Đã gửi 12-08-2011 - 09:28
Phổ biến
Đây là bài báo của tạp chí THTT mà tôi đã tìm được từ những năm 1976 nên có phần hơi khác so với hiện nay, mong các bạn có thể bổ sung và góp ý.Khi học phương trình vô tỉ ở lớp 8, trong vấn đề phương trình quy về bậc 2 các bạn đã làm quen với một loại phương trình mới,hiểu rõ hơn về biến đổi tương đương, được củng cố về phương trình bậc hai, ôn lại khái niệm căn số học và biến đổi căn thức, rèn luyện tính toán bằng số. Các bạn, ngay ở lớp 8, đã biết các phương pháp như: cô lập căn thức, nâng lên lũy thừa, nhân với nhân tử liên hợp, thông qua việc giải các bài tập trong sgk Đại số lớp 8, các bạn biết thêm được một số phương pháp nữa là phương pháp đánh giá hai vế. Sau đây xin trình bày để các bạn biết được một vài phương pháp để giải phương trình vô tỉ nữa.
1. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: Giải phương trình
$15x-2x^2-5=\sqrt{2x^2-15x+11}$
Phương trình trên tương đương với$[2x^2-15x+5]+\sqrt{2x^2-15x+11}=0$
Ta đặt $t=\sqrt{2x^2-15x+11}$ [ở đây vì $t$ là giá trị căn số học nên $t \ge 0$]. Ta có $t^2+t-6=0 \Rightarrow t_1=2; t_2=-3$ [loại].Với $t=2$, ta có:$\sqrt{2x^2-15x+11}=2$$2x^2-15x+7=0$
$x_1=7;x_2=1/2$.
Sau khi thử nghiệm ta thấy $x_1=7$ và $x_2=1/2$ đúng là nghiệm của phương trình đã cho.Nếu không dùng phương pháp đặt ẩnn phụ thì các bạn sẽ phải bình phương một đa thức và phải giải một phương trình bậc 4.Ví dụ 2: Giải phương trình
$\sqrt{x-1+2\sqrt{x-2}}+\sqrt{7+x+6\sqrt{x-2}}=2$
Ta có $\sqrt{[x-2]+2\sqrt{x-2}+1}+\sqrt{[x-2]+2.3\sqrt{x-2}+9}=2$.Đặt $t=\sqrt{x-2}[t \ge 0]$, ta sẽ viết được:$\sqrt{t^2+2t+1}+\sqrt{t^2+6t+9}=2$
$\sqrt{[t+1]^2}+\sqrt{[t+3]^2}=2$
$[t+1]+[t+3]=2 \Rightarrow t=-1$
Như vậy phương trình đã cho vô nghiệm.2. Phương pháp phản chứng
Các bạn đã biết phương pháp phản chứng ngay từ khi học lớp 6. Dùng phương pháp phản chứng để giải phương trình vô tỉ nhiều khi khá tốt. Chẳng hạn ta có thể giải phương trình đã cho trong ví dụ 2 ở trên bằng phương pháp phản chứng.Đầu tiên, ta thấy, nếu phương trình có nghiệm là $x_0$ thì $x_0 \ge 2$ để cho $x_0-2 \ge 0$ [số dưới căn bậc hai].Ta có:$\sqrt{x_0-1+2\sqrt{x_0-2}}+\sqrt{7+x_0+6\sqrt{x_0-2}} > \sqrt{7+x_0+6\sqrt{x_0-2}}>\sqrt{7}>2$
Điều này trở nên vô lí, vì nếu $x_0$ là nghiệm thì vế trái của phương trình phải bằng vế phải. Do đó, phương trình đã cho vô nghiệm.3. Phương pháp hệ
Phương pháp hệ dùng để giải phương trình vô tỉ có dạng$\sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{cx+d} =k \ \ \ \ \ \ \ [1]$
$\left [ \sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{cx+d} \right ]^2=k^2=\left [ \sqrt{\dfrac{c}{a}}.\sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{\dfrac{a}{c}}.\sqrt{cx+d} \right ]^2+\left [ a-c \right ]\left [ \dfrac{b}{a}-\dfrac{d}{c} \right ] \ \ \ \ \ \ \ [2]$
Như vậy, việc giải $[1]$ ta được đưa đến việc giải hệ:$\left\{\begin{matrix} \sqrt{ax+b} \ \pm \sqrt{cx+d}=k & & \\ \sqrt{\dfrac{c}{a}}.\sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{\dfrac{a}{c}}.\sqrt{cx+d}=l & & \end{matrix}\right.$
Ta sẽ tìm được $ax+b$ hoặc $cx+d$ và do đó sẽ xác định được $x$. Trong thức hành, khi đã quen thì việc thành lập $[2]$ khá nhanh gọn.Ví dụ 3: Giải phương trình $\sqrt{x+3} \ + \ \sqrt{2x-1}=4$.
Phân tích $\left [ \sqrt{2x-1} \ + \ \sqrt{x+3} \right ]^2=\left [\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2x-1} \ + \ \sqrt{2}.\sqrt{x+3} \right ]^2-3,5=16.$Từ đó ta viết được:$\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2x-1} \ + \sqrt{2}.\sqrt{x+3}=\sqrt{19,5}.$
Sau khi nhân cả hai vế với $\sqrt{2}$, ta có:$\sqrt{2x-1} \ +\sqrt{x+3} \ + \ \sqrt{x+3}=\sqrt{39}$
$4+ \ \sqrt{x+3}= \sqrt{39} \Rightarrow x=[52-8\sqrt{39}]$.
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2x-1}\ +\sqrt{2}.\sqrt{x+3}=-\sqrt{19,5}$
là phương trình vô nghiệm [tổng của hai số dương không thể nào là số âm].Ví dụ 4: Giải phương trình: $\sqrt{4x-2} \ + \ \sqrt{4x+2}=4$.
Đây là trường hợp $a=c$, nên ta có:$\dfrac{4}{\sqrt{4x+2} \ - \ \sqrt{4x-2}}=4 \Rightarrow \sqrt{4x+2} \ - \ \sqrt{4x-2}=1$
Cộng vế phương trình này với vế phương trình đã cho, ta có:$2\sqrt{4x+2}=5 \rightarrow x= \dfrac{17}{16}.$
[Còn nữa...]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 12-08-2011 - 09:30
- perfectstrong, vanhongha, Minhnguyenquang75 và 35 người khác yêu thích
“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.
Đã gửi 04-11-2011 - 21:12
Không biết là mình cũng có một số bộ sách viết về pt vô tỉ! Ko biết có viết được ko?Anh viết tiếp đi
- Canhochoitoan và thanh loan thích
Đã gửi 05-11-2011 - 15:40
Bạn cứ viết cho tụi mình tham khảoSau đây mình xin đóng góp một bài phương trình áp dụng cách Toàn đã nói trênGiải phương trình nghiệm nguyên:$$10^{x}+6y=2011$$Không biết là mình cũng có một số bộ sách viết về pt vô tỉ! Ko biết có viết được ko?
- diendantoanhoc2013 yêu thích
--------------------------------------------------------------
Đã gửi 05-11-2011 - 18:55
Khi giải các phương trình mà ẩn nằm ở trong dấu căn thức [pt vô tỉ], một số bạn do chưa nắm vững kiến thức về căn thức và các phép biến đổi tương đương nên thường mắc một số sai lầm. Bài viết này mong muốn giúp các bạn, đặc biệt là các học sinh lớp 9 chuẩn bị thi vào các trường THPT tránh được những sai lầm đó.
VD1: Giải pt: $[x+3]\sqrt{x-1}=0$
Lời giải SAI:$[[x+3]\sqrt{x-1}=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x+3=0\\ \sqrt{x-1}=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-3 \\ x=1 \\ \end{array} \right.$
Nhận xét: Rõ ràng x=-3 không phải nghiệm của pt trên:
Chú ý: $A\sqrt{B}=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} B\geq 0\\ \left[ \begin{array}{l} A=0 \\ \sqrt{B}=0 \\ \end{array} \right.\\ \end{matrix}\right.$
VD2: Giải pt: $\sqrt{x+4}=x+2$
Lời giải SAI:$\sqrt{x+4}=x+2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+4\geq 0\\ x+4=[x+2]^{2}\\ \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -4\\ x+4=x^{2}+4x+4\\ \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -4\\ x[x+3]=0\\ \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -4\\ \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=-3 \\ \end{array} \right.\\ \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=-3 \\ \end{array} \right.$
Nhận xét: Rõ ràng x=-3 không phải nghiệm của pt trên
Chú ý: $\sqrt{A}=B\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} B\geq 0\\ A=B^{2}\\ \end{matrix}\right.$
VD3: Giải pt: $\sqrt{\dfrac{2x+5}{x-2}}=1$
Lời giải SAI:$\sqrt{\dfrac{2x+5}{x-2}}=1\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2x+5}}{\sqrt{x-2}}=1$$\Leftrightarrow \sqrt{2x+5}=\sqrt{x-2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-2\geq 0\\ 2x+5=x-2\\ \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 2\\ x=-7\\ \end{matrix}\right.$Vậy pt vô nghiệm ?!
Nhận xét: PT đã cho thực nghiệm x=-7
Chú ý: $\sqrt{\dfrac{A}{B}}=\left\{\begin{matrix} \dfrac{\sqrt{-A}}{\sqrt{-B}} [1]\\ \\ \dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}[2]\\ \end{matrix}\right.$Với $[1]$ khi $A\leq 0 ; B < 0$Với $[2]$ khi $A\geq 0 ; B > 0$Lời giải trên đã bỏ sót 1 trường hợp $A\leq 0 ; B < 0$ nên đã tìm thiếu nghiệm
VD4: Giải pt: $2\sqrt{x-4}+\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+16}$
Lời giải SAI:$2\sqrt{x-4}+\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+16}$$\Leftrightarrow 2\sqrt{x-4}+\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-3}+\sqrt{4[x-4]}$$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=\sqrt{2x-3}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-1\geq 0\\ x-1=2x-3\\ \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 1\\ x=2\\ \end{matrix}\right.$Vậy pt có nghiệm x=2
Nhận xét: Ta thấy ngay x=2 không phải là nghiệm đúng của pt
Chú ý: $\sqrt{A}+\sqrt{B}=\sqrt{A}+\sqrt{C}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} A\geq 0\\ \sqrt{B}=\sqrt{C}\\ \end{matrix}\right.$
VD5: Giải pt: $\sqrt{x[x-1]}+\sqrt{x[x-2]}=2\sqrt{x[x-3]}$
Lời giải SAI:pt tương đương với:$\sqrt{x}.\sqrt{x-1}+\sqrt{x}.\sqrt{x-2}=2\sqrt{x}.\sqrt{x-3}$$\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}>2\sqrt{x-3}$Căn thức có nghĩa $x \geq 3$. Khi đó ta có:$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-1}>\sqrt{x-3}\\ \sqrt{x-2}>\sqrt{x-3}\\ \end{matrix}\right.$$\Rightarrow \sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}> 2\sqrt{x-3}$Vậy pt vô nghiệm ?!
Nhận xét: Có thể thấy ngay x=0 là nghiệm
Việc chia 2 vế cho $\sqrt{x}$ đã vô tình làm mất nghiệm này.Chú ý: $\sqrt{AB}=\left\{\begin{matrix} \sqrt{A}.\sqrt{B}[1]\\ \sqrt{-A}.\sqrt{-B}[2]\\ \end{matrix}\right.$
$[1]-khi- A\geq 0; B\geq 0$$[2]-khi-A\leq 0; B\leq 0$Vì vậy lời giải trên phải bổ xung trường hợp $\sqrt{x}=0$ và trường hợp x