Bài tập về phương trình lagrange loại 2 năm 2024

Uploaded by

11-Trần Quang Huy

0% found this document useful (0 votes)

34 views

56 pages

Copyright

© © All Rights Reserved

Available Formats

PDF, TXT or read online from Scribd

Share this document

Did you find this document useful?

Is this content inappropriate?

0% found this document useful (0 votes)

34 views56 pages

Lí - Chuyên Chu Văn an - Bình Định

Uploaded by

11-Trần Quang Huy

Jump to Page

You are on page 1of 56

Search inside document

Reward Your Curiosity

Everything you want to read.

Anytime. Anywhere. Any device.

No Commitment. Cancel anytime.

Trong phần trước, chúng ta đã có những khái niệm cơ bản về cơ học. Trong phần này, chúng ta sẽ nói đến cách nhìn của Lagrange về cơ học và chứng minh phương trình chuyển động tổng quát.

• Cơ học Lagrange – Phần 1
• Cơ học Lagrange – Phần 3

Triệu tiêu lực ràng buộc

Chúng ta xem xét định luật 2 Newton với hai thành phần lực tác động vào hệ: thành phần lực ràng buộc và thành phần lực gây ra chuyển động tự do .

Do lực ràng buộc không tạo công tại một thời điểm nhất định nào, chúng ta sẽ nhân thêm độ dời ảo (vi phân của tọa độ không phụ thuộc thời gian) để triệt tiêu lực ràng buộc. Chúng ta có:

Với N là tổng số chất điểm trong hệ cần xét. Phương trình trên gọi là nguyên lý D’Alembert. Chúng ta đã triệt tiêu được lực ràng buộc, tuy nhiên vẫn còn quá nhiều tọa độ mà chúng ta cần phải xem xét.

Các tọa độ tổng quát

Để giảm đi số phương trình cần thiết, chúng ta cần giảm số biến của hệ. Chúng ta cần chuyển hệ tọa độ Decartes thông thường thành một hệ tọa độ tổng quát , nơi các thành phần đặc trưng cho f bậc tự do của hệ. Nếu hệ có 2 bậc tự do, có hai thành phần. Nếu hệ có 6 bậc tự do, có 6 thành phần. Chúng ta có thể viết lại hệ tọa độ thông thường dưới dạng một hàm của các biến mới :

Với f là số bậc tự do của hệ. Phương trình trên còn được viết như sau:

Từ đây, chúng ta có thể suy ra độ dời ảo và đạo hàm của :

Bởi vì vận tốc của một phương theo tọa độ tổng quát là độc lập với phương khác (do các phương đặc trưng cho bậc tự do riêng của chúng), nếu chúng ta lấy đạo hàm từng phần theo , chúng ta sẽ có:

Thay phương trình độ dời ảo vào phương trình nguyên lý D’Alembert chúng ta có:

Sử dụng quy tắc nhân trong đạo hàm, chúng ta có:

Áp dụng vào phương trình trên, chúng ta có:

Bước tiếp theo chúng ta sẽ thay các đại lượng vô hướng vào phương trình trên.

Các đại lượng vô hướng

Lagrange nghĩ rằng các đại lượng vô hướng có thể đặc trưng cho chuyển động của toàn hệ, ví dụ như động năng. Động năng của hệ được định nghĩa như sau:

Đạo hàm từng phần của động năng theo các tọa độ tổng quát là:

(nhờ biến đổi trong chương 2)

Khi so sánh với phương trình cuối chương hai, chúng ta đã loại được đi hai thành phần. Chúng ta định nghĩa tiếp thành phần cuối cùng gọi là lực tổng quát như sau: