Bài 20 trang 29 sgk toán 11 nâng cao năm 2024
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x = \frac{\pi }{5} + k2\pi \\ 4x = \pi - \frac{\pi }{5} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{20}} + k\frac{\pi }{2}\\ x = \frac{\pi }{5} + k\frac{\pi }{2} \end{array} \right. \end{array}\) Show
\(\sin \left( {{{x + \pi } \over 5}} \right) = - {1 \over 2} \\ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{{x + \pi } \over 5} = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {{{x + \pi } \over 5} = \pi + {\pi \over 6} + k2\pi } \cr} } \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {{11\pi } \over 6} + k10\pi } \cr {x = {{29\pi } \over 6} + k10\pi } \cr} } \right.\,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right)\)
\(\cos {x \over 2} = \cos \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {x \over 2} = \pm \sqrt 2 + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt 2 + k4\pi \,\left( {k \in\mathbb Z} \right)\)
\(\cos \left( {x + {\pi \over {18}}} \right) = {2 \over 5} \\ \Leftrightarrow \cos \left( {x + {\pi \over {18}}} \right) = \cos \alpha \\ \Leftrightarrow x = \pm \alpha - {\pi \over {18}} + k2\pi ,k \in \mathbb Z\) 2. Giải bài 15 trang 28 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
1. \(\sin x = - {{\sqrt 3 } \over 2}\) 2. sin x = 1
1. \(\cos x = {1 \over 2}\) 2. cos x = -1 Phương pháp giải:
- Phương trình sin x = a + Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm. + Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là: \(x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
- Phương trình cos x = a + Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm. + Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là: \(x=\pm\arccos a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) Hướng dẫn giải:
\(1.\,\,\sin x = - {{\sqrt 3 } \over 2} \\\Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - {\pi \over 3}} \right) \\ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over 3} + k2\pi } \cr {x = {{4\pi } \over 3} + k2\pi } \cr} } \right.\) Với \(x = - {\pi \over 3} + k2\pi \,\text{ và }\,x \in \left( { - \pi ;4\pi } \right)\) ta có nghiệm: \({x_1} = - {\pi \over 3};\,{x_2} = {{5\pi } \over 3};\,{x_3} = {{11\pi } \over 3}\) Với \(x = {{4\pi } \over 3} + k2\pi \,\text{ và }\,x \in \left( { - \pi ;4\pi } \right)\) ta có nghiệm: \({x_4} = - {{2\pi } \over 3};\,{x_5} = {{4\pi } \over 3};\,{x_6} = {{10\pi } \over 3}\) 2. \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi \over 2} + k2\pi\) Với \(x = {\pi \over 2} + k2\pi \,và\,x \in \left( { - \pi ;4\pi } \right)\) ta có nghiệm: \({x_1} = {\pi \over 2};\,{x_2} = {{5\pi } \over 2}.\)
Nghiệm của phương trình \(\cos x=\dfrac12\) thuộc khoảng (−π; 4π) là: \({x_1} = - {\pi \over 3};\,{x_2} = {\pi \over 3};\,{x_3} = {{5\pi } \over 3};\,{x_4} = {{7\pi } \over 3};\,{x_5} = {{11\pi } \over 3}\) Nghiệm của phương trình cosx = −1 thuộc khoảng (−π; 4π) là: \(x_1=-\pi; \ x_2=\pi; \ x_3=3\pi\) 3. Giải bài 16 trang 28 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng caoTìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho:
Phương pháp giải:
+ Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm. + Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là: \(x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\). - Tìm nghiệm thỏa điều kiện 0 < x < π và kết luận.
+ Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm. + Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là: \(x=\pm\arccos a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) - Tìm nghiệm thỏa điều kiện -π < x < π và kết luận. Hướng dẫn giải:
\(\sin 2x = - {1 \over 2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - {\pi \over 6}} \right) \\\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {2x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi } \cr} } \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over {12}} + k\pi } \cr {x = {{7\pi } \over {12}} + k\pi } \cr} } \right.\,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)\) Với điều kiện 0 < x < π ta có: \(0 < - {\pi \over {12}} + k\pi < \pi \Leftrightarrow {1 \over {12}} < k < {{13} \over {12}}\,,\,k \in\mathbb Z\) Nên k = 1, khi đó ta có nghiệm \(x = {{11\pi } \over {12}}\) \(0 < {{7\pi } \over {12}} + k\pi < \pi \Leftrightarrow - {7 \over {12}} < k < {5 \over {12}}\,,\,k \in\mathbb Z\) Nên k = 0, khi đó ta có nghiệm \(x = {{7\pi } \over {12}}\) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trong khoảng (0; π) là: \(x = {{7\pi } \over {12}}\,\text{ và }\,x = {{11\pi } \over {12}}\)
\(\cos \left( {x - 5} \right) = {{\sqrt 3 } \over 2} \\ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x - 5 = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x - 6 = - {\pi \over 6} + 5 + k2\pi } \cr} } \right. \\ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + 5 + k2\pi } \cr {x = - {\pi \over 6} + 5 + k2\pi } \cr} } \right.\) Ta tìm k để điều kiện –π < x < π được thỏa mãn. Xét họ nghiệm thứ nhất: \(\eqalign{ & - \pi < {\pi \over 6} + 5 + k2\pi \Leftrightarrow - 7\pi - 30 < 12k\pi < 5\pi - 30 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow - {7 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < k < {5 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} \cr & Vì\, - 1,38 < - {7 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < k < {5 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < - 0,37\,,\,k \in\mathbb Z\,\text{ nên }\, \cr & \,\,\,\,\, - 1,38 < k < - 0,37 \cr}\) Chỉ có một giá trị k nguyên thỏa mãn các điều kiện đó là k = −1. Ta có nghiệm thứ nhất của phương trình là \(x = {\pi \over 6} + 5 - 2\pi = 5 - {{11\pi } \over 6}\) Tương tự, xét họ nghiệm thứ hai: \(- \pi < - {\pi \over 6} + 5 + k2\pi < \pi \\ \Leftrightarrow - 5\pi - 30 < 12k\pi < 7\pi - 30.\) Vậy k = −1 Ta có nghiệm thứ hai của phương trình là \(x = - {\pi \over 6} + 5 - 2\pi = 5 - {{13\pi } \over 6}\) Vậy \(x = 5 - {{11\pi } \over 6}\,\text{ và }\,x = 5 - {{13\pi } \over 6}\) 4. Giải bài 17 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng caoSố giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40˚ bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số \( d\left( t \right) = 3\sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12\) với \(t \in Z\) và \(0 < t \le 365.\)
Phương pháp giải:
Hướng dẫn giải:Ta giải phương trình d(t) = 12 với \(t \in\mathbb Z\) và 0 < t ≤ 365 Ta có d(t) = 12 \( \Leftrightarrow 3\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) + 12 = 12 \\ \Leftrightarrow \sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 0 \\ \Leftrightarrow {\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right) = k\pi \\ \Leftrightarrow t - 80 = 182k \\ \Leftrightarrow t = 182k + 80\,\left( {\,k \in\mathbb Z} \right)\) Ta lại có: \( 0 < 182k + 80 \le 365 \\ \Leftrightarrow - {{80} \over {182}} < k \le {{285} \over {182}} \\ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{k = 0} \cr {k = 1} \cr} } \right.\) Vậy thành phố A có đúng 12 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 (ứng với k = 0 ) và ngày thứ 262 (ứng với k = 1 ) trong năm.
Vậy thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi: \( \sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = - 1 \text{ với } \,t \in \mathbb Z\,\text { và }\,0 < t \le 365\) \(\Leftrightarrow {\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right) = - {\pi \over 2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow t - 80 = 182\left( { - \frac{1}{2} + 2k} \right) \\ \Leftrightarrow t = 364k - 11\,\left( {\,k \in\mathbb Z} \right)\) Mặt khác, \(0 < 364k - 11 \le 365 \Leftrightarrow {{11} \over {364}} < k \le {{376} \over {364}} \Leftrightarrow k = 1\) (do k nguyên) Vậy thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất (9 giờ) khi t = 353, tức là vào ngày thứ 353 trong năm.
