Bài tập giải phương trình sinx và cosx

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx.

9. KIẾN THỨC CƠ BẢN Bài toán: Giải phương trình: $a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d$ $(1).$ PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Thực hiện theo các bước: + Bước 1. Với $\cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $, $k \in Z.$ Khi đó phương trình $(1)$ có dạng $a = d.$ + Nếu $a = d$ thì $(1)$ nhận $x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ làm nghiệm. + Nếu $a \ne d$ thì $(1)$ không nhận $x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ làm nghiệm. + Bước 2. Với $\cos x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $, $k \in Z.$ Chia hai vế của phương trình $(1)$ cho ${\cos ^2}x \ne 0$ ta được: $a{\tan ^2}x + b\tan x + c$ $ = d\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right).$ Đặt $t = \tan x$, phương trình có dạng: $(a – d){t^2} + bt + c – d = 0$ $(2).$ + Bước 3. Giải phương trình $(2)$ theo $t.$

Cách 2: Sử dụng các công thức: ${\sin ^2}x = \frac{{1 – \cos 2x}}{2}.$ ${\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}.$ $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x.$ Ta được: $b\sin 2x + (c – a)\cos 2x = d – c – a$ $(3).$ Đây là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

Nhận xét quan trọng: 1. Cách 1 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thuộc tập $D.$ 2. Cách 2 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải và biện luận phương trình theo tham số.

Chú ý: Nhiều phương trình ở dạng ban đầu chưa phải là phương trình đẳng cấp bậc hai, khi đó tự các em học sinh cần biết đánh giá hoặc thực hiện một vài phép biến đổi lượng giác.

1. Bài toán

Giải phương trình

2. Phương pháp giải

• Biến đổi phương trình

với

• Giải phương trình xem lại

3. Chú ý

Điều kiện để phương trình có nghiệm là :

4. Ví dụ

Giải phương trình

Ta có

(chia hai vế cho 2)

5. Bài tập

Bài 1

Giải các phương trình sau

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.