Đề bài
Cho hình bình hành ABCD \[\left[ {AB > BC} \right]\], phân giác của góc D cắt AB tại M, phân giác của góc B cắt CD tại N.
a] Chứng minh rằng AM = CN.
b] Chứng minh: Tứ giác DMBN là hình bình hành.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng: Tính chất hình bình hành và dấu hiệu tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
Lời giải chi tiết
a] Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD
Ta có \[\widehat {{M_1}} = \widehat {{D_2}}\] [so le trong] mà \[\widehat {{D_2}} = \widehat {{D_1}}\] [do DM là phân giác góc ADC]
\[ \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {{D_1}}\] hay \[\Delta ADM\] cân \[ \Rightarrow AM = AD.\]
Ta có \[\widehat {{ABN}} = \widehat {{BNC}}\] [so le trong] mà \[\widehat {{ABN}} = \widehat {{CBN}}\] [do BN là phân giác góc ABC]
\[ \Rightarrow \widehat {{CBN}} = \widehat {{CNB}}\] hay \[\Delta BCN\] cân tại C
\[ \Rightarrow CN = CB\] mà AD = CB [gt]. Do đó AM = CN.
b] AB = CD [do ABCD là hình bình hành]; AM = CN [cmt] \[ \Rightarrow AB - AM = CD - CN\] hay BM = DN.
Lại có \[BM//DN.\] Do đó tứ giác DMBN là hình bình hành.