Bài tập tìm cơ sở và số chiều của Kerf và Imf

Bài tập đại số tuyến tính: Ánh xạ tuyến tínhDạng 1 Chứng minh một ánh xạ là ánh xạ tuyến tínhu, v  V : f [u  v]  f [u]  f [v]Phương pháp f : V  V1 là ánh xạ tuyến tính  k  R,u  V : f [ku]  kf [u]Ví dụ 1 Cho f :32, f [x, y, z]  [x  y, z  x] . Chứng minh f là ánh xạ tuyến tínhGiải Xét u  [x, y,z], v  [x1 , y1 ,z1 ] 3;k  . Ta có u  v  [x  x1 , y  y1 ,z  z1 ] f [u  v]   [x  x1 ]  [y  y1 ],[z  z1 ]  [x  x1 ]    [x  y]  [x1  y1 ],[z  x]  [z1  x1 ]  [x  y,z  x]  [x1  y1 ,z1  x1 ]  f [u]  f [v] [1]ku  [kx,ky,kz]  f [ku]  [kx  ky,kz  kx]  k[x  y,z  x]  kf [u] [2]Từ [1] và [2] suy ra f là ánh xạ tuyến tính.Ví dụ 2 Cho f : P2 2,f [ax 2  bx  c]  [a  c,b] . Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.Giải Xét p  ax 2  bx  c,q  a1x 2  b1x  c1  P2 ,k . Ta có p  q  [a  a1 ]x 2  [b  b1 ]x  [c  c1 ] Suy raf [p  q]  f [[a  a1 ]x 2  [b  b1 ]x  [c  c1 ]]  [[a  a1 ]  [c  c1 ],b  b1 ]  [[a  c]  [a1  c1 ],b  b1 ] [a  c,b]  [a1  c1 ,b1 ]  f [p]  f [q] [1]kp  kax 2  kbx  kc suy ra f [kp]  f [kax 2  kbx  kc]  [ka  kc,kb]  k[a  c,b]  kf [p] [2]Từ [1] và [2] suy ra f là ánh xạ tuyến tính.Ví dụ 3 Cho f : M 2 3a b,f     [a  b  c,d, 0] . Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính. c d a1 b1 a bGiải Xét A    M 2 ,k  ;B  c d c1 d1  a  a1. Ta có A  B   c  c1b  b1  . Suy rad  d1   a  a1 b  b1  f [A  B]  f     [[a  a1 ]  [b  b1 ]  [c  c1 ],[d  d1 ], 0]  [a  b  c,d, 0]  [a 1  b1  c1 ,d1 , 0]  c  c1 d  d1   f [A]  f [B] [1].  ka kb   ka kb kA    f [kA]  f     [ka  kb  kc, kd, 0]  k[a  b  c,d, 0]  kf [A] [2] kc kd   kc kd  Từ [1] và [2] suy ra f là ánh xạ tuyến tính.Dạng 2 Tìm nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính f : V  V1Phương pháp Tìm Kerf : Giả sử u  Kerf  f [u]   . Từ đó dẫn đến mô tả cho KerfTìm Imf : Xét một cơ sở U  u1 ,u 2 ,...,u n  của không gian nguồn V. Khi đó Imf  L  f [u1 ],f [u 2 ],...,f [u n ] Ví dụ 1 Cho f :32,f [x, y,z]  [x  z, y  z] . Tìm Imf và Kerf.x  zGiải Tìm Kerf: Giả sử u  [x, y, z]  Kerf  f [u]    [x  z, y  z]  [0, 0]   u  [z, z,z], z  y  zVậy Kerf  u  [z, z,z] | z Tìm Imf: Xét cơ sở u1  [1, 0, 0];u 2  [0,1, 0];u 3  [0, 0,1] của3. Ta có f [u1 ]  f [1, 0, 0]  [1, 0]  