yêu cầu bồi thường
đệ trình đơn kiện về những thiếu sót phát hiện ra trong chất lượng mặt hàng, bao bì, về sản phẩm cung cấp không đồng bộ, cũng như về những sai sót của các công trình đã làm xong. YCBT đòi xoá bỏ những khuyết điểm đã phát hiện hay liệt những sản phẩm đó vào loại kém với giá hạ thích đáng. Có khi YCBT bãi bỏ cả hợp đồng giữa đơn vị cung ứng và đơn vị tiêu thụ, và đòi bồi thường những thiệt hại do không thực hiện trung thực điều kiện cung ứng hoặc làm những công trình chất lượng kém.
Page PAGE 1 of NUMPAGES 1
BÀI GIẢNG VỀ HÀM SỐ
HYPERLINK "//thongtintuyensinh.vn/ON-THI-DAI-HOC-ONLINE-MON-TOAN_C259_D6803.htm" \t "_blank" //thongtintuyensinh.vn/ON-THI-DAI-HOC-ONLINE-MON-TOAN_C259_D6803.htm
A – Sự đồng biến nghịch biến của hàm số
Bảng đạo hàm các hàm số thường gặp
Hàm sốĐạo hàm của hàm sốHàm sốĐạo hàm của hàm sốa [a là hằng số ]0sinx
x [đối số ]1
u + v
u’ + v’
u.v
a.u
u’v +uv’
a.u’
Ví dụ 1: Cho hàm số , giải bất phương trình f ‘[x]
TXĐ : D = R
Ví duj2 : Cho , giải phương trình f ’[x] = 0
TXĐ D = R
= 0 = 0
Với là là các số sao cho :
A - Sự biến thiên của hàm số
Các bước xét sự biến thiên của hàm số y = f[x] xác định trên D
Nếu f[x] đồng biến trên khoảng [a ; b]
Nếu f[x] nghịch biến trên khoảng [a ; b]
Nếu hàm số không đổi trên [a ; b]
Các ví dụ minh họa : Tìm chiều biến thiên của các hàm số sau :
y =
Bài tập về nhà :
Cho y = , giải pt y ‘’ = 0
Cho , [a là tham số ] .Xét dấu []
Tìm khoảng đồng biến nghịch biến của các hàm số sau : a] ; b] ;
c] ; d] ; e] y = ; f] ; g] [*]
Tóm tắt lời giải
2] TXĐ : D = R và đk xác định khi
f[x] = Vì :
y'
y
x
1
0
0
3d] TXĐ: D = khi đó ta có y’ = suy rat a có BBT của hàm số đã cho là :
Vạy hàm số nghịch biến trên và
đồng biến trên
+
-
y'
y
x
-1
0
3e] y = TXĐ: D = R
y’ = ta có BBT
Vậy : hàm số nghịch biến trên [] và đồng biến trên
XÉT SỰ BIẾN THIÊN CUA CÁC HÀM SỐ CHỨA THAM SỐ
Bài 1 : Tùy theo giá trị của tham số m hay cho biết sự biên thiên của hàm số
y =
Bg : TXĐ : D = R khi đó ta có y’ = là tam thức bậc có :
. Nếu – 2m + 5 thì hàm luôn đồng biến trên R
Nếu – 2m + 5 thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 [x1 x2 ] nên ta có bảng biến thiên của hàm số :
Suy ra hàm đồng biến trên
nghịch
bến trên Vói X1 ; x2 là nghiệm của pt y ‘ = 0 x1 < x2
Bài 2 : Cho hàm số y = . Tìm m để hàm đơn điệu trên txđ của nó khi đó cho biết hàm đồng biến hay nghịch biến
Bài giải
TXĐ : D = R
y’ =
Nếu m = 0 thì y ‘ = 6 > 0 hàm đơn điệu trên R
Nếu m = đổi dấu khi qua m = không thỏa ycbt
Nếu thì ycbt thỏa
. Tóm lại khi thì hàm đã cho đơn điệu trên txđ
Vì nên trên đoạn [] thì a = do đó khi
hàm đã cho đồng biến trên txđ của nó
Bài 3 : Tìm m để hàm số y = luôn nghịch biến trên txđ của nó
Bg : TXĐ D = R ; y’ = . Nếu m = 0 thì y’ = - 2x – 2 đổi dấu khi qua x = - 1 suy ra m = 0 không thỏa ycbt . khi m khác 0 ycbt thỏa
là các giá trị cần tìm
Bài 4: Tìm m để hàm số y = luôn đồng biến trên txđ của nó
Bg : TXĐ D = khi đó ta có ycbt thỏa khi và chỉ khi :
