Hình học lớp 8 Bài 11 Hình thoi ngắn gọn và chi tiết được biên soạn từ đội ngũ giáo viên dạy giỏi môn toán trên toàn quốc đảm bảo chính xác, dễ hiểu giúp các em nắm được kiến thức trong bài hình thoi lớp 8 và hướng dẫn giải bài tập sgk để các em hiểu rõ hơn.
Hình học lớp 8 Bài 11 Hình thoi ngắn gọn và chi tiết thuộc: CHƯƠNG I. TỨ GIÁC
I. Lý thuyết về hình thoi
1. Định nghĩa về hình thoi
Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
Hình thoi cũng là một hình bình hành.
Tổng quát: ABCD là hình thoi Leftrightarrow AB = BC = CD = DA
2. Tính chất hình thoi
Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.
Định lí: Trong hình thoi:
+ Hai đường chéo vuông góc với nhau.
+ Hai đường chéo là các đường phân giác các góc của hình thoi.
3. Dấu hiệu nhận biết hình thoi
+ Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
+ Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi
+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
+ Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.
Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, AD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.
Hướng dẫn:
M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, AD
⇒ AM = MB; BN = NC; CP = DP; AQ = DQ
+ Xét Δ ABD có
⇒ MQ là đường trung bình của Δ ABD.
⇒ QM = 1/2BD = 1/2AC [ 1 ]
+ Xét Δ ABC có
⇒ MN là đường trung bình của Δ ABC.
⇒ MN = 1/2BD = 1/2AC [ 2 ]
+ Xét Δ BCD có
⇒ NP là đường trung bình của Δ BCD.
⇒ NP = 1/2BD = 1/2AC [ 3 ]
+ Xét Δ ADC có
⇒ QP là đường trung bình của Δ ADC.
⇒ QP = 1/2BD = 1/2AC [ 4 ]
Từ [ 1 ],[ 2 ],[ 3 ],[ 4 ] ⇒ MN = NP = PQ = QM.
⇒ MNPQ là hình thoi.
4. Công thức tính diện tích hình thoi
Khái niệm tính diện tích hình thoi: Diện tích của hình thoi được tính bằng nửa tích [1/2] độ dài của hai đường chéo.
* Công thức tính dựa đường chéo
Trong đó:
+ d1 : đường chéo thứ nhất
+ d2 : đường chéo thứ hai
- Ví dụ: Có một tấm bìa hình thoi đo được hai đường chéo cắt nhau có chiều dài lần lượt là 6 cm và 8 cm. Hỏi diện tích của tấm bìa hình thoi đó bằng bao nhiêu?
Áp dụng theo công thức tính diện tích hình thoi, ta có d1 = 6 cm và d2 = 8 cm. Ta đưa vào công thức và có kết quả như sau:
S = 1/2 x [d1 x d2] = 1/2 [6 x 8] = 1/2 x 48 = 24 cm2
* Công thức tính diện tích hình thoi dựa vào cạnh đáy và chiều cao
Trong đó:
- h: Chiều cao của hình thoi
- a: Cạnh đáy
Ví dụ: Cho hình thoi ABCD, có cạnh AB = BC = CD = DA = 4 cm, chiều cao hình thoi bằng 3cm. Tính diện tích hình thoi.
Giải: Áp dụng theo công thức diện tích hình thoi, ta có h = 3cm, a = 4cm. Ta thay vào công thức và có kết quả như sau:
S = a.h = 3 x 4 = 12 cm2
* Công thức tính diện tích hình thoi dựa vào hệ thức trong tam giác [Nếu biết góc của hình thoi]
Trong đó:
- a: cạnh hình thoi
Ví dụ: Cho hình thoi ABCD, có cạnh hình thoi = 4cm, góc A = 35 độ. Tính diện tích hình thoi ABCD.
Giải: Áp dụng công thức, ta có a = 4, góc = 35 độ. Ta thay vào công thức như sau:
S = [a2] . sinA = 16 x sin[35] = 9,176 [cm2]
5. Công Thức Tính Đường Chéo Hình Thoi
Dựa vào các công thức tính chu vi hình thoi, diện tích hình thoi ở trên, chúng ta cũng có thể dễ dàng tìm được công thức tính đường chéo hình thoi như sau:
* Tính đường chéo hình thoi khi biết diện tích, độ dài 1 đường chéo:
Nếu đã biết diện tích hình thoi, độ dài đường chéo [d1], chúng ta sẽ dễ dàng tìm được 1 cạnh còn lại của hình thoi theo công thức sau: d2 = 2S/ d1
* Tính đường chéo hình thoi độ dài cạnh a, góc A bằng 60 độ
II. Hình thoi lớp 8 - Hướng dẫn giải bài tập ví dụ
Bài 1: Cho hình thoi ABCD có góc A tù. Biết đường cao kẻ từ đỉnh A đến cạnh CD chia đội cạnh đó. Tính các góc của hình thoi.
Hướng dẫn:
Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A xuống cạnh CD, theo giả thiết ta có:
Áp dụng định nghĩa của hình thoi ABCD, ta có
AD = AB = BC = CD [ 2 ]
Từ [ 1 ] và [ 2 ] ta có AD = AC = CD ⇒ Δ ACD là tam giác đều
⇒ ADCˆ = 600.
Vì góc A và góc D là hai góc trong cùng phía của AB//CD nên chúng bù nha.
Hay Aˆ + Dˆ = 1800 ⇒ Aˆ = 1800 - Dˆ = 1800 - 600 = 1200.
Áp dụng tính chất về góc của hình thoi ta có:
Bài 2: Chứng minh rằng các đường cao của hình thoi bằng nhau.
Hướng dẫn:
Xét hình thoi ABCD, kẻ hai đường cao
AH ⊥ BC, AK ⊥ CD.
Ta cần chứng minh: AH = AK.
Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết của hình thoi ABCD, ta có:
⇒ AH = AK [cặp cạnh tương ứng bằng nhau]
→ [đpcm]
III. Hướng dẫn trả lời câu hỏi bài tập sgk hình thoi lớp 8
Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 11 trang 104:
Chứng minh rằng tứ giác ABCD trên hình 100 cũng là một hình bình hành.
Lời giải
ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau ⇒ ABCD là hình bình hành
Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 11 trang 104:
Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O [h.101].
a] Theo tính chất của hình bình hành, hai đường chéo của hình thoi có tính chất gì ?
b] Hãy phát hiện thêm các tính chất khác của hai đường chéo AC và BD.
Lời giải
a] Theo tính chất của hình bình hành, hai đường chéo của hình thoi có tính chất cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
b] Xét ΔAOB và ΔCOB
AB = CB
BO chung
OA = OC [ O là trung điểm AC ]
⇒ ΔAOB = ΔCOB [c.c.c]
⇒ [AOB] = [COB] ,[ABO] = [CBO] [các cặp góc tương ứng]
[ABO] = [CBO] ⇒ BO là phân giác góc ABC
[AOB] + [COB] = 180o ⇒[AOB] = [COB] = 180o : 2 = 90o
Chứng minh tương tự, ta kết luận được:
AC, BD là các đường phân giác của các góc của hình thang
và AC ⊥ BD tại O
Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 11 trang 105:
Hãy chứng minh dấu hiệu nhận biết 3.
Lời giải
Dấu hiệu nhận biết 3: Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi
ABCD là hình bình hành ⇒ O là trung điểm AC và O là trung điểm BD
Xét hai tam giác vuông AOB và AOD có:
OA chung
OB = OD [O là trung điểm BD]
⇒ ΔAOB = ΔAOD [hai cạnh góc vuông]
⇒ AB = AD [hai cạnh tương ứng]
Hình bình hành ABCD ⇒ AB = CD và AD = BC
Do đó AB = BC = CD = DA ⇒ ABCD là hình thoi
III. Hướng dẫn giải bài tập hình thoi toán lớp 8 bài 11
Bài 73 trang 105 SGK Toán 8 Tập 1:
Tìm các hình thoi trên hình 102.
Lời giải:
Các tứ giác ở hình 102a, b, c, e là hình thoi.
– Hình 102a: ABCD là hình thoi vì có AB = BC = CD = DA
– Hình 102b: EFGH là hình thoi vì:
EF = GH và EH = FG ⇒ EFGH là hình bình hành
Lại có EG là tia phân giác của Ê
⇒ EFGH là hình bình hành. [Dấu hiêu 4].
- Hình 102c: KINM là hình thoi vì:
IKMN có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
⇒ IKMN là hình bình hành
Lại có IM ⊥ KN
⇒ IKMN là hình thoi. [Dấu hiệu 3].
– Hình 102e: ADBC là hình thoi vì:
AC = AD = AB [C, B, D cùng thuộc đường tròn tâm A].
BC = BA = BD [A, C, D cùng thuộc đường tròn tâm B]
⇒ AC = CB = BD = DA
⇒ ACBD là hình thoi.
- Tứ giác trên hình 102d không là hình thoi vì 4 cạnh không bằng nhau.
Kiến thức áp dụng
Các dấu hiệu nhận biết hình thoi:
+ Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau
+ Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau
+ Hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc.
Bài 74 trang 106 SGK Toán 8 Tập 1:
Hai đường chéo của một hình thoi bằng 8cm và 10cm. Cạnh của hình thoi bằng giá trị nào trong các giá trị sau:
A. 6cm ; B. √41 cm ; c] √164cm ; d] 9cm
Lời giải:
- Gọi ABCD là hình thoi, O là giao điểm hai đường chéo.
⇒ O là trung điểm của AC và BD.
Vậy chọn đáp án là B.
Kiến thức áp dụng
Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau.
Bài 75 trang 106 SGK Toán 8 Tập 1:
Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.
Lời giải:
* Xét tam giác ABD có E và H lần lượt là trung điểm của AB và AD
=> EH là đường trung bình của tam giác
* Chứng minh tương tự, ta có:
* Lại có, ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD [3]
Từ [1], [2], [3] suy ra: EF = FG = GH= HE
=> tứ giác EFGH là hình thoi.
Kiến thức áp dụng
+ Hình chữ nhật có bốn góc vuông
+ Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
Bài 76 trang 105 SGK Toán 8 Tập 1:
Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.
Lời giải:
* Xét tam giác ABC có E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC
=> EF là đường trung bình của tam giác ABC
* Tương tự tam giác ADC có HG là đường trung bình nên:
Từ [1] và [2] suy ra: EF // HG và EF = HG
=> tứ giác EFGH là hình bình hành.
Lại có: EF // AC và BD ⊥ AC nên BD ⊥ EF
EH // BD và EF ⊥ BD nên EF ⊥ EH
Nên
Hình bình hành EFGH có Ê = 90º nên là hình chữ nhật
Kiến thức áp dụng
+ Đường trung bình trong tam giác thì song song với cạnh còn lại
+ Hình thoi có hai đường chéo vuông góc.
+ Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
Bài 77 trang 106 SGK Toán 8 Tập 1:
Chứng minh rằng:
a] Giao điểm hai đường chéo của hình thoi là tâm đối xứng của hình thoi.
b] Hai đường chéo của hình thoi là hai trục đối xứng của hình thoi.
Lời giải:
a] ABCD là hình thoi
⇒ ABCD là hình bình hành
⇒ giao điểm O của AC và BD là tâm đối xứng của ABCD.
b]
Xét hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của 2 đường chéo.
* Ta chứng minh: đường chéo BD là trục đối xứng của hình
Lấy điểm M bất kì thuộc hình thoi. Không mất tổng quát, M nằm trên CD.
Gọi M’ đối xứng với M qua đường thẳng BD. Ta chứng minh điểm M’ cũng thuộc hình thoi
+ Gọi I là giao điểm của MM’ và BD.
Xét tam giác DIM và DIM’ có:
DI chung
IM= IM’ [ do M và M’ đối xứng với nhau qua BD]
=> ∆ DIM = ∆ DIM’ [ c.g.c]
=> DM = DM’ và
Lại có: ABCD là hình thoi nên
Từ [1] và [2] suy ra, điểm M’ nằm trên cạnh AD hay điểm M’ thuộc hình thoi
=> BD là trục đối xứng của hình thoi.
*Chứng minh tương tự, ta có: AC là trục đối xứng của hình thoi.
Kiến thức áp dụng
+ Hình bình hành nhận giao điểm của hai đường chéo làm tâm đối xứng.
+ Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu ta lấy một điểm bất kì thuộc H, điểm đối xứng với điểm vừa lấy qua d cũng thuộc H.
Bài 78 trang 106 SGK Toán 8 Tập 1:
Đố. Hình 103 biểu diễn một phần của cửa xếp, gồm những thanh kim loại dài bằng nhau và được liên kết với nhau bởi các chốt tại hai đầu và tại trung điểm. Vì sao tại mỗi vị trí của cửa xếp, các tứ giác trên hình vẽ đều là hình thoi, các điểm chốt I, K, M, N, O nằm trên một đường thẳng?
Lời giải:
Các tứ giác IEKF, KGMH là hình thoi nên KI là phân giác của góc EKF, KM là phân giác của góc GKH.
Suy ra I, K, M thẳng hàng.
Chứng minh tương tự, các điểm I, K, M, N, O cùng nằm trên một đường thẳng.
Kiến thức áp dụng
+ Hình thoi có hai đường chéo là các đường phân giác của các góc.
Hình học lớp 8 Bài 11 Hình thoi ngắn gọn và chi tiết do đội ngũ giáo viên giỏi toán biên soạn, bám sát chương trình SGK mới toán học lớp 8. Được Soanbaitap.com biên tập và đăng trong chuyên mục giải toán 8 giúp các bạn học sinh học tốt môn toán đại 8. Nếu thấy hay hãy comment và chia sẻ để nhiều bạn khác cùng học tập.