Nên d(t) đạt GTLN khi \(\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) = 1\) Ta phải giải phương trình: \( \eqalign{ & \sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 1\cr &\text{ với }\,t \in\mathbb Z\,\text{ và }\,0 < t \le 365 \cr & \Leftrightarrow {\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right) = {\pi \over 2} + k2\pi \cr&\Leftrightarrow t = 364k + 171 \cr & 0 < 364k + 171 \le 365 \cr&\Leftrightarrow - {{171} \over {364}} < k \le {{194} \over {364}} \Leftrightarrow k = 0 \cr} \) Vậy thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất ( 15 giờ) vào ngày thứ 171 trong năm. 5. Giải bài 18 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng caoGiải các phương trình sau:
Phương pháp giải:- Phương trình tanx = tan α có nghiệm là x = α + kπ, k ∈ Z - Phương trình tanx = tan βo có nghiệm là x= βo + k180o, k ∈ Z Hướng dẫn giải:
\(\\ \Leftrightarrow 3x = {{3\pi } \over 5} + k\pi\) \( \Leftrightarrow x = {\pi \over 5} + k{\pi \over 3},k \in\mathbb Z\)
\( \begin{array}{l} \tan \left( {x - {{15}^0}} \right) = 5\\ \Leftrightarrow x - {15^0} = \arctan 5 + k{180^0}\\ \Leftrightarrow x = {15^0} + \arctan 5 + k{180^0},k \in\mathbb Z \end{array}\)
\( \eqalign{ & \tan \left( {2x - 1} \right) = \sqrt 3 \cr&\Leftrightarrow \tan \left( {2x - 1} \right) = \tan {\pi \over 3} \cr & \Leftrightarrow 2x - 1 = {\pi \over 3} + k\pi \cr&\Leftrightarrow x = {\pi \over 6} + {1 \over 2} + k{\pi \over 2};k \in\mathbb Z \cr}\)
\( \cot 2x = \cot \left( { - {1 \over 3}} \right) \\ \Leftrightarrow 2x = - {1 \over 3} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = - {1 \over 6} + k{\pi \over 2},k \in\mathbb Z\)
\( \eqalign{ & \Leftrightarrow \cot \left( {{x \over 4} + 20^\circ } \right) = \cot \left( { - 30^\circ } \right) \cr & \Leftrightarrow {x \over 4} + 20^\circ = - 30^\circ + k180^\circ \cr&\Leftrightarrow x = - 200^\circ + k720^\circ,k \in\mathbb Z \cr}\)
\( \Leftrightarrow \cot 3x = \cot \left( {{\pi \over 2} - {{2\pi } \over 5}} \right) = \cot \frac{\pi }{{10}} \\ \Leftrightarrow 3x = {\pi \over {10}} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = {\pi \over {30}} + k.{\pi \over 3},k \in\mathbb Z\) 6. Giải bài 19 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng caoVẽ đồ thị của hàm số y = tan x rồi chỉ ra trên đồ thị đó có các điểm có hoành độ thuộc khoảng (-π ; π) là nghiệm của mỗi phương trình sau 1. tan x = -1 2. tan x = 0 Cũng câu hỏi tương tự cho hàm số y = cot x và cho mỗi phương trình sau 1. \( \cot x = {{\sqrt 3 } \over 3}\) 2. cot x = 1 Phương pháp giải:
Hướng dẫn giải:
1. Phương trình tan x = -1 có nghiệm thuộc khoảng (-π; π) là: \( x = - {\pi \over 4}\,\text{ và }\,x = {{3\pi } \over 4}\) 2. Phương trình tan x = 0 có nghiệm thuộc khoảng (-π; π) là x = 0
1. Phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-π; π) là: \( x = {\pi \over 3}\,\text{ và }\,x = - {{2\pi } \over 3}\) 2. Phương trình cot x = 1 có nghiệm thuộc khoảng (-π; π) là: \( x = {\pi \over 4}\,\text{ và }\,x = - {{3\pi } \over 4}\) 7. Giải bài 20 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng caoTìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng đã cho:
Phương pháp giải:
Hướng dẫn giải:
\( \Leftrightarrow 2x - {15^0} = {45^0} + k{180^0} \\ \Leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }} = {\rm{ }}{15^0} + {\rm{ }}{45^0} + {\rm{ }}k{180^0} \\ \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}{30^0} + {\rm{ }}k{90^0} \\ - {180^0} < {\rm{ }}{30^0} + {\rm{ }}k{90^0} < {\rm{ }}{90^0} \\ \begin{array}{l} \Leftrightarrow - {210^0} < k{90^0} < {60^0}\\ \Leftrightarrow - \frac{7}{3} < k < \frac{2}{3} \end{array}\) \( \Leftrightarrow k \in \left\{ { - 2; - 1;0} \right\}\) (do k nguyên) Vậy các nghiệm của phương trình là \(x = - {150^0},{\rm{ }}x{\rm{ }} = - {60^0} \) và \( x{\rm{ }} = {\rm{ }}{30^0}\)
\( \begin{array}{l} \Leftrightarrow \cot 3x = \cot \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\\ \Leftrightarrow 3x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{9} + \frac{{k\pi }}{3} \end{array}\) Do \(- {\pi \over 2} < x < 0\) nên: \( \begin{array}{l} - \frac{\pi }{2} < - \frac{\pi }{9} + \frac{{k\pi }}{3} < 0\\ \Leftrightarrow - \frac{{11\pi }}{{18}} < \frac{{k\pi }}{3} < \frac{\pi }{9}\\ \Leftrightarrow - \frac{{11}}{6} < k < \frac{1}{3} \end{array}\) Vì k nguyên nên k = -1, k = 0. Vậy các nghiệm của phương trình là \(x = - {{4\pi } \over 9}\,\text{ và }\,x = - {\pi \over 9}.\) 8. Giải bài 21 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng caoKhi giải phương trình \(\tan x = - \sqrt 3 \); bạn Phương nhận thấy \( - \sqrt 3 = \tan \left( { - {\pi \over 3}} \right)\) và viết \( \tan x = - \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \tan x = \tan \left( { - {\pi \over 3}} \right) \\ \Leftrightarrow x = - {\pi \over 3} + k\pi.\) Cũng phương trình đó, bạn Quyên lấy \( - \sqrt 3 = \tan {{2\pi } \over 3}\) nên giải như sau: \( \tan x = - \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \tan x = \tan {{2\pi } \over 3} \\ \Leftrightarrow x = {{2\pi } \over 3} + k\pi.\) Theo em, ai giải đúng, ai giải sai? Phương pháp giải:- Phương trình tan x = tan α có nghiệm là x = α + kπ, k ∈ Z. - Kiểm tra cách giải của hai bạn và trả lời câu hỏi. Hướng dẫn giải:Cả hai bạn đều giải đúng. Hai họ nghiệm chỉ khác nhau về hình thức, thực chất chỉ là một. Họ nghiệm \(x = {{2\pi } \over 3} + k\pi \) có thể viết lại là \(x = {{2\pi } \over 3} - \pi + \left( {k + 1} \right)\pi \) hay \(x = - {\pi \over 3} + \left( {k + 1} \right)\pi \) 9. Giải bài 22 trang 30 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng caoTính các góc của tam giác ABC, biết \(AB = \sqrt 2 cm, AC =\sqrt 3 cm\) và đường cao AH = 1cm. (Gợi ý: Xét trường hợp B, C nằm khác phía đối với H và trường hợp B, C nằm cùng phía đối với H ). Phương pháp giải:Xét hai trường hợp: + B, C nằm khác phía đối với H. + B, C nằm cùng phía đối với H. Hướng dẫn giải:Ta xét hai trường hợp:
Trong tam giác vuông ABH ta có: \( \sin B = {{AH} \over {AB}} = {1 \over {\sqrt 2 }} \) Suy ra \(\widehat B = 45^\circ \) (chú ý rằng góc B nhọn) Trong tam giác ACH ta có: \( \sin C = {{AH} \over {AC}} = {1 \over {\sqrt 3 }}\), suy ra \(\widehat C \approx 35^\circ 15'52\) Từ đó \( \widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) \approx 99^\circ 44'8\)
Tương tự như trên ta có: \( \sin \widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {ABH} = {45^0}\) \( \eqalign{ & \widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {ABH} \cr&= 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \cr } \\ \sin \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {ACH} = {35^0}15'52''\) Từ đó \(\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) \approx 9^\circ 44'8\) 10. Giải bài 23 trang 31 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng caoTìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
Phương pháp giải:
- \(\tan x\) xác định khi \(\cos x \ne 0\)