> 0 là các gí trị cần tìm
Dạng tìm đk của tham số để hàm đơn điệu trên D
Bài 1: Cho hàm số y = , Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng [1; + ]
Bg : TXĐ : D = R , y’ =
Nếu m =2 thì y’ hàm đồng biến trên R nên đồng biến trên [1; + ] m = 2 nhận
Nếu m y = 0
Nếu 3 – 2m < - 1 thì hàm đông biến trên nên cũng đông biến trên [1; + ] nên m > 2 nhận
Nếu thì ycbt thỏa
Tóm lại hàm đồng biến trên [1; + ] khi m
Cách khác : ycbt là ta phải tìm m sao cho y’ =
Xét hàm số f[x] = trên [1; + ]
Ta có f ‘[x] = suy ra bảng biến thiên trên [1; + ] là
Từ bbt suy ra ycbt thỏa khi và chỉ khi
Bài 2 : Tìm m để hàm số y = nghịch biến trên
Bg : TXĐ : D = R ; là tam thức bậc hai có
không thỏa mãn vì sao ?
Ycbt thỏa mãn thì đk cần là y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khi đó y’ = 0 có hai nghiệm
nên suy ra hàm nghịch biến trên do đó ycbt thỏa mãn
thỏa đk m < 2 .
Vậy là các giá trị cần tìm
Bài 3 : Tìm m để hàm số y = đồng biến trong khoảng []
Bg : TXĐ D = R , y’ = . Nếu m = 0 thì y’ = 3x2 hàm nghịch biến trên R suy ra m = 0 loại ; khi m y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt suy ra
m < 0 thì hàm đông biến trên khoảng không thỏa ycbt
m > 0 thì hàm đồng biến trên suy ra ycbt thỏa . Vậy m ≥ 3 là các giá trị cần tìm để hàm đồng biến trên khoảng []
Bài tập về nhà : a] Tìm m để hàm y = x3 – 3mx + 6m – 1 đồng biến trên khoảng [] đs : m ≥ 0
b] Tìm m để hàm y = nghịch biến trên khoảng [] đs :
ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BĐT
Ví dụ 1: Chứng minh các bđt sau :
a] ; b] ;
c] ; d] ; e]
Bài giải tóm tắt
bđt phải c/m . Xét hàm số f[x] = trên
= suy ra f[x] là đồng biến trên mà f[0] = 0 đpcm
b]
Ta có [1] . Xét hàm số
f[x] = trên [0; + ] ta có nên f[x] là hàm đông biến trên [0; + ] mà f[0] = 1 – 1 = 0 suy ra f[x] > f[0] = 0 [1] được c/m
Ta có [2] , xét hàm số g[x] = trên [0; + ] ta có : g’[x] = g’’[x] =
g’[x] là hàm đồng biến trên [0; + ] mà g’[x] = 0 chứng tỏ g’[x] g[x] cũng là hàm đồng biến trên [0; + ] mà g[0] = 0 suy ra g[x] > 0 với mọi x > 0 đpcm . Tóm lại bđt đã cho được c/m
B – CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Cho hàm số xác định trên D nếu y’ đổi dấu khi qua x0 D thì hàm số đạt cực trị tại x0
Chú ý : điểm x0 D nhưng tại x0 có thể không tồn tại đạo hàm
Só lần y’ đổi dấu tương đương với số cực trị của hàm số
x0 gọi là điểm cực trị của hàm số nhưng M[x0 ; f[x0]]lại gọi là điểm cự trị của đồ thị hàm
số giá trị của hàm số tại x0 [ y0 = f[x0] ] lại gọi là cực trị của hàm số
Cách tìm cực trị của hàm số :
Cách 1: dung đạo hàm bậc nhất y’
Cách 2: dung qui tắc 2 [ y’’] : chỉ dùng được khi thay nghiệm của y’ = 0 mà làm cho y’’ khác 0 . Cách này thường dung cho các hàm số lượng giác hay hàm số có chứa căn
Những dạng toán thường gặp
I – Tìm cực trị của các hàm không chứa tham số
Ví dụ 1: Tìm cực trị của các ham số sau :
y = . TXĐ : D = R , y’= suy rat a có bbt :
[ học sinh tự kết luận]
y = 3 – 2cosx – cos2x . TXĐ : D = R ; y’ =
y’’ =
. .
Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm x = , đạt cực tiểu tại các điểm x = , k
II – Tìm giá trị của tham số để hàm đạt cực trị tại điểm x0 cho trước
Phương pháp :
Cách 1: Nếu hàm đạt cực trị tại x0 . Với giá trị tham số tìm được khi y’ = 0 xem xet cụ thể để rút ra kết luận
Cách 2: Hàm đạt cực trị tai x0
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = đạt cực tiểu tại x = 2
TXĐ : D = R , y’ = 3x2 – 2[m+3]x + m nếu hàm đạt cực trị tại x = 2 thì y’[2] = 0 với m = 0 ta có y’ = 3x2 – 6x = 0 bbt
Vạy m = 0 là giá trị cần tìm
Cách 2: Vì hàm đã cho là hàm đa thức có đạo hàm trên R nên x =2 là điểm cực tiểu
là giá trị cần tìm
Bài tập : 1] Tìm tham số m để hàm số :
y = đạt cục trị tại x = 1
đạt cực trị tại x = khi đó là điểm cực đại hay cực tiểu
đạt cực đại tại x = 1
đạt cực tiểu tại x = - 2
2] Tìm cự trị của các hàm số sau : a] y = ; b] y = x – sin 2x + 2
III – Viết pt đg thẳng qua hai điểm cực trị của hàm bậc ba
Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d [a ≠ 0 ] nếu hàm có cực trị thì ta luôn có y = g[x]. y’ + r [x]
R[x] là phần dư trong phép chia y cho y’ . và r[x] là một đa thức bậc nhất nên nếu x0 là điểm cục trị thì ycực trị = r[x0] và đg thẳng đi qua hai điểm cực trị là đg thẳng có pt y = r[x]
Ví dụ : cho hàm số y = , tìm điểm cđ , ct theo a . viết pt đg thẳng đi qua hai điểm đó
Bg : TXĐ D = R , y’ = dễ tháy khi a = 0 thì y’ = - 3x2 ≥ 0 x nên hàm không có cđ, ct . khi a < 0 thì hàm đạt ct tại x = , yct = ; đạt cđ tại x = 0 , ycđ = . khi a> 0 thì ngược lại Vậy hai điểm cực trị của hàm đã cho là
suy ra đg thẳng qua hai điểm cực trị có pt :
Cách khác : Ta luôn có y = [][] +
chứng tỏ hai điểm cực trị của đồthị hàm số đi qua đg thẳng có pt : y =
VI – Tìm tham số của hàm chứa tham số để cực đại cực tiểu của hàm số thỏa đk cho trước
Ví dụ 1: [A - 20002] : cho hàm số y = . Viết pt đg thẳng qua hai
điểm cđ, ct của đồ thị hàm số
Bg : TXĐ D = R , y’ = . Đk để hàm có ccd , ct là pt y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt . rõ ràng việc tính ycđ ; yct mất rât nhiều thời gian . Ta luôn có :
y = [][] + [2x – m2 + m ] hai điểm ccd, ct của đồ thị hàm số nghiệm đúng pt đg thẳng y = 2x – m2 + m . vậy pt đg thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có pt là y = 2x – m2 + m
Ví dụ 2: cho hàm số y = , tìm m để hàm có cđ, ct sao cho là
những số dương
BG : TXĐ : D = R , y’ = ycbt thỏa có hai nghiệm dương phân biệt
Là các giá trị cần tìm
Bài tập về nhà a] Cho hàm số y = chứng minh khi m thay đổi các điểm cđ, ct của đồ thị hàm số luôn chạy trên hai đg thẳng cố đinh
b ] Cho y = . Tìm m để hàm có cđ, ct có hoành độ x nhỏ hơn 1 ; hoành độ x lớn hơn 1 ; hoành độ x1 < 1 < x2
c ] Cho hàm số y = Tìm m sao cho
Hai điểm cđ , ct cách đều gốc tọa độ
-------------------- cách đều trục Ox
------------------------------------ Oy
Gọi hai điểm cục trị lần lượt là A,B tìm m sao cho [O là gốc tọa độ]
Bài sửa về nhà
