Điều kiện de phương trình bậc 4 có 2 nghiệm
|
Xin giới thiệu tới quý thầy cô và các bạn học sinh tài liệu tham khảo Bài tập giải phương trình bậc 4. Bộ tài liệu gồm câu hỏi bài tập các dạng bài thường gặp trong các kì thi, kiểm tra trong chương trình Giải tích 10, 12. Tài liệu được biên soạn và đăng tải, hi vọng sẽ giúp các bạn ôn tập kiến thức môn Toán hiệu quả, sẵn sàng cho những kì thi sắp tới. Mời thầy cô và học sinh cùng tham khảo! Show Điều kiện de phương trình bậc 4 có 2 nghiệmPhương trình trùng phươngPhương trình trùng phương có dạng:  Cách giải phương trình trùng phươngPhương pháp Ta thực hiện các bước: Bước 1: Đặt Bước 2: Khi đó, phương trình được biến đổi về dạng: Bước 3: a) Phương trình (1) có nghiệm duy nhất <=> phương trình (2) có nghiệm b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt <=> phương trình (2) có nghiệm c) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt <=> phương trình (2) có nghiệm d) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt <=> phương trình (2) có nghiệm Phương trình hồi quy
Phương trình bậc 4 có dạng:
Cách giải phương trình hồi quyPhương pháp Bước 1: Nhận xét rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho Bước 2: Đặt Khi đó, phương trình (2) có dạng: C. Phương trình phản hồi quy
Phương trình bậc 4 có dạng:
Cách giải phương trình phản hồi quyPhương pháp Bước 1: Nhận xét rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương trình cho , ta được: Bước 2: Đặt Khi đó, phương trình (2) có dạng: ------------------------------------------------------------ Hy vọng tài liệu Bài tập phương trình bậc 4 sẽ giúp các bạn tiếp xúc với nhiều dạng bài về phương trình lượng giác Toán 10, Toán 12. Chúc các bạn ôn tập thật tốt! Phương pháp thực hiện Để giải và biện luận phương trình:ax$^4$ + bx$^2$ + c = 0 (1) ta thực hiện các bước:
* Chú ý:
Thí dụ: Cho phương trình: x$^4$-(m + 2)x$^2$ + m = 0. (1) Tìm m để phương trình: a. Có nghiệm duy nhất. b. Có hai nghiệm phân biệt. c. Có ba nghiệm phân biệt. d. Có bốn nghiệm phân biệt.Đặt t = x$^2$ với điều kiện t ≥ 0. Khi đó, phương trình được biến đổi về dạng: f(t) = t$^2$-(m + 2)t + m = 0. (2) a. Phương trình (1) có nghiệm duy nhất <=> (2) có nghiệm t1 ≤ 0 = t2 <=> $\left\{ \begin{array}{l}S \le 0\\P = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}m + 2 \le 0\\m = 0\end{array} \right.$, vô nghiệm. Vậy, không tồn tại m thoả mãn điều kiện đầu bài.b. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt <=> (2) có nghiệm t1 < 0 < t2 <=> a.c < 0 <=> m < 0. Vậy, với m < 0 thoả mãn điều kiện đầu bài.c. Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt <=> (2) có nghiệm 0 = t1 < t2 $ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P = 0\\S > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4 > 0\\m = 0\\m + 2 > 0\end{array} \right.$ <=> m = 0. Vậy, với m = 0 thoả mãn điều kiện đầu bài.d. Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt <=> (2) có nghiệm 0 < t1 < t2 $ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4 > 0\\m > 0\\m + 2 > 0\end{array} \right.$ <=> m > 0.Vậy, với m > 0 thoả mãn điều kiện đầu bài. Phương pháp thực hiện Giả sử cần đi "Giải và biện luận phương trình (a$_1$x + b$_1$)(a$^2$x + b$^2$) = 0", ta thực hiện theo các bước:
a. Để phương trình có đúng 1 nghiệm điều kiện là: $\left[ \begin{array}{l} (2)\,vo\,nghiem\\ {\rm{(2)}}\,{\rm{co}}\,{\rm{nghiem}}\,{\rm{kep}}\,{\rm{bang}}\,{\rm{1}} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}{\Delta _g} < 0\\\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g} = 0\\g(1) = 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 < 0\\\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 = 0\\3 - 3m = 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left| m \right| < \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$ Vậy, với $\left| m \right| < \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.b. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt điều kiện là: $\left[ \begin{array}{l} (2)\,\,co\,2\,\,nghiem\,phan\,biet\,va\,1\,nghiem\,bang\,1\\ {\rm{(2)}}\,co\,1\,\,nghiem\,kep\,khac\,1 \end{array} \right.$<=> $\left[ \begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\,\,v\mu \,\,g(1) = 0\\{\Delta _g} = 0\,\,v\mu \,\,g(1) \ne 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 > 0\\3 - 3m = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 = 0\\3 - 3m \ne 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 > 0\\3 - 3m = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 = 0\\3 - 3m \ne 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,m = 1\,\,ho{\rm{{\AE}c}}\,\,m = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$ Vậy, với $m = 1\,\,ho{\rm{{\AE}c}}\,\,m = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.c. Để phương trình có ba nghiệm phân biệt điều kiện là: (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 <=> $\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\g(1) \ne 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 > 0\\3 - 3m \ne 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\left| m \right| > \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\m \ne 1\end{array} \right..$ Vậy, với $m \in \left( { - \infty ;\,\, - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\,\, + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.d. Để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt điều kiện là: (2) có 2 nghiệm âm phân biệt <=> $\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\{S_g} < 0\\{P_g} > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 > 0\\2m - 1 < 0\\1 - m > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\left| m \right| > \sqrt 3 /2\\m < 1/2\\m < 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,m < - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$ Vậy, với $m < - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ thoả mãn điều kiện đầu bài.e. Để phương trình có ba nghiệm dương phân biệt điều kiện là: (2) có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1 <=> $\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\{S_g} > 0\\{P_g} > 0\\g(1) \ne 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 3 > 0\\2m - 1 > 0\\1 - m > 0\\3 - 3m \ne 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\left| m \right| > \sqrt 3 /2\\m > 1/2\\m < 1\\m \ne 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2} < m < 1.$ Vậy, với $\frac{{\sqrt 3 }}{2} < m < 1$ thoả mãn điều kiện đầu bài.* Nhận xét: Lời giải của thí dụ trên đã miêu tả phương pháp cơ bản để "Giải và biện luận một phương trình bậc ba". |
