Cách giải bài toán đếm số sử dụng Tổ hợp cực hay có lời giải
Định nghĩa : Cho tập hợp X có n phần tử [n≥1] và số nguyên k với 1≤k≤n. Mỗi tập con gồm k phần tử của X gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho [gọi tắt là một tổ hợp chập k của X].
Công thức : Số các tổ hợp chập k của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là
Dấu hiệu chia hết cho một số.
+ Một số chia hết cho 2 nếu chữ số hàng đơn vị là: 0,2,4,6,8.
+ Một số chia hết cho 3 nếu tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3.
+ Một số chia hết cho 5 nếu chữ số hàng đơn vị là 0 hoặc 5 .
+ Một số chia hết cho 10 nếu chữ số hàng đơn vị là 0.
+ Một số chia hết cho 9 nếu tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9.
+ Một só chia hết cho 4 nếu hai chữ số tận cùng chia hết cho 4.
Chú ý :
- Ta quy ước tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng, như vậy
- Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử nhiều hơn k! lần số các tổ hợp chập k của n phần tử
Ví dụ 1 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước ?
A.15220 B.252 C.126 D.120
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
Đặt X = {1 ; 2; 3; …; 9}. Ta cần đếm có bao nhiêu số tự nhiên dạng abcde với a chữ số hàng trăm là 1
=> chữ số hàng chục là 1 + 8 = 9;
chữ số hàng đơn vị là: 1 x 4 = 4.
Vậy số đó là: 194
Ví dụ 7: Tìm số có hai chữ số lớn hơn 85, biết rằng số viết bởi hai chữ số của số phải tìm theo thứ tự ngược lại bằng số phải tìm.
Giải:
Vì số viết bởi hai chữ số của số phải tìm theo thứ tự ngược lại bằng số phải tìm nên số phải tìm có hai chữ số giống nhau
Mà số phải tìm > 85 , vậy số phải tìm là 88 hoặc 99
Ví dụ 8: Tìm số có hai chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó ta được số mới gấp 9 lần số đã cho.
Giải:
Viết thêm chữ số 2 vào bên trái một số có hai chữ số tức là đã thêm vào số đó 200 đơn vị.
Số mới gấp 9 lần số cũ như vậy số mới đã tăng thêm 8 lần số cũ. Vậy 8 lần số cũ bằng 200.
Số cũ là: 200 : 8 = 25.
Số có hai chữ số phải tìm là: 25
Ví dụ 9. Tìm số có ba chữ số, biết rằng khi xóa chữ số 7 ở hàng đơn vị, ta được số mới kém số phải tìm là 331
Giải:
Cách 1.
Khi ta xóa chữ số 7 ở hàng đơn vị của một số tức là đã bớt số đó đi 7 đơn vị và giảm đi 10 lần, ta có sơ đồ:
Hiệu số phần bằng nhau là: 10 -1 = 9 [phần]
Giá trị của 9 phần là: 331 – 7 = 324
Số mới là: 324 : 9 = 36
Số phải tìm là: 36 + 331 = 367
Cách 2.
Gọi số phải tìm là ab
Ta có:
Ta có:
+] 7 – b = 1 =>b = 7 - 1 = 6
+] 6 – a = 3 => a = 3
Vậy số đó là: 367