Bài tập cấp số cộng cấp số nhân tự luận
3/24. Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một CSC, ba số hạng sau thành lập CSN. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối là 37, tổng của hai số hạng giữa là 36. Tìm bốn số đó. LỜI GIẢI Gọi bốn số nguyên dương cần tìm là: a, b, c, d. Theo đề bài có a, b, c là ba số hạng liên tiếp của CSC. Ta có: Ba số hạng b, c, d là ba số hạng liên tiếp của CSN. Ta có: Theo giả thuyết đề bài ta có hệ phương trình: Từ (4) có: Thay b, d vào (2) được: Với Với 4/25. Ba số khác nhau có tổng bằng 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một CSN, hoặc coi là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ hai mươi lăm của một CSC. Tìm các số đó. LỜI GIẢI Gọi Theo đề bài Ta có Vì Theo đề bài có: Kết luận ba số cần tìm: 6/25. Ba số khác nhau có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một CSN hoặc là các số hạng thứ 2 thứ 9 và thứ 44 của một CSC. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu tiên của CSC để tổng của chúng là 820? LỜI GIẢI Gọi Theo đề bài Ta có Vì Theo đề bài có: Suy ra Ta có Theo đề bài ta có Kết luận phải lấy 20 số hạng đầu tiên để tổng của chúng bằng 820. 7/25. Một CSN và CSN đều có số hạng đầu tiên là bằng 5, số hạng thứ hai của CSC lớn hơn số hạng thứ hai của CSN là 10, còn các số hạng thứ 3 của hai cấp số thì bằng nhau. Tìm cấp số đó. LỜI GIẢI Gọi Gọi Theo đề bài ta có: Thế (2) vào (3) được: Với Với 9/25. 1). Ba số x, y, z theo thứ tự đó lập thành một CSN với công bội LỜI GIẢI Ta có 3). Các số LỜI GIẢI Dựa vào tính chất của CSC và CSN ta có hệ phương trình: Thay (1) vào (2) được: 4). Ba số x, y, z theo thứ tự đó lập thành một CSN. Ba số x, y – 4 , z theo thứ tự đó lập thành CSN. Đồng thời các số x, y – 4 , z – 9 theo thứ tự đó lập thành CSC. Tìm x, y, z? LỜI GIẢI Dựa vào tính chất của CSC và CSN ta có hệ phương trình: Từ (1) và (2) ta có Thay y = 2 vào (3) được: Có 2 bộ (x,y,z) thỏa yêu cầu là (1,2,4) và (4,2,1). 3.24:Tìm a, b, c biết rằng: a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng và a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, đồng thời LỜI GIẢI Theo đề bài ta có: Thay(1) vào (3) được thay Kết luận:
LỜI GIẢI Theo đề: Lấy Với Với Nếu Vì a, b, c phải là 3 số dương. Nếu 5)a,b,c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng và a,b,c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, đồng thời LỜI GIẢI Ta có hệ phương trình: Thay (2) vào (3) được: Thay Vậy:
LỜI GIẢI Có Có Có Ta có hệ phương trình: Thay (1) vào (3): Thay vào (2) được: Thay b và c theo a vào (1) được: Với Với
LỜI GIẢI Vì Vì Vì Ta có hệ phương trình: Thay (1) vào (3) được: thay Tìm m để phương trình LỜI GIẢI ● Đặt ● Để ● Theo Viét: ● Theo đề Tìm m để phương trình LỜI GIẢI ● So với Tìm tham số m để phương trình LỜI GIẢI ● ● Để các nghiệm này lập thành cấp số cộng nên ta sắp xếp các nghiệm này theo thứ tự tăng dần được các dãy số sau:
● Vậy @ Lưu ý Trong bài giải trên, ta đã tìm ra được cả ba nghiệm của phương trình bằng nguyên tắc nhẩm nghiệm. Còn nếu không tìm ra được nghiệm hoặc không đủ ba nghiệm, sẽ làm như thế nào ? Ta cùng xét hai bài tập nhỏ sau: |