v1;f [u 2 ]  f [0,1, 0]  [0,1]  v2 ;f [u 3 ]  f [0, 0,1]  [ 1,1]  v3 . Vậy Imf  L v 1,v 2,v 3 Nhận xét: Do Imf là không gian con củaVí dụ 2 Cho f :232và dễ thấy dimImf  2 nên Imf 2, f [x, y]  [x  y, y, x] . Tìm Kerf và Imf.Giải Tìm Kerf: Giả sử u  [x, y]  Kerf  f [u]    [x  y, y, x]  [0, 0, 0]  x  y  0  u  [0, 0]Vậy Kerf  u  [ 0, 0] Tìm Imf: Xét cơ sở u1  [1, 0],u 2  [0,1] của2. Ta có f [u1 ]  f [1, 0]  [1, 0,1]  v1;f [u 2 ]  f [0,1]  [1,1, 0]  v 2Vậy Imf  L[v 1,v 2]Ví dụ 3 Cho f : P2 3, f [ax 2  bx  c]  [a  b,b  c,c  a] . Tìm Kerf và Imf.a  b  0 a  cGiải Tìm Kerf: Giả sử p  ax  bx  c  Kerf  [a  b, b  c,c  a]  [0, 0, 0]  b  c  0  b  cc  a  02 p  cx 2  cx  c . Vậy Kerf  p  cx 2  cx  c | c Tìm Imf: Xét cơ sở p1  1;p2  x;p3  x 2  của P2 . Ta có f [p1 ]  f [1]  [0, 1,1]  v1;f [p2 ]  f [x]  [1,1, 0]  v 2 ;f [p3 ]  f [x 2 ]  [1, 0,1]  v3 . Vậy Imf  L[v 1,v 2,v 3]Ví dụ 4 Cho f : P2 2, f [ax 2  bx  c]  [a  b  c,c] . Tìm Kerf và Imfa   ba  b  c  0  b Giải Tìm Kerf: Giả sử p  ax  bx  c  Kerf  [a  b  c,c]  [0, 0]  c  0c  02 p  bx 2  bx . Vậy Kerf  p  bx 2  bx | b Tìm Imf: Xét cơ sở p1  1,p2  x,p3  x 2  của P2 . Ta có f [p1 ]  f [1]  [1,1]  v1 ,f [p2 ]  f [x]  [1, 0]  v2 ,f [p3 ]  f [x 2 ]  [1, 0]  v3 . Vậy Imf  L[v 1,v 2]Ví dụ 5 Cho f : M 2 3a b,f     [a  b, b  c,c  d] . Tìm Kerf , Imf c da   da  b  0 a b d d  b  dGiải Tìm Kerf: Xét A  A  Kerf  [a  b, b  c,c  d]  [0, 0, 0]  b  c  0  c d d d c  d  0c  dd  d d Vậy Kerf  A  | d d d 1 00 10 0 0 0 Tìm Imf: Xét cơ sở A1   , A2   , A3   , A4    của M 2 . Ta có0 00 01 0 0 1 f [A1 ]  [1, 0, 0]  v1 ,f [A2 ]  [1,1, 0]  v2 ,f [A3 ]  [0, 1,1]  v3 ,f [A 4 ]  [0, 0,1]  v 4 . Vậy Imf  L[v 1,v 2,v 3,v 4]Dạng 3 Xác định ma trận của ánh xạ tuyến tính f : V  V1 trong cơ sở U  u1 ,u 2 ,...,u n  của V và U1  s1 ,s2 ,...,s m của V1Phương pháp Tìm ảnh của các véc tơ trong cơ sở U: f [u1 ]  v1 ,f [u 2 ]  v2 ,...,f [u n ]  vnKhi đó ma trận A có cột thứ i là viU 1Ví dụ 1 Cho f :32,f [x, y,z]  [x  z, x  y] . Tìm ma trận của f trong cơ sởU  u1  [1, 2,1],u 2  [0,1, 1],u 3  [0,1, 0] của3và U1  s1  [1, 2];s2  [1, 3] của2Giải Ta có f [u1 ]  f [1, 2,1]  [2, 1]  v1 ,f [u 2 ]  f [0,1, 1]  [1, 1]  v 2 ,f [u 2 ]  f [0, 1, 0]  [0, 1]  v3 . Xétk  k 2  2k  5v1  k1s1  k 2s2  [2, 1]  k1 [1, 2]  k 2 [1, 3]  [2, 1]  [k1  k 2 , 2k1  3k 2 ]   1 12k1  3k 2  1 k 2  3 5 3  1 5 3 1Vậy v1U     . Tương tự v1U     , v1U     .Ma trận cần tìm là A  111 3 4  1 3 4 1Ví dụ 2 Cho f : P2 3,f [ax 2  bx  c]  [a  b  c,a  b,c] . Tìm ma trận của f trong cơ sởU  p1  x 2  x  1,p2  x 2  2x,p3  2x  1 của P2 và U1  s1  [2,1, 0],s2  [1,1,1],s3  [1, 0, 0] củaGiải Ta có f [p1 ]  f [x 2  x  1]  [1, 2, 1]  v1 ,f [p2 ]  f [x 2  2x]  [3, 3, 0]  v 2 ;f [p3 ]  f [2x  1]  [3, 2,1]  v3Xét v1  k1s1  k 2s2  k 3s3  [1, 2, 1]  k1 [2,1, 0]  k 2 [1,1,1]  k 3 [1, 0, 0]  [1, 2, 1]  [2k1  k 2  k 3 ,k1  k 2 ,k 2 ]2 k 1  k 2  k 3  1  k 1  3 331     k1  k 2  2 k 2  1 . Vậy v1 U1    1  . Tương tự v2 U1    0  ; v3 U1    1 k  1k  4 4  3 0    2 33 3 3 1Ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở đã cho là A   1 0 1  4 3 0 Ví dụ 3 Cho f : M 2 3a b,f     [a  c, b  d,d] Tìm ma trận của f trong cơ sở c d 1 1 0 10 0  0 0 U  A1   , A2   , A3   , A4    của M 2 và0 0  1 0  1 1 0 1 U1  s1  [1, 2, 3],s2  [0,1, 2],s3  [1,1, 6] của3Giải Ta có f [A1 ]  [1, 1, 0]  v1 ,f [A2 ]  [1,1, 0]  v2 ,f [A3 ]  [1, 1, 1]  v 3 ,f [A 4 ]  [0, 1, 1]  v 4Xét v1  k1s1  k 2s2  k3s3  [1, 1, 0]  [k1  k 3 , 2k1  k 2  k 3 , 3k1  2k 2  6k 3 ] k1  k 3  1k1  10 10  10  11  3   2k1  k 2  k 3  1  k 2  12  v1 U1    12  Tương tự v2 U1    12  , v3 U1    3  , v 4 U1    4 3k  2k  6k  0k  9 9  9  10 3 23 1 3 10 10 11 3 Vậy ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở trên là A   12 123 4  99 10 3 Dạng 4 Tìm giá trị riêng của ma trậnCác giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình | A  I | 0 2 2 10 Ví dụ 1 Tìm các giá trị riêng của ma trận A   8 2 20  1 2 9 Giải Xét phương trình2  2102   202 10210| A  I | 0  82   20  0  [2  ] 8. 1.0292 9  2   20129 [2  ][2  7  22]  8[2  2]  [20  10]  0  3  5 2  2  8  0  [  2][ 2  3  4]  0 [  2][  1][  4]  0  1  2, 2  1, 3  4 . Vậy A có 3 giá trị riêng là 2, 1, 4Ví dụ 2 Tìm các giá trị riêng của các ma trận sau 1 2 6 A   2 1 4 2 1 6 10 8 2 B   11 9 2  3 4 5 Đáp số: A: 1, 2, 3;B: 3, 1, 4;C: 1, 1, 2;D: 2, 2, 1 1 2 2 C 4 5 4  1 1 0 2 0 0D 1 3 4  4 1 2 

You're Reading a Free Preview
Page 2 is not shown in this preview.