là một dạng kháccủa  d  ?x yA.   1 .5 33B. y   x  3 .5x  t[t  ] .C. y  55x  5  tD. 3 [t  ] y  t.Câu 15. Cho hai điểm P 1;6 và Q  3; 4 và đường thẳng  : 2 x  y  1  0 . Điểm N thuộc  sao choNP  NQ lớn nhất làTrang 16 A. N  3;5 .B. N 1;1 .Đáp án trắc nghiệm1-B2-B3-D11 - B12 - A13 - B4-C14 - CC. N  1; –3 .5-A15 - D6- D7-BD. N  9; 19 .8-D9-B10 - AHướng dẫn giảiCâu 10.Ta Có M [2;-3] là trung điểm của AB và AB  [2; 4]  2  [1; 2] .Gọi d là đường thẳng trung trực của AB thì d qua M [2;-3] và nhận u  [2;1] làm vectơ chỉ phương nên x  2  2tcó phương trình là [t  ] y  3  tCâu 11.Gọi AH là đường cao của tam giác.AH đi qua A [2;-1] và nhận BC  [7; 3]  [7;3] làm vectơ pháp tuyến.Vậy phương trình tổng quát của đường cao AH là 7[ x  2]  3[ y  1]  0  7 x  3 y  11  0 .Câu 12.1 3 1 3 5Gọi M là trung điểm AC  M   ;   ; BM    ;      [3;5]2 2 2 2 2BM qua B [0;2] và nhận n  [5; 3] làm vectơ pháp tuyến.Vậy đường trung tuyến BM có phương trình là 5 x  3[ y  2]  0  5 x  3 y  6  0Câu 15.Phương trình đường thẳng PQ là 5x  2y + 7 = 02 x  y  1  0 x  9Gọi H    PQ tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình :  y  195 x  2 y  7  0Vậy H [-2;-19].Đặt f1 [x, y] = 2x  y 1 .Vì f1 [P]. f1 [Q]  [2.1  6 1]  [2.3  4 1]  15  0  P và Q cùng phía so với  .Với mọi điểm N  thì | NP  NQ || PQ || HP  HQ || NP  NQ |max | PQ | .Dấu bằng xảy ra khi N trùng H [-2;-19].Dạng 3. Vị trí tương đối của hai đường thẳngPhương pháp giảiĐể xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d : ax  by  c  0 và d  : a x  b y  c  0 ta xét hệ phươngax  by  c  0trình  a x  b y  c  0I • Hệ  I  vơ nghiệm  d / / d ' .• Hệ  I  vô số nghiệm  d  d  .• Hệ  I  có nghiệm duy nhất  d cắt d'.Khi đó nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm của d và d'. Với trường hợp a .b .c  0 . Sử dụng biện luận hệhai phương trình bậc nhất hai ẩn ta có kết quả sau:Trang 17 a bthì hai đường thẳng d và d ' cắt nhau.a  ba b c• Nếu      thì d / / d a b ca b c• Nếu      thì d  d a b cVí dụ: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng saua] d : 2x  3y  0 và d  :3x  y  2  0 .• Nếub] d : x  y  2  0 và d  : 2x  2 y 1  0 .c] d : x  y  2  0 và d  : 2x  2 y  4  0 .Hướng dẫn giải2 3a] Ta có nên d cắt d'.3 11 1 2b] Ta có :  nên d / / d '2 2 11 1 2c] Ta cónên d  d '2 2 4Ví dụ mẫuVí dụ 1. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng saua] d1 : x  2 y  2  0 và d2 : x  y 1  0 x  1  t[t  ]b] d1 : 8 x  2 y  3  0 và d 2 :  y  2  4tx  1 t x  1  2t[t  ] và d 2 : [t  ]c] d1 :  y  2  t y  2tHướng dẫn giải1 2a] Vì nên d1 cắt d 2 .1 1b] Ta Có x  1  tx 1 y  2d2 : [t  ]  4[ x  1]  y  2  4 x  y  6  014 y  2  4t8 2 3nên d1 / / d2 .4 1 6x  1 tx 1 y  2[t  ]  x  y 1  0 .c] Ta có d1 : 11 y  2  tKhi đó x  1  2tx 1 yd2 : [t  ]   2x  2 y  2  0  x  y 1  0 .22 y  2tVậy d1  d2Ví dụ 2. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau đây1 : x  2 y 1  0 và 2 : 3x  6 y 1  0A. Song song.C. Vng góc nhau.Hướng dẫn giảiB. Trùng nhau.D. Cắt nhau nhưng khơng vng góc.Trang 18 x  2 y 1  0Cách 1. Vì hệ phương trình : vơ nghiệm nên hai đường thẳng đã cho song song.3x  6 y  1  0Cách 2. Đường thẳng A1 có vectơ pháp tuyến n1  [1; 2] và 2 và A, có vectơ pháp tuyếnn2  [3;6].Hai đường thẳng 2 , 1 có n2  3n1 và 1  1 nên hai đường thẳng này song song.Cho đường thẳng 1 có vectơ pháp tuyến n1 và đường thẳng 2 có vectơ pháp tuyến n2 .Khi đó:+] n1  kn2 ; k +] n1  kn2 ; k và có một điểm chung [hoặc c c1  kc2 ] thì hai đường thẳng trùng nhau.và lấy một điểm bất kì của 1 khơng thuộc 2 thì hai đường thẳng song song[hoặc c1  ck2 ].+] n1  kn2 ; k thì hai đường thẳng cắt nhau: Trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau nếun1  n2  0 thì hai đường thẳng vng góc với nhau. Ta có kết quả tương tự đối với hai vectơ chỉ phương.Chú ý: Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng chính là nghiệm của hệ phương bậc nhất hai ẩn.Chọn AVí dụ 3. Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng:d1 : 4x  3y 18  0; d2 :3x  5 y 19  0 .Hướng dẫn giải4 x  3 y  18  0x  3Giải hệ phương trình : .y  23x  5 y  19  0Vậy hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại điểm3;2 .Chọn A.Ví dụ 4. Cho đường thẳng d :  m  2 x   m 1 y  3  0 .a] Tìm m để d / / d2: 2x  y 1  0 . .b] Tìm m để d  d2 : x  2 y  5  0 .Hướng dẫn giải[m  2]  2[m  1]3m  0m0.a] Để d / / d1 thì  m  4m  1  3Vậy m  0 thì d / / d1 .b] Để d  d2 thì nd .nd2  0  1 [m  2]  2  [m 1]  0  m  4 .Vậy m  4 thì d  d2 .Ví dụ 5. Cho hai đường thẳng d1 :  m  1 x  2m  2  0 vàd2 : 2mx   m  1 y  m –1  0 . Tìm m đểa] d1 cắt d2. Tìm tọa độ giao điểm của chúng.b] d1 / / d2 .c] d1  d2 .d] d1  d2 .Hướng dẫn giảiTrang 19 [m  1] x  2my  2  0Xét hệ phương trình , ta có2mx  [m  1] y  m  1  0m  1 2mD [m  1]2  4m2  3m2  2m  1  [1  m][3m  1] .2m m  1Dx 2m2 2m[m  1]  [2][m  1]  2m2  2  2[1  m][m  1] .m  1 m  1Dy 2m 1 2.2m  [m  1]2  m2  2m  1  [1  m] 2 m  1 2mm  11  m  0a] d1 cắt d2  D  0  [1  m][3m  1]  0  1 .3m10m31Vậy m  1 và m mở thì d1 cắt d2.3Khi đó, tọa độ giao điểm của d1 và d2 làD 2[m  1]x x D3m  1 2[m  1] 1  m hay M ;D3m13m  1 1myy D 3m  1D  0[1  m][3m  1]  0b] d1 / / d 2    Dx  0   2[1  m][m  1]  0 D  0[1  m]2  0 y1  m  03m  1  013m  1  0 . 