- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
LG a
\[y = {{{x^2} - 3x + 6} \over {x - 1}}\]
Lời giải chi tiết:
\[y = x- 2 + {4 \over {x - 1}}\]
TXĐ: \[D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty \] nên \[x = 1\] là tiệm cận đứng.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left[ {x - 2} \right]} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {4 \over {x - 1}} = 0\] nên \[y = x 2\] là tiệm cận xiên.
\[\eqalign{
& y' = 1 - {4 \over {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} \cr&= {{{{\left[ {x - 1} \right]}^2} - 4} \over {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} = {{\left[ {x - 3} \right]\left[ {x + 1} \right]} \over {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1;\,\,\,y\left[ { - 1} \right] = -5 \hfill \cr
x = 3;\,\,\,y\left[ 3 \right] = 3 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Hàm số đồng biến trên khoảng [-; -1] và [3; +]
Hàm số nghịch biến trên khoảng [-1;1] và [1;3]
yCĐ=y[-1]=-5;yCT=y[3]=3
Đồ thị:
+] Đồ thị giao với Oy [0; -6]
+] Đồ thị đi qua A[-3; -6]
Đồ thị nhận giao điểm \[I[1;-1]\] của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
LG b
\[y = {{2{x^2} - x + 1} \over {1 - x}}\]
Lời giải chi tiết:
\[y = {{ - 2{x^2} + x - 1} \over {x - 1}}\]
\[y = - 2x - 1 - {2 \over {x - 1}}\]
TXĐ: \[D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\]
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty \] nên tiệm cận đứng: \[x = 1\]
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left[ { - 2x - 1} \right]} \right] \] \[= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ { - \frac{2}{{x - 1}}} \right] = 0\] nên tiệm cận xiên: \[y = -2x 1\]
\[\eqalign{
& y' = - 2 + {2 \over {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}\cr& = {{ - 2{{\left[ {x - 1} \right]}^2} + 2} \over {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} = {{ - 2{x^2} + 4x} \over {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;\,\,\,\,\,y\left[ 0 \right] = 1 \hfill \cr
x = 2;\,\,\,\,\,\,y\left[ 2 \right] = - 7 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Hàm số đồng biến trên khoảng [0;1]và [1;2]
Hàm số nghịch biến trên khoảng [-, 0] và [2; +]
yCĐ= y[2] = -7; yCT= y[0] = 1
Điểm đặc biệt:
\[x = 0 \Rightarrow y = 1\]
\[x = -1 \Rightarrow y = 2\]
Đồ thị:
Đồ thị nhận \[I[1;-3]\] làm tâm đối xứng.
LG c
\[y = {{2{x^2} + 3x - 3} \over {x + 2}}\]
Lời giải chi tiết:
\[y = 2x - 1 - {1 \over {x + 2}}\]
TXĐ: \[D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 2} \right\}\]
Tiệm cận đứng: \[x = 2\] vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = - \infty \]
Tiệm cận xiên: \[y = 2x -1\] vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left[ {2x - 1} \right]} \right] \] \[= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ { - \frac{1}{{x + 2}}} \right] = 0\]
\[y' = 2 + {1 \over {{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}} > 0\] với mọi \[x \ne - 2\] nên hàm số đồng biến trên các khoảng[-; -2] và [-2; +]
Điểm đặc biệt: \[x = 0 \Rightarrow y = - {3 \over 2}\]
Đồ thị nhận \[I[-2; -5]\] làm tâm đối xứng.
LG d
\[y = - x + 2 + {1 \over {x - 1}}\]
Lời giải chi tiết:
\[y = - x + 2 + {1 \over {x - 1}}\]
TXĐ: \[D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\]
Tiệm cận đứng: \[x = 1\] vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \]
Tiệm cận xiên \[y = -x +2\] vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left[ { - x + 2} \right]} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {\frac{1}{{x - 1}}} \right] = 0\]
\[y' = - 1 - {1 \over {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} < 0\] với mọi \[x \ne 1\] nênhàm số luôn nghịch biến trên [-;1] và 1; +]
Điểm đặc biệt: \[x = 0 \Rightarrow y = 1\]
Đồ thị nhận điểm \[I[1;-1]\] làm tâm đối xứng.