Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A [AB < AC]. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Trên BC lấy điểm E sao cho BE = BA.
a] Chứng minh rằng: \[\Delta ABD = \Delta EBD\] .
b] Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Chứng mình rằng tứ giác ADEH là hình thang vuông.
c] Gọi I là giao điểm của AH với BD, đường thẳng EI cắt AB tại F. Chứng minh rằng tứ giác ACEF là hình thang vuông.
Lời giải chi tiết
a] Xét \[\Delta ABD\] và \[\Delta EBD\] ta có:
\[AB = BE\,\,\left[ {gt} \right]\]
BD là cạnh chung
\[\widehat {ABD} = \widehat {DBE}\] [BD là tia phân giác của góc B]
Do đó \[\Delta ABD = \Delta EBD\,\,\left[ {c.g.c} \right]\]
b] Ta có: \[\widehat {DEB} = \widehat {BAD}\,\,\left[ {\Delta EBD = \Delta ABD} \right]\]
Mà \[\widehat {BAD} = {90^0}\] [\[\Delta ABD\] vuông tại A]
Nên \[\widehat {DEB} = {90^0} \Rightarrow DE \bot BC\]
Mặt khác \[AH \bot BC\,\,\left[ {gt} \right]\] do đó DE // AH
\[ \Rightarrow \] Tứ giác ADEH là hình thang
Lại có \[ = {90^0}\,\,\left[ {AH \bot BC} \right]\]
Vậy tứ giác ADEH là hình thang vuông.
c] Ta có \[BE = BA\,\,\left[ {gt} \right] \Rightarrow \Delta BAE\] cân tại B.
Mà BD là tia phân giác của góc B. Do đó BD là đường cao của tam giác BAE.
\[\Delta BAE\] có AH, BD là hai đường cao cắt nhau tại I \[ \Rightarrow I\] là trực tâm của tam giác BAE.
\[ \Rightarrow EF\] là đường cao của tam giác BAE
\[ \Rightarrow EF \bot AB\]
Mà \[AC \bot AB \Rightarrow EF//AC\]
Vậy tứ giác ACEF là hình thang.
Mà \[\widehat {CAF} = {90^0}\]. Do đó tứ giác ACEF là hình thang vuông.