Bài a] y = chứng minh khi m thay đổi các điểm cđ, ct của đồ thị hàm
số luôn chạy trên hai đg thẳng cố đinh
Bg : TXĐ :D = R ; y’ = = 1 > 0 m
y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt hàm số đạt CĐ tại x = 1, ; và CT tại
x = . Vậy là với mọi m hai điểm cđ, ct của đồ thị hàm số luôn nằm trên hai đg thg song song với trục Ox có pt lần lượt là y = 2 và y = đpcm . [Chú ý : ta có y = y’ ]
Bài b] : Cho y = . Tìm m để hàm có cđ, ct có hoành độ x nhỏ hơn 1 ; hoành độ x lớn hơn 1 ; hoành độ x1 < 1 < x2
Bg : TXĐ D = R ; y’ = có
Để hàm đã cho có cđ, ct thì ta phải có [*]
Đặt t = x – 1 y’ = = suy ra để hàm đã cho có hai cực trị có hoành độ lớn hơn 1 có hai nghiệm dương t phân biệt
vô nghiệm
Đặt t = x – 1 ta có y’ = = suy ra để hàm đã cho có hai cực trị có hoành độ nhỏ hơn 1 có hai nghiệm âm t phân biệt
Làm tương tự hàm đã cho có hai cực trị có hoành độ có hai ngiện t trái dấu
Bài c] Cho hàm số y = Tìm m sao cho
Hai điểm cđ , ct cách đều gốc tọa độ
-------------------- cách đều trục Ox
------------------------------------ Oy
Gọi hai điểm cục trị lần lượt là A,B tìm m sao cho [O là gốc tọa độ]
Bg : TXĐ : D = R , y’ = ; có suy ra với mọi m đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị
Gọi A & B[] suy ra ta có :
Hai điểm cực trị cách đều gốc tọa độ O : Cách này dài và hay bị nhầm lẫn . Cách khác : Gọi x1, x2 là nghiệm của y’ = 0 [x1 < x2 ] Vì :
y = y’[] + nên điểm A[], B[] lần lượt là điểm ct, cđ của đồ thị hàm số với . Ta có hai điểm cđ, ct của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ [*] Vì x1, x2 là nghiệm của y’ = 0 nên ta có suy ra [*]
là các giá trị thỏa đk bài ra
Hai điểm cực trị cách đều trục Ox :
[HS tự làm cho TH cách đều trục tung đk : ]
Gọi A[], B[] lần lượt là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số ta có
Theo trên thì đg thg đi qua hai điểm cực trị có pt là y =
2
C - Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của một hàm số
Để tìm GTLN, GTNN của hàm cho trước trên đoạn [a, b] ta làm theo qui tắc trang 22 sgk . Trong những trường hợp không chỉ rõ đoạn ta tìm tập xác định từ đó lập BBT để suy ra GTLN,GTNN cũng có TH ta thay biến x bằng một biến t khác và tìm đk của t Sau đó khảo sát hàm theo biến t mà suy ra
Ví dụ 1: [B - 2003] Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =
TTXĐ D = [] ; y’ =
Ví dụ 2: [D – 2003] Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = trên [] , [hs tự giải]
Ví dụ 3 : Cho hình chữ nhật có độ dài các cạnh lần lựơt là 5cm, và 3cm . Cát 4 góc 4 hình vuông bằng nhau tạo thành một hinh hộp không nắp . Tính độ dài cạnh hình vuông đem cắt sao cho thể tích khối hộp lớn nhất [ GV hướng dẫn hs cách giải]
Bài tập về nhà : Bài1 Tìm GTLN, NN của các hàm sau
y = [ tốt nghiệp 2004]
y =
y =
y = ; e] y =
Sửa bài về nhà
Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau
a] y = . TXĐ : D = R . đặt t = ta có y = 2t suy ra trên đoạn ta có y’ =
suy ra GTLN[y] = tại x = ; GTNN[y] = 0 tại x = 0 hay x =
b] y = ta có y’ = [hs tự giải]
