Khi biến số lớn xử lý hàm bessel thế nào
|
Để cho được f(x 1 , x 2) là một hàm của hai biến. Bằng cách tương tự với phép biến đổi Fourier một chiều, chúng ta có thể giới thiệu phép biến đổi Fourier hai chiều: Hàm tại các giá trị cố định ω 1, ω 2 mô tả một sóng phẳng trong mặt phẳng x 1 , x 2 (Hình 19.1). Các đại lượng ω 1, ω 2 có ý nghĩa là tần số không gian và thứ nguyên mm−1, và hàm F (ω 1, ω 2) xác định phổ của tần số không gian. Thấu kính hình cầu có khả năng tính toán phổ của tín hiệu quang học (Hình 19.2). Trong Hình 19.2, các ký hiệu sau được giới thiệu: φ - độ dài tiêu cự,  Hình 19.1 - Định nghĩa tần số không gian Phép biến đổi Fourier hai chiều có tất cả các tính chất của phép biến đổi một chiều, ngoài ra, chúng ta lưu ý thêm hai tính chất nữa, việc chứng minh nó dễ dàng theo định nghĩa của phép biến đổi Fourier hai chiều. Hình 19.2 - Tính toán phổ của tín hiệu quang sử dụng Thừa số. Nếu tín hiệu hai chiều được phân tích nhân tử, thì phổ của nó cũng được phân tích thành nhân tử: Đối xứng xuyên tâm. Nếu tín hiệu 2D là đối xứng xuyên tâm, nghĩa là Hàm Bessel bậc 0 ở đâu. Công thức xác định mối quan hệ giữa tín hiệu hai chiều đối xứng xuyên tâm và phổ không gian của nó được gọi là phép biến đổi Hankel. BÀI GIẢNG 20. Biến đổi Fourier rời rạc. bộ lọc thông thấp Phép biến đổi Fourier rời rạc hