- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Cho hình hộp ABCD.ABCD. Chứng minh rẳng
LG a
mp[BDA] // mp[BDC]
Phương pháp giải:
Mặt phẳng [P] chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với [Q] thì [P]//[Q].
Lời giải chi tiết:
Chứng minh [ BDA] // [BDC]
Tứ giác BBDD và ABCD là các hình bình hành nên : BD // BD và DA // BC
\[BD//B'D' \subset \left[ {B'D'C} \right]\]\[ \Rightarrow BD//\left[ {B'D'C} \right]\]
\[DA'//CB' \subset \left[ {B'D'C} \right]\]\[ \Rightarrow DA'//\left[ {B'D'C} \right]\]
Mà \[BD,DA' \subset \left[ {A'BD} \right] \]\[\Rightarrow \left[ {A'BD} \right]//\left[ {B'D'C} \right]\]
Vậy [BDA] // [BDC].
LG b
Đường chéo AC đi qua các trọng tâm G1, G2của hai tam giác BDA và BDC
Lời giải chi tiết:
Chứng minh G1, G2 AC
Gọi O, O lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABCD.
Trong mặt phẳng [AACC] gọi G1, G2lần lượt là giao điểm của AC với AO và OC.
Ta chứng minh G1, G2lần lượt là trọng tâm của ABD và CBD.
Thật vậy, ta có G1OA đồng dạng G1AC [ vì AC // AC]
\[ \Rightarrow {{{G_1}O} \over {{G_1}A'}} = {{OA} \over {A'C'}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{A'{G_1}} \over {A'O}} = {2 \over 3}\]
G1là trọng tâm ABD.
Tương tự, G2là trọng tâm CBD. Vậy AC đi qua G1, G2.
LG c
G1và G2chia đoạn AC thành ba phần bằng nhau
Lời giải chi tiết:
Chứng minh AG1= G1G2= G2C
Theo câu trên , ta có:
\[{{A{G_1}} \over {{G_1}C'}} = {{AO} \over {A'C'}} = {1 \over 2}\] [ vì G1OA đồng dạng G1AC] \[ \Rightarrow A{G_1} = {1 \over 3}AC'\] [1]
Tương tự: \[{{C'{G_2}} \over {{G_2}A}} = {{C'O'} \over {CA}} = {1 \over 2}\] [ vì G2CO' đồng dạng G2AC] \[ \Rightarrow C'{G_2} = {1 \over 3}AC'\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: AG1= G1G2= G2C.
LG d
Các trung điểm của sáu cạnh BC, CD, DD, DA, AB,BB cùng nằm trên một mặt phẳng
Lời giải chi tiết:
Gọi M, N, P, Q, S, R lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, DD, CD, CB, BB.
Ta có: \[\left\{ {\matrix{ {MN//BD} \cr {SP//BD} \cr } } \right. \Rightarrow MN//SP\]
Gọi [α] = [MN, SP]
Ta có : \[\left\{ {\matrix{ {PQ//DC'} \cr {MS//AB'} \cr } } \right. \Rightarrow PQ//MS\]
[ vì DC // AB]
PQ [α] do đó Q [α].
Tương tự: QR // MN QR [α] do đó R [α].
Vậy M, N, P, Q, R, S [α].
Mặt khác vì \[\left\{ {\matrix{ {MS//AB'} \cr {NP//AD'} \cr } } \right.\] nên [MNPQRS] // [ABD'].