c] y = ; TXĐ D = [] ta có y’ = [hs tự kết luận]
d] y = ; y’ = . [hs tự kết luận]
Bài toán : cho hinh thang cân như hình vẽ góc BAD bằng . Với giá trị
nào của diện tích hình thang lớn nhất
Bg : vẽ DH CD dễ thấy góc D = suy ra DH = AD.cos[]
Hay DH = và AH = ADsin[] = sin
. Xét hàm số S[] = với đk ta có s’[] = cos - cos2 khi đó ta lại có
S”[] = suy ra hàm S[] đạt cực đại tại . Vậy diên tích hình thang lớn nhất bằng khi
D - TIỆM CẬN VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Tiệm cận sgk
Các bước khảo sat như sgk
Bài tập về nhà :
Bài 1] Cho y = . a] khảo sát vẽ ; b] Chứng minh giao của hai tiệm cận là tâm đới xứng ; c] Cho M là điểm thuộc đồ thị [C] gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M trên tiệm cận ngang tiệm cận đứng c/m diện tích hình chữ nhật MLIH không phụ thuộc M trên [C]
Bài sửa : c] Gọi I là giao của hai tiệm cận ta có I[]
Và M là điểm thuộc [C] H, K lần lượt là
hình chiếu của M trên tiệm cận ngang và đứng
thì H[] ; K[] suy rat a có
MH =
MK =
không
phụ thuộc điểm M trên đồ thị [C] của hàm số
Tịnh tiến hệ trục tọa độ Oxy thành hệ IXY theo vectơ
thì hàm đã cho trở thành . Xét hàm số trong hệ
IXY ta có TXĐ D = R \ {0} khi đó Y = f[X] là hàm số lẻ nhận gốc tọa độ I[] làm tâm đối xứng chứng tỏ giao hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho
Bài 2] Cho y = . Tìm m để tồn tai cđ, ct tại
x1 , x2 sao cho
Bài sửa
TXĐ D = R ; y’ = cđ, ct đổi dấu hai lần
với đk [*] gọi x1, x2 là nghiệm của y’ = 0 theo bài ra thì
là các giá trị cần tìm
Bài 3 : Cho y = Tìm m để tồn tai cđ, ct tại x1 , x2 sao cho
Bài sửa tóm tắt
y’ = ycbt thỏa thì đk càn là đúng với mọi m khi đó đk đủ là
là các giá trị cần tìm
E – MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
Cho [C] là đồ thị hàm số y = f[x]
Đồ thị hàm số y = được suy ra từ [C] như sau :
Giữ nguyên phần đồ thị [C] nằm phía trên trục Ox
Lấy đối xứng phần còn lại của [C] qua trục Ox . Chú ý : y ≥ 0, D
Đồ thị hàm số y = được suy ra từ [C] như sau :
Giữ nguyên phần đồ thị [C] nằm bên phải trục Oy
Bỏ phần bên trái và lấy đối xứng qua trụ Oy phần giữ lại . Chú ý đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng
y = f[x] và y = đồ thị của chúng đối xứng nhau qua trục hoành Ox ; y = f[x] và
y = f[] đối xứng nhau qua trục tung Oy
Bài tập về nhà :
Bài 1] Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = . Từ đó biện luận theo m số nghiệm của phương trình : . Bài sửa tóm tắt : Xét hàm số f[x] = 2 =
Pt đã cho nên từ đồ thị y = f[x] suy ra
pt vô nghiệm khi m < 0
pt có 6 nghiệm khi 0 < m < 2 co 4 nghiem khi m = 2
pt có hai nghiệm khi m > 2 co 3 nghiem khi m = 0
Bài 2] khảo sat vẽ đồ thị [C] của hàm số
y = . Từ đó biện luận
theo m số nghiệm của pt
Bài sử tóm tắt : pt đã cho :
. Xét hàm số :
y = =
Ta có đồ thị như hình vẽ từ đồ thị suy ra
m – 2 = pt có một nghiệm
pt có hai nghiệm
pt có 4 nghiệm
pt có 6 nghiệm
có hai nghiệm
pt vô nghệm
Bài 3] khảo sát vẽ [C] cua hàm số y = .
Từ đó biện luận theo m số nghiệm của pt :
Bài sửa tóm tắt : pt đã cho pt đã cho . Xét hàm số : . Gọi [C’] là đồ thị của y = f[x] thì [C’] được suy ra từ [C] như sau
Giữ nguyên phần đồ thị [C] nằm bên phai đg thg x = 1
Lấy đối xứng phần còn lại của [C] qua trục Ox
Từ đồ thị ta thấy :
ppt vô nghiệm
pt có một nghiệm
pt có hai nghiệm
F – SỰ TƯƠNG QUAN GIŨA HAI ĐỒ THỊ CỦA HAI HÀM SỐ
Cho suy ra ta có các trường hợp sau :
. D = số ng tuong ứng số giao điểm của hai đồ thị của hai hàm số
[C1] tiếp xúc với [C2] có nghiệm thuộc giao của hai txđ số nghiệm tương ứng với số tiếp điểm của đồ thị hai hàm số
Ví dụ 1: [D – 2002] Cho hàm số y = có đồ thị [c] và đg thg [] y = x .
Tìm m để [c] tiếp xúc []
Bài sửa : txđ D = R \ {1} . [c] tiêp xúc []
có nghiệm x ≠ 1 là các giá trị cần tìm
NHỮNG DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Bài 1 : Giao của hai đồ thị hay nghiệm của pt
I – hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d [a ≠ 0]
1] Tìm tham số m để pt có nghiệm , hay vô nghiệm , hay có các nghiệm thỏa đk nào đó .. Dựa trên cơ sở hàm vừa khảo sát . Cách giải cô lập m về dạng g[m] = f[x] hay g[m] = , hay g[m] = , Chú ý có thể phai thêm bớt để có được dạng g[m] = f[x]
2] Đối với hàm chứa tham số dạng y = f[x, m] ta thuongf gặp các loại toán sau
Loại 1: biện luận theo tham số số giao điểm hay số nghiệm thì có thể xảy ra các trường hợp
Nhẩm được nghiệm khi đó y = [x – x0]g[x] thì g[x] là bậc hai khi đó tùy theo số nghiệm của g[x] khác x0 ta có các kết luận
Trường hợp không nhẩm được nghiệm ta cô lập tham số m nếu được [thường chỉ được khi tham số m có cùng bậc ] khi đó thì ta có g[m] = h[x] . khảo sát lâp bảng biên thiên của h[x] từ đó suy ra kết luận
Trường hợp không cô lập được m lại có các TH sau :
Loại 2 : Tìm đk của tham số m để giao điểm hay pt có nghiệm thỏa đk cho trước như [3 nghiệm dương phân biệt , hay 3 nghiệm thỏa ; hay 3 nghiem lập thành cấp số ; hay ] . Ta xét các TH xảy ra như sau :
Nhẩm được nghiệm thì y = [x – x0]g[x] khi đó xét g[x] là tam thức bậc hai hay .. mà kết luận cho phù hợp với yc bài ra
TH không nhẩm được nghiệm thì cô lập m về dạng g[m] = h[x] khi đó lập bbt của h[x] mà suy ra kết luận
Nếu không nhẩm được nghiệm và cũng không cô lập được m khi đó tùy theo ycbt mà ta có các TH cụ thể như sau
a] có ba nghiệm dương thỏa đk
b] có ba nghiệm
c] có ba nghiệm
[HS làm tương tự cho các dạng còn lại]
d] Có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
PP : giả sử có ba nghiệm phân biệt thỏa đk khi đó
y = a[x – x1][x – x2][x – x3] = a
thay nghiệm x2 tìm được vào pt suy ra m . Cuối cùng đk đủ là thay m tìm được vào pt xét cụ thể xem có thỏa đk không từ đó suy ra kết luận
có ba nghiệm thỏa đk . Thì đầu tiên phải cđ, ct và ycđ, yct < 0 đặc biệt nếu nhẩm dduocj nghiệm thì ta dung định lí viet . Nếu không nhẩm được nghiệm gọi gọi x1 ,x2 , x3 là các nghiệm của pt ta có pt đã cho
Mặt khác ta lại có từ đó ta có m đối chiếu đk tồn tại nghiệm mà suy ra kết quả cần tìm .
