Điều kiện để đường thẳng và mặt phẳng song song

Sau khi đã cùng nhau đi tìm hiểu những phép dời hình trong toán học lớp 11 thì chúng ta sẽ được tìm hiểu những mối quan hệ , tính chất của đường thẳng và mặt phẳng . Bài học “ Đường thẳng và mặt phẳng song song  ” sẽ giúp bạn giải đáp toàn bộ thắc mắc về nội dung kiến thức của bài học . Cùng bước vào bài học ngay nhé các bạn.

Mục tiêu bài học : Đường thẳng và mặt phẳng song song 

Sau bài học , các bạn cần nắm bắt được những kiến thức sau :

• Mối liên hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Các dạng bài tập đặc trưng và phương pháp giải
• Hoàn thiện các bài tập luyện tập

Kiến thức cơ bản của bài học : Đường thẳng và mặt phẳng song song 

Dưới đây là toàn bộ kiến thức cần nhớ của bài học : Đường thẳng và mặt phẳng

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:

a. Đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung, tức là:

a ⋂ (P) = ∅ ⇔ a // (P).

b. Đường thẳng a và mặt phẳng (P) chỉ có một điểm chung, tức là:

a ⋂ (P) = A ⇔ a cắt (P) tại A.

c. Đường thẳng a và mặt phẳng (P) có hai điểm chung, tức là:

Ta có :a ⋂ (P) = {A, B} ⇔ a ∈ (P).

Ta có tính chất như sau :a ⋂ (P) = ∅ ⇔ a // (P).

Ta có tính chất như sau : a ⋂ (P) = A ⇔ a cắt (P)

Ta có tính chất như sau : a ⋂ (P) = {A, B} ⇔ a ∈ (P).

2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng

Định lí 1: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nào đó trong (P) thì a song song với (P).

Tức là, a ∉ (P) thì nếu: a // d ∈ (P) ⇒ a // (P).

3. Tính chất

Định lí 2 được phát biểu như sau : Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với a.

Tức là, nếu 

Hệ quả 1 được phát biểu như sau : Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.

Hệ quả 2 được phát biểu như sau : Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với đường thẳng đó.

Tức là: 

Hệ quả 3 được phát biểu như sau : Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng song song với b.

Hướng dẫn giải bài tập SGK Toán lớp 11 bài học : Đường thẳng và mặt phẳng song song 

Sau đây để luyện tập thêm về kiến thức đã học ở trên , chúng ta sẽ cùng nhau đi làm một số bài tập cơ bản SGK nhé !

Bài 1 : Ta có đề bài như sau :Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF. Chứng minh rằng đường thẳng OO’ song song và các mặt phẳng (ADF) và (BCF)

b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABE. Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF).

Lời giải:

a) Do các tứ giác ABCD và ABEF là các hình bình hành

=> O là trung điểm của AC và BD

và O’ là trung điểm của AE và BF. (tính chất hình bình hành).

+ ΔBFD có OO’ là đường trung bình nên OO’ // DF

mà DF ⊂ (ADF)

⇒ OO’ // (ADF)

+ ΔAEC có OO’ là đường trung bình nên OO’ // EC

mà EC ⊂ (BCE)

⇒ Ta có kết luận về bài toán :  OO’ // (BCE).

b)

Ta thấy mp(CEF) chính là mp(CEFD).

Gọi I là trung điểm của AB:

+ M là trọng tâm ΔABD

⇒ IM/ ID = 1/3.

+ N là trọng tâm ΔABE

⇒ IN/IE = 1/3.

+ ΔIDE có IM/ID = IN/IE = 1/3

⇒ MN // DE mà ED ⊂ (CEFD)

nên  ta có thể kết luận MN // (CEFD) hay MN // (CEF).

Bài 2 :

Bài tập của chúng ta như sau : Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Cho (α) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng AC và BD.

a) Tìm giao tuyến của (α) với các mặt của tứ diện.

b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (α) là hình gì?

Lời giải:

a) + (α) // AC

⇒ Giao tuyến của (α) và (ABC) là đường thẳng song song với AC.

Mà M ∈ (ABC) ∩ (α).

⇒ (ABC) ∩ (α) = MN là đường thẳng qua M, song song với AC (N ∈ BC).

+ Tương tự (α) ∩ (ABD) = MQ là đường thẳng qua M song song với BD (Q ∈ AD).

+ (α) ∩ (BCD) = NP là đường thẳng qua N song song với BD (P ∈ CD).

+ (α) ∩ (ACD) = QP.

b)Ta có:

Suy ra, tứ giác MNPQ có các cạnh đối song song với nhau nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Bài 3 :

Đề bài của chúng ta như sau : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua O, song song với AB và SC. Thiết diện đó là hình gì?

Lời giải:

+ Ta có: (α) // AB

⇒ giao tuyến (α) và (ABCD) là đường thẳng qua O và song song với AB.

Qua O kẻ MN // AB (M ∈ BC, N ∈ AD)

⇒ (α) ∩ (ABCD) = MN.