- \(\cot 2x\) xác định khi \(\sin2x \ne 0\) Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định: \(2\sin x + \sqrt 2 \ne 0\) \( \Leftrightarrow \sin x \ne - {{\sqrt 2 } \over 2}\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x \ne - {\pi \over 4} + k2\pi } \cr {x \ne {{5\pi } \over 4} + k2\pi } \cr} } \right.\) Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: \( D =\mathbb R \backslash \left( {\left\{ { - {\pi \over 4} + k2\pi,k \in\mathbb Z} \right\} \cup \left\{ {{{5\pi } \over 4} + k2\pi,k \in\mathbb Z} \right\}} \right)\)
Điều kiện xác định: \(\cos 2x - \cos x \ne 0\) \( \eqalign{& \Leftrightarrow \cos 2x \ne \cos x \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x \ne x + k2\pi } \cr {2x \ne - x + k2\pi } \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x \ne k2\pi } \cr {x \ne k{{2\pi } \over 3}} \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow x \ne k{{2\pi } \over 3} \cr} \) Vậy \(D =\mathbb R \backslash \left\{ {k{{2\pi } \over 3},k \in\mathbb Z} \right\}\)
Điều kiện xác định: \( \left\{ \begin{array}{l} x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\ 1 + \tan x \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\ \tan x \ne - 1 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x \ne {\pi \over 2} + k\pi } \cr {x \ne - {\pi \over 4} + k\pi } \cr} } \right.\) Vậy \(D =\mathbb R \backslash \left( {\left\{ {{\pi \over 2} + k\pi,k \in\mathbb Z} \right\} \cup \left\{ { - {\pi \over 4} + k\pi,k \in\mathbb Z} \right\}} \right)\)
Điều kiện xác định: \( \left\{ \begin{array}{l} 2x \ne k\pi \\ \sqrt 3 \cot 2x + 1 \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne \frac{{k\pi }}{2}\\ \cot 2x \ne - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne \frac{{k\pi }}{2}\\ 2x \ne - \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne \frac{{k\pi }}{2}\\ x \ne - \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2} \end{array} \right.\) Vậy \(D =\mathbb R \backslash \left( {\left\{ {k{\pi \over 2},k \in\mathbb Z} \right\} \cup \left\{ { - {\pi \over 6} + k{\pi \over 2},k \in\mathbb Z} \right\}} \right)\) 11. Giải bài 24 trang 31 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng caoGiả sử một con tàu vũ trụ được phóng lên từ mũi Ca-na-vơ-ran (Canaveral) ở Mĩ. Nó chuyển động theo một quỹ đạo được mô tả trên một bản đồ phẳng (quanh đường xích đạo) của mặt đất như hình 1.23: điểm M mô tả cho con tàu, đường thẳng ∆ mô tả cho đường xích đạo. Khoảng cách h (kilomet) từ M đến ∆ được tính theo công thức h = |d|, trong đó: \( d = 4000\cos \left[ {{\pi \over {45}}\left( {t - 10} \right)} \right],\) Với t (phút) là thời gian trôi qua kể từ khi con tàu đi vào quỹ đạo, d > 0 nếu M ở phía trên ∆, d < 0 nếu M ở phía dưới ∆.
(Tính chính xác các kết quả đến hàng phần nghìn). Phương pháp giải:
- Chọn t bé nhất và kết luận. Hướng dẫn giải:
Do đó: h = |d| ≈ 3064,178 (km)
\( \eqalign{& d = 2000 \cr&\Leftrightarrow 4000\cos \left[ {{\pi \over {45}}\left( {t - 10} \right)} \right] = 2000\cr&\Leftrightarrow \cos \left[ {{\pi \over {45}}\left( {t - 10} \right)} \right] = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow {\pi \over {45}}\left( {t - 10} \right) = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \cr&\Leftrightarrow t = 10 \pm 15 + 90k \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = 25 + 90k} \cr {t = - 5 + 90k} \cr} } \right. \cr} \) Chú ý rằng t > 0 ta thấy ngay giá trị nhỏ nhất của t là t = 25. Vậy d = 2000 (km) xảy ra lần đầu tiên sau khi phóng con tàu vào quỹ đạo được 25 phút.
