Đề bài
Giải bất phương trình:
\[{\log _{{1 \over 2}}}[2x + 3] > {\log _{{1 \over 2}}}[3x + 1]\,\,\,[1]\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm ĐKXĐ.
- Với \[0 < a < 1\] thì:
\[{\log _a}f\left[ x \right] > {\log _a}g\left[ x \right] \Leftrightarrow f\left[ x \right] < g\left[ x \right]\]
Lời giải chi tiết
Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3 > 0\\3x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - \dfrac{3}{2}\\x > - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\]\[\Leftrightarrow x > - \dfrac{1}{3}\]
Vì \[0 < \dfrac 1 2 < 1\] nên:
\[{\log _{\frac{1}{2}}}\left[ {2x + 3} \right] > {\log _{\frac{1}{2}}}\left[ {3x + 1} \right]\] \[ \Leftrightarrow 2x + 3 < 3x + 1\] \[ \Leftrightarrow 2x - 3x < 1 - 3\] \[ \Leftrightarrow - x < - 2 \Leftrightarrow x > 2\].
Kết hợp điều kiện ta được \[x > 2\].
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[S = \left[ {2; + \infty } \right]\].
Chú ý:
Các em có thể trình bày cách khác như sau:
\[\begin{array}{l}
{\log _{\frac{1}{2}}}\left[ {2x + 3} \right] > {\log _{\frac{1}{2}}}\left[ {3x + 1} \right]\\
\Leftrightarrow 0 < 2x + 3 < 3x + 1\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 3 > 0\\
2x + 3 < 3x + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > - \dfrac{3}{2}\\
- x < - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > - \dfrac{3}{2}\\
x > 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x > 2
\end{array}\]