Đề bài
Cho \[C\] là một điểm nằm trên cung lớn \[AB\] của đường tròn \[[O].\] Điểm \[C\] chia cung lớn \[\overparen{AB}\] thành hai cung \[\overparen{AC}\] và \[\overparen{CB}.\] Chứng minh rằng cung lớn \[\overparen{AB}\] có \[sđ \overparen{AB} = sđ \overparen{AC} = sđ \overparen{CB}.\]
Hướng dẫn: Xét \[3\] trường hợp:
\[a]\] Tia \[OC\] nằm trong góc đối đỉnh của góc ở tâm \[\widehat{AOB}.\]
\[b]\] Tia \[OC\] trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm \[\widehat{AOB}.\]
\[c]\] Tia \[OC\] nằm trong một góc kề bù với góc ở tâm \[\widehat{AOB}.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Nếu \[C\] là một điểm trên cung \[AB\] thì: \[sđ \overparen{AB}=sđ \overparen{AC}+sđ \overparen{CB}.\]
+] Số đo của nửa đường tròn bằng \[180^o.\]
+] Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa \[360^o\] và số đo cung nhỏ [có chung hai đầu mút với cung lớn].
+] Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
Lời giải chi tiết
\[a]\] Trường hợp tia \[OC\] nằm trong góc đối đỉnh với\[\widehat {AOB}\]
Kẻ đường kính \[CD\]
Suy ra: \[OD\] nằm giữa \[OA\] và \[OB\] nên điểm \[D\] nằm trên cung nhỏ cung \[\overparen{AB}\]
\[\Rightarrow sđ \overparen{AD}[nhỏ] + sđ\overparen{BD}[nhỏ] \]\[= sđ \overparen{AB}[nhỏ]\] \[[1]\]
Vì \[OA\] nằm giữa \[OC\] và \[OD\] nên điểm \[A\] nằm trên cung nửa đường tròn \[CD.\]
\[ \Rightarrow\]\[ sđ \overparen{AD}[nhỏ]+ sđ\overparen{AC}[nhỏ]\]\[ =180^o\] \[[2]\]
Vì \[OB\] nằm giữa \[OC\] và \[OD\] nên điểm \[B\] nằm trên cung nửa đường tròn \[CD.\]
\[\Rightarrow sđ \overparen{BD}[nhỏ] + sđ \overparen{BC}[nhỏ] \]\[=180^o\] \[[3]\]
Cộng từng vế \[[2]\] và \[[3]:\]
\[sđ \overparen{AD}[nhỏ] + sđ \overparen{AC}[nhỏ] \]\[+ sđ \overparen{BD}[nhỏ] + sđ \overparen{BC}[nhỏ] \]\[=360^o\] \[ [4]\]
Từ \[[1]\] và \[[4]\] suy ra: \[sđ \overparen{AC}[nhỏ] + sđ \overparen{BC}[nhỏ] \]\[+ sđ \overparen{AB}[nhỏ] =360^o\]
\[\Rightarrow sđ \overparen{AC}[nhỏ] + sđ \overparen{BC}[nhỏ]\]\[ = 360^o- sđ \overparen{AB}[nhỏ]\]
Mà \[360^o- sđ\overparen{AB}[nhỏ] = sđ \overparen{AD}[lớn]\]
Vậy với cung lớn \[\overparen{AB}\] ta có: \[sđ \overparen{AB}= sđ \overparen{AC}+ sđ \overparen{BC}\]
b]Trường hợp tia \[OC\] trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm \[\widehat{AOB}\]
Do tia \[OC\] trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm \[\widehat{AOB}\], ta có:
\[\widehat {AOB} + \widehat {BOC} = {180^o}\]; \[\widehat {AOC} = {180^o}\]
\[\Rightarrow \widehat {AOB} + \widehat {BOC} + \widehat {AOC} = {360^o}\]
\[\Rightarrow \widehat {AOC} + \widehat {BOC} = {360^o} - \widehat {AOB}\]
Suy ra: \[sđ \overparen{AB} + sđ\overparen{BC} [nhỏ] \]\[=360^o- sđ \overparen{AB} [nhỏ]\]
Vậy với cung lớn \[\overparen{AB}\] ta có: \[sđ \overparen{AB} = sđ \overparen{AC} [nhỏ] + sđ \overparen{BC} \]
c]Trong hợp tia \[OC\] nằm trong góc kề bù với góc ở tâm \[\widehat{AOB}\]
Kẻ đường kính \[AE.\]
Theo trường hợp \[b]\] ta có:
\[sđ \overparen{AB} [lớn] \]\[= sđ \overparen{AE} [nhỏ] + sđ \overparen{BE} [nhỏ]\]
Ta xét trường hợp \[C\] nằm trên cung nhỏ \[\overparen{EB}:\]
\[sđ \overparen{EB} [nhỏ] \]\[= sđ\overparen{EC} [nhỏ] + sđ \overparen{CB} [nhỏ]\]
\[\Rightarrow \] \[sđ \overparen{AB} [lớn] = sđ\overparen{AE} \]\[+ sđ \overparen{EC} [nhỏ] + sđ\overparen{CB} [nhỏ]\]
Theo kết quả trường hợp \[b]\] ta có:
\[sđ \overparen{AE} + sđ \overparen{EC} [nhỏ]= sđ \overparen{AC} [lớn]\]
Vậy với cung \[\overparen{AB}\] lớn ta có: \[sđ \overparen{AB} = sđ\overparen{AC} + sđ \overparen{CB}\]
Trong trường hợp \[OC\] nằm trên góc đối với góc ở tâm \[\widehat {BOE}\]chứng minh tương tự.
Trong trường hợp \[OC\] nằm trên góc đối đỉnh với góc ở tâm \[\widehat {AOB}\]chứng minh ở trường hợp \[a].\]