1  m  0  m 31  m  0m  1  0m  1  0Vậy m 1thì d1 / / d2 .3[1  m][3m  1]  0c] d1  d 2  D  Dx  Dy  0  2[1  m][m  1]  0  1  m  0  m  1 .[1  m]2  0Vậy m  1 thì d1  d2 .d] Ta có n1  [m  1;2m] là vectơ pháp tuyến của d1 .n2  [2m; m  1] là vectơ pháp tuyến của d 2 .d1  d2  n1  n2  n1  n2  0 [m  1]  2m  2m[m  1]  0 4m[m  1]  0m  0m  0 m  1m  1  0Vậy m  0 hoặc m  1 thì d1  d2 .Trang 20 Chú ý:Giải hệ phương trìnhax  by  cbằng cách sử dụng công thức: a x  b y  cDab ab  ab abDx bbc cb  cbc'Dy ca ac  ac ca+ Nếu D  0 thì hệ có nghiệm duy nhấtD D [ x; y ]   x ; y  D D+ Nếu D  0 và Dx  0 [hoặc Dy  0] thì hệ vô nghiệm.+ Nếu D  Dx  Dy  0 thì hệ vơ nghiệm.Ví dụ 6: Hai đường thẳng d1 : mx  y  m 1, d2 : x  my  2 song song khi và chỉ khiA. m  2 .Hướng dẫn giảid1 / / d 2 B. m  1.C. m  1.D. m  1.m2  1m  1m 1 m 1  m  11 m2m  1; m  2m[m  1]  2Chọn C.Ví dụ 7. Cho đường thẳng d :  m  2 x   m 1 y  3  0 .a] Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định. Tìm tọa độ điểm cốđịnh đó.b] Biện luận vị trí tương đối của d với d2 : 2  m 1 x  y  2  0 theo m.c] Trong trường hợp d cắt d3 tại B, tìm quỹ tích điểm B khi m thay đổi.Hướng dẫn giảia] Ta có d : [m  2] x  [m  1] y  3  0  mx  2 x  my  y  3  0 [ x  y ]m  2 x  y  3  0x  y  0x  1Để 1 đúng với mọi m thì . y  12 x  y  3  0Vậy tọa độ điểm cố định mà đường thẳng d luôn đi qua là 1; 1 .[m  2] x  [m  1] y  3  0b] Xét hệ phương trình  I  2[m  1] x  y  2  0.m  2 m 1 m  2  2[m  1]2  2m2  5m  m[2m  5] .Ta có D 2[m  1]1Dx m  1 3 2[m  1]  1 [3]  2m  5 .12Dy 3 m  2 3.2[m  1]  [2][m  2]  4m  10  2[2m  5] .2 2[m  1]Trang 21 m  0Với D  0  m[2m  5]  0  5 .m2Dx 1 x  D  mKhi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất là 1  y  Dy  2D m1 2Suy ra d cắt d3 tại B  ;  .m mm  0Với D  0  m  522 x  y  3  0+] Nếu m  0 thì hệ phương trình  I  trở thành 2 x  y  2  02 1 3Khi đónên d / / d3 .2 1 2395 x  y 3  0+] Nếu m thì hệ phương trình  I  trở thành  2223x  y  2  09 33Khi đó 2  2 nên d  d3 .3 1 25c] Theo câu b, ta có d cắt d3 khi m  0 và m  .21 2Khi đó B  ;  là giao điểm của d và d3.m m11m x 1 2xm   2x  y  02x yy  2m ymVậy quỹ tích của điểm B là đường thẳng có phương trình là 2 x  y  0 bỏ đi điểm O  0;0 và điểm2 4B  ; 5 5Ví dụ 8. Cho ba đường thẳngd1 : 2x  y 1  0, d2 : x  2 y 1  0, d3 : mx  y  7  0Để ba đường thẳng này đồng quy thì giá trị của m làA. m  6 .B. m  6 .C. m  5 .Hướng dẫn giảiTọa độ giao điểm của d1 và d2 là nghiệm của hệ phương trình2 x  y  1  0x  1 y  1x  2 y 1  0D. m  5 .Vậy d1 cắt d2 tại M 1; 1 .Trang 22 Để ba đường thẳng d1 , d2 , d3 đồng quy thì d3 phải đi qua điểm M 1; 1 . Vậy tọa độ M thỏa mãn phươngtrình của d3  m 1 7  0  m  6 .Chọn B.Ví dụ 9. Cho hai đường