Các tập về nhà
Bài 1: Cho hàm số y = Khảo sát vẽ [C], từ đó biện luận theo m số nghiệm của pt
. Xét hàm số
f[x] = .Gọi [c’] là đồ thị của hàm số thì [c’] được suy ra từ [c] như sau
Giữ nguyên đồ thị [c] ứng với x > 1
Lấy đối xứng phần còn lại của [c] qua trục hoành như hình vẽ [loại bỏ điểm x = 1]
Từ đồ thị cua [c’] suy ra : pt vô nghiệm ; pt có hai nghiệm ; pt có bốn
nghiệm
Bài 2: Cho y = đồ thị [c] và đg thg [d] qua A[3; 20] với hệ số góc m , tìm m để [c] và [d] cắt nhau tại 3 điểm phân biệt
Giải tóm tắt : [d] có pt y = m[x -3] + 20 suy ra pt hoành độ giao điểm của [c] và [d] là :
= m[ x – 3] + 20 [*]
x = 3 là một nghiệm của [*] nên ycbt thỏa mãn có hai x nghiệm phân biệt
khác 3 là các gí trị cần tìm
Bài 3: Tìm m để đồ thị [Cm] của hàm số y = , cắt trục Ox tại một điểm, tại hai điểm phân biệt, tại ba điểm phân biệt
Bài giải tóm tắt : Nhận xét pt hoành độ giao điểm y = 0 không nhẩm được nghiệm
Cách 1: Từ pt y = 0 cô lập m ta có 3m = [ x = 1 không phải là nghiệm]
Xét hàm số f[x] = ta có
f’[x] =
Suy ra ta có bbt của f[x] : và đồ thị của nó như hình vẽ
Từ đó suy ra : [Cm] cắt Ox tại một điểm
[Cm] cắt Ox tại hai điểm
[Cm] cắt Ox tại ba điểm
Cách hai : Ta có y’ = là tam thức bậc hai có ’ = 9m suy ra nếu m 0 thì y’ ≥ 0, x R nên thỏa đk [Cm] cắt Ox tại một điểm với m > 0 thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt Ta luôn có y =
do đó khi m > 0 để [Cm] cắt trục Ox tại duy nhất một điểm thì đk đủ là
. Tóm lại [Cm] cắt trục Ox tại một điểm duy nhất
[Cm] Cắt Ox tại hai điểm phân biệt
[Cm] Cắt Ox tại ba điểm phân biệt
Bài 4 : Cho y = . Tìm m để [Cm] cắt Ox tại ba điểm phân biệt
HD : y’ = và y’ có
Suy ra vói mọi m hàm số có cđ, ct với ; và
suy ra ycbt thỏa
là giá trị cần tìm
Bài 5: Cho y = , tìm m để [Cm] cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 , x3, sao cho
HD : với mọi m pt hoành độ giao điểm có một nghiệm x = 2
suy ra ycbt thỏa = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 và khác 2 . f[x] có đk cần là m ≠ 1 khi đó f[x] = 0 có hai nghiệm các nghiệm này khác 2 khi . khi m khác 1 ta có
. Nên nếu m1 thì trong TH này cả hai nghiệm lớn hơn 1 khi m + 1 > 1 m > 0 vậy khi m > 1 thỏa đk .
Tóm lại với mọi m là các giá trị cần tìm
Bài 6: Cho hàm số y = x3 – x2 + 18mx - 2m , tìm m để pt y = 0 có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn . Đk cần là hàm số đã cho có cđ, ct và có hai nghiệm phân biệt khi đó gọi xcđ, xct là nghiệm