Đề bài
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABCcó tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt phẳng đáy góc 60° và hình chiếu vuông góc của đỉnh Alên mặt phẳng [ABC] trùng với trung điểm của cạnh BC.
a] Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ
b] Chứng minh rằng mặt bên BCCB là một hình vuông.
Lời giải chi tiết
a] Gọi Ilà trung điểm của cạnh BC. Theo giả thiết ta có AI [ABC] và \[\widehat {AA'I} = {60^0}\]. Ta biết rằng hai mặt phẳng [ABC] và [ABC] song song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng chính là khoảng cách AI.
Do đó \[AI = AA'.\sin {60^0} = a.{{\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\]
b]
\[\left. \matrix{
B'C' \bot A'I \hfill \cr
B'C' \bot AI \hfill \cr} \right\} \Rightarrow B'C' \bot \left[ {AIA'} \right]\]
\[ \Rightarrow B'C' \bot AA'\]
Mà \[AA'\parallel BB'\parallel CC'\]nên BC BB
Vậy mặt bên BCCB là một hình vuông vì nó là hình thoi có một góc vuông.