thẳngd1 : [a  b] x  y  1  0 và d 2 :  a 2  b 2  x  by  a  0 với a 2  b2  0a] Tìm mối quan hệ giữa a và b để d1 và d2 cắt nhau.b] Tìm điều kiện giữa a và b để d1 và d2 cắt nhau tại một điểm thuộc trục hoành.Hướng dẫn giảia] Giả sử a  b , ta có d1 :  y 1  0 và d2 : y  1  d1  d2 .Do đó a  b để d1 cắt d2 thìa 2  b2 ba b b b  [a  b]  a  2b  0 .a b111a  bVậy thì d1 cắt d2.a  2b  0b] Từ câu a] ta có d1 và d2 cắt nhau tại điểm M [m;0]  Ox .1[ a  b ] m  1  0m  a  b [ do a  b]Ta có  2 2 a  b  m  a  0 2 2 a  b  m  a  01  a 2  b2   a  0  2a  ba b2a  bVậy thì d1 cắt d2 tại điểm thuộc trục hồnh.a  bVí dụ 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳngd1 : x  my  2  0 và d2 : mx  y  m  2  0 [m là tham số].Chứng minh rằng với mọi mđường tròn cố định.Hướng dẫn giảihai đường thẳng d1 và d2 luôn cắt nhau tại một điểm nằm trên mộtTa có n1  [1; m] là vectơ pháp tuyến của d1 , n2  [m;1] là vectơ pháp tuyến của d2.Khi đó n1 n2  1 m  m 1  0 nên d1  d2 .Giả sử d1 cắt d2 tại điểm M.Ta có d1 : x  my  2  0 có điểm cố định là A  2;0 ;d2 : mx  y  m  2  0  [ x 1]m  y  2  0 có điểm cố định là B 1; 2  .Do đó tập hợp điểm M là đường trịn đường kính AB.Bài tập tự luyện dạng 3Phần trắc nghiệmCâu 1. Trong mặt phẳng Oxy, hai đường thẳng d1:x  3y 18  0; d2 :3x  5 y 19  0 cắt nhau tại điểmcó tọa độ làA.  3; 2  .B.  3; 2  .C.  3; 2  .D.  3; 2  .Câu 2. Cho bốn điểm A  0; 2 , B  1;0 , C  0; 4 , D  2;0 . Tọa độ giao điểm của hai đường thẳngAB và CD làTrang 23 A. 1; 2 . 3 1 B.  ;  . 2 2C.  3; 2  .D. Khơng có giao điểm. x  1  2tCâu 3. Cho hai đường thẳng d và d' biết d : 2 x  y  8  0 và d  : . Biết I  a, b  là tọa độ giaoy  3tđiểm của d và d'. Khi đó tổng a  b bằngA. 5.B. 1.C. 3.D. 6.Câu 4. Cho đường thẳng d1 : 2x  y 15  0 và d2 : x  2 y  3  0 . Khẳng định nào sau đây đúng?A. d1 và d2 vng góc với nhau.B. d1 và d2 song song với nhau.C. d1 và d2 trùng nhau.D. d1 và d2 cắt nhau và khơng vng góc với nhau.Câu 5. Cho bốn điểm A 1;2 , B  4;0 ,C 1  3 , D  7; 7  . Vị trí tương đối của hai đường thẳng AB vàCD làA. Song song.B. Cắt nhau nhưng khơng vng góc với nhau.C. Trùng nhau.D. Vng góc với nhau.Câu 6. Phương trình nào sau đây biểu diễn đường thẳng không song song với đường thẳng d : y  2 x –1 ?A. 2 x – y  5  0 .B. 2 x  y  5  0 .C. 2 x  y  0 .D. 2 x  y  5  0 . x  1  2t[t  ] . Với giá trị nào của m thìCâu 7. Cho hai đường thẳng d1 : [m  1] x  2 y  1  0 và d 2 : y  3 td1  d2 ?A. m  2 .B. m  0 .C. m  1 .Câu 8. Đường thẳng A : 3x  2 y  7  0 cắt đường thẳng nào sau đây?A. d1 : 3x  2 y  0 .B. d2 :3x – 2 y  0 .C. d3 : 3x  2 y – 7  0 .D. d4 6x  4 y 14  0.D. m  3 .Câu 9. Giá trị của m để hai đường thẳng d : 2 x  3 y  4  0 và d ' : 4mx  3 y  3 – 8m  0 vng góc là9191.B. m  .C. m   .D. m   .8282Câu 10. Cho tam giác ABC có A  27  ; B 3;5 ; C 1; 4  . Biết rằng trực tâm của tam giác ABC là điểmA. m H  x; y  . Giá trị của T  x  y làA. T  95 .B. T  72 .C. T  43 .D. T  54 .Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , hình chiếu vng góc của điểm A  2;1 lên đường thẳngd : 2 x  y  7  0 có tọa độ là 14 7 A.   ;   . 5 5 14 7 B.  ;  . 5 5C.  3;1 .5 3D.  ;  .3 2Câu 12. Cho hai đường thẳng  d1  : mx  y  m  1,  d  : x  3 y  2 cắt nhau khi và chỉ khiA. m  2 .B. m  1 .C. m  1 .D. m  1.Câu 13. Cho hai đường thẳng d1 : x  2 y 1  0, d2 : x  3 y  3  0 . Phương trình đường thẳng d đối xứngvới d1 qua d2 làA. 2 x – y  2  0 .B. x  2 y  2  0 .C. x  2 y  2  0 .D. 2 x  y  2  0 .Câu 14. Cho tam giác ABC với A 1;3 , B  2;4 , C  5 và đường thẳng d : 2 x  3 y  6  0 . Đườngthẳng d cắt cạnh nào của tam giác ABC ?A. Cạnh AB,B. Cạnh BC.Trang 24 C. Cạnh AC.D. Không cắt cạnh nào.Phần tự luậnCâu 15. Cho đường thẳng d : x  3 y  1  0 và điểm M  1; 4 .a] Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của điểm M lên d.b] Tìm tọa độ điểm đối xứng của M qua d .Câu 16. Cho hình bình hành ABCD có phương trình đường thẳng chứa cạnh AB, AD lần lượt là2x  y  3  0, x  2 y  1  0 và C 3;0 . Tìm tọa độ các đình và phương trình các cạnh cịn lại của hìnhbình hành ABCD.Đáp án trắc nghiệm1-C2-D3-A11 - B12 - B13 - AHướng dẫn giảiCâu 2.Cách 1.4-A14 - D5-A6-D7-D8-A9-D10 - BĐường thẳng AB có vectơ chỉ phương là AB  [1;2] và CD có vectơ chỉ phương là CD  [2;4] .Xét AC  [0; 2] và AB  [1;2] không cùng phương nên ba điểm A; B; C khơng thẳng hàng.Lại có AB  [1;2] và CD  [2;4] là hai vectơ cùng phương nên hai đường thẳng song song vớinhau. Vậy hai đường thẳng khơng có điểm chung.Cách 2. Lập phương trình đường thẳng AB và CD, sau đó biện luận số nghiệm của hệ phương trình.Câu 10.Đường cao AH của  ABC qua A [-2;7] và nhận CB  [2;9] làm vectơ pháp tuyến nên có phươngtrình: 2[ x  2]  9[ y  7]  0  2 x  9 y  59  0Đường cao AH của  ABC qua B[3;5] và nhận AC  [3; 11] làm vectơ pháp tuyến nên có phươngtrình là 3[ x  3]  11[ y  5]  0  3x  11y  46  0235x2 x  9 y  59  049Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình: 3x  11y  46  0  y  2694972Vậy T  x  y 7Câu 11.Cách 1. Đường thẳng đi qua A [2;1] và vng góc với d : 2x + y  7 = 0 có phương trình là : x  2 y  0Hình chiếu vng góc của điểm A lên đường thẳng d: 2x + y -7 = 0 thỏa mãn 14xx2y052 x  y  7  0  y  75Cách 2.Lấy M [m;7  2m]  d : 2 x  y  7  0 là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d.Trang 25