+ (α) // SC

⇒ giao tuyến của (α) và (SBC) là đường thẳng qua M và song song với SC.

Kẻ MQ // SC (Q ∈ SB).

+ (α) // AB

⇒ giao tuyến của (α) và (SAB) là đường thẳng qua Q và song song với AB.

Từ Q kẻ QP // AB (P ∈ SA).

⇒ (α) ∩ (SAD) = PN.

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) là tứ giác MNPQ.

Ta có: PQ// AB và NM // AB

=> PQ // NM

Do đó, tứ giác MNPQ là hình thang.

Lời kết :

Bài học sẽ ngày càng dài , kiến thức ngày càng khó ,chính vì vậy mà các bạn cần phải cố gắng ,nỗ lực hết mình để hiểu và áp dụng vào làm các bài tập liên quan . Một yếu tố qua trọng bên cạnh những bài giảng hay đó chính là ý thức của các bạn , tinh thần tự học cao sẽ giúp các bạn học tập tốt .Itoan mong rằng sẽ có thể đồng hành với các bạn , giúp cho các bạn học tập tốt hơn . Các bạn có thể tham khảo thêm các bài giảng khác tại : https://www.toppy.vn/

Chúc các bạn học tập tốt !

Xem thêm :

ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

Quan tâm 0 Đưa vào sổ tay

1, Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng Cho một đường thẳng a và một mặt phẳng $\left( P \right)$. Ta thấy có ba trường hợp sau đây sảy ra: a, Đường thẳng a và $mp\left( P \right)$ có hai điểm chung phân biệt. Khi đó, theo định lý ở bài 1, đường thẳng a nằm trên $mp\left( P \right)$, tức là $a \subset mp\left( P \right)$ b, Đường thẳng a và $mp\left( P \right)$ có một điểm chung duy nhất A. Khi đó ta nói a và $\left( P \right)$cắt nhau tại A và viết $a \cap \left( P \right) = \left\{ A \right\}$hoặc $a \cap \left( P \right) = A$ c, Đường thẳng a và $mp\left( P \right)$ không có điểm chung nào cả. Khi đó ta nói rằng đường thẳng a song song với $mp\left( P \right)$, hoặc $mp\left( P \right)$ song song với đường thẳng a, hoặc a và $\left( P \right)$song song với nhau, và viết $a\parallel \left( P \right)$hoặc $\left( P \right)\parallel a$ ĐỊNH NGHĨA Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung 2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng ĐỊNH LÝ 1 Nếu đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$ và song song với một đường thẳng nào đó nằm trên $\left( P \right)$ thì a song song với $\left( P \right)$ 3. Tính chất ĐỊNH LÝ 2 Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng$\left( P \right)$ thì mọi mặt phẳng$\left( Q \right)$ chứa a mà cắt $\left( P \right)$ thì cắt theo giao tuyến song song với a HỆ QUẢ 1 Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng. HỆ QUẢ 2 Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó ĐỊNH LÝ 3 Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b Ví dụ Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB (M khác A và B). Giả sử $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua M song song với các đường thẳng AC và BD. Hãy xác định thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng$\left( P \right)$. Thiết diện là hình gì? Giải Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại N và kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại F. Khi ấy, $\left( P \right)$ chính là $mp\left( {MNF} \right)$. Gọi E là giao điểm của$\left( P \right)$ với CD thì thiết diện là tứ giác MNEF. Vì đường thẳng MN song song với $mp\left( {ACD} \right)$ nên $mp\left( P \right)$ qua MN cắt $mp\left( {ACD} \right)$theo giao tuyến EF song song với MN. Tương tự, NE song song với MF. Vậy thiết diện cần tìm là hình bình hành MNEF. Vị trí tương đối giữa...

hủy Trợ giúp Nhập tối thiểu 8 ký tự, tối đa 255 ký tự.

Thẻ

Vị trí tương đối giữa... ×32

Lượt xem

100836

• HÌNH HỌC 10
  • Vectơ
  • Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
  • Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
• ĐẠI SỐ 10
  • Mệnh đề, tập hợp
  • Hàm số bậc nhất và bậc hai
  • Phương trình và hệ phương trình
  • Bất đẳng thức và bất phương trình
  • Thống kê
  • Góc lượng giác và công thức lượng giác
• ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11
  • Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
  • Tổ hợp và xác xuất
  • Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
  • Giới hạn
  • Đạo hàm
• HÌNH HỌC 11
  • Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
  • Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.
  • Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc.
• GIẢI TÍCH 12
  • Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
  • Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
  • Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
  • Số phức
• HÌNH HỌC 12
  • Khối đa diện và thể tích của chúng
  • Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón
  • Phương pháp toạ độ trong không gian
• CÔNG THỨC
  • Công thức lượng giác
  • Hệ thức lượng trong tam giác
  • Công thức đạo hàm
  • Tổ hợp - xác suất

Liên quan

Bài 100310

Bài 100297

Bài 100295

Bài 100287

Bài 100282