\( \eqalign{ & d = - 1236\cr& \Leftrightarrow 4000\cos \left[ {{\pi \over {45}}\left( {t - 10} \right)} \right] = - 1236 \cr&\Leftrightarrow \cos \left[ {{\pi \over {45}}\left( {t - 10} \right)} \right] = - 0,309 \cr & \Leftrightarrow {\pi \over {45}}\left( {t - 10} \right) = \pm \alpha + k2\pi \cr&\left( {\text{ với }\,k \in \mathbb Z\,\text{ và }\,\cos \alpha = - 0,309} \right) \cr & \Leftrightarrow t = \pm {{45} \over \pi }\alpha + 10 + 90k \cr} \) Sử dụng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta có thể chọn α ≈ 1,885. Khi đó ta có: t ≈ ± 27000 + 10 + 90k, tức là t ≈ - 17000 + 90k hoặc t ≈ 37000 + 90k Dễ thấy giá trị dương nhỏ nhất của t là 37000. Vậy d = -1236 (km) xảy ra lần đầu tiên là 37000 phút sau khi con tàu được phóng vào quỹ đạo. 12. Giải bài 25 trang 32 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng caoMột chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5m; trục của nó đặt cách mặt nước 2m (h.1.24). Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) từ một chiếc gầu gắntại điểm A của guồng đến mặt nước được tính theo công thức h = |y|, trong đó \( y = 2 + 2,5\sin \left[ {2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right)} \right]\) Với x là thời gian quay guồng ( x ≥ 0 ), tính bằng phút ; ta quy ước rằng y > 0 khi gầu ở bên trên mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới nước (xem bài đọc thêm về dao động điều hòa trang 15). Hỏi:
Phương pháp giải:
⇒ Giải phương trình tìm x và kết luận.
⇒ Giải phương trình tìm x và kết luận.
- Tìm x vfa kết luận giá trị x bé nhất. Hướng dẫn giải:
\(\sin \left[ {2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)} \right] \ge - 1 \Rightarrow y \ge 2 + 2,5.\left( { - 1} \right) = - 0,5\) Chiếc gầu ở vị trí thấp nhất khi \(\sin \left[ {2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right)} \right] = - 1\). Ta có: \( \sin \left[ {2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right)} \right] = - 1 \\ \Leftrightarrow 2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right) = - {\pi \over 2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x - \frac{1}{4} = - \frac{1}{4} + k \\ \Leftrightarrow x = k\,\left( {\,k \in\mathbb Z} \right)\) Điều đó chứng tỏ rằng chiếc gầu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0 phút; 1 phút; 2 phút; 3 phút…
\(\sin \left[ {2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)} \right] \le 1 \Rightarrow y \le 2 + 2,5.1 = 4,5\) Chiếc gầu ở vị trí cao nhất khi \(\sin \left[ {2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right)} \right] = 1\). Ta có: \( \sin \left[ {2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right)} \right] = 1 \\ \Leftrightarrow 2\pi \left( {x - {1 \over 4}} \right) = {\pi \over 2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + k \\ \Leftrightarrow x = {1 \over 2} + k\,\left( {\,k \in N} \right)\) Điều đó chứng tỏ chiếc gàu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm 0,5 phút; 1,5 phút ; 2,5 phút ; 3,5 phút …
\( \begin{array}{l} 2 + 2,5\sin \left[ {2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)} \right] = 2\\ \Leftrightarrow 2,5\sin \left[ {2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \sin \left[ {2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = k\pi \\ \Leftrightarrow x - \frac{1}{4} = \frac{k}{2}\\ \Leftrightarrow x = \frac{k}{2} + \frac{1}{4} \end{array}\) Nghĩa là tại các thời điểm \(x = {1 \over 4} + {1 \over 2}k\) (phút) thì chiếc gầu cách mặt nước 2m; Do đó lần đầu tiên nó cách mặt nước 2 mét khi quay được \({1 \over 4}\) phút (ứng với k = 0 ). 13. Giải bài 26 trang 32 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng caoDùng công thức biến đổi tổng thành tích, giải các phương trình sau:
Phương pháp giải:
Hướng dẫn giải:
\( \eqalign{& \Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)\cr&\Leftrightarrow \cos 3x - \cos \left( {{\pi \over 2} - 2x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow - 2\sin \left( {\frac{{3x + \frac{\pi }{2} - 2x}}{2}} \right)\sin \left( {\frac{{3x - \frac{\pi }{2} + 2x}}{2}} \right) = 0\cr&\Leftrightarrow - 2\sin \left( {{x \over 2} + {\pi \over 4}} \right)\sin \left( {{{5x} \over 2} - {\pi \over 4}} \right) = 0 \cr}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\ \sin \left( {\frac{{5x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{x \over 2} + 105^\circ = k180^\circ } \\ {105^\circ - {{3x} \over 2} = k180^\circ } \cr} } \right. \\\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - 210^\circ + k360^\circ } \\ {x = 70^\circ - k120^\circ } \cr} } \right.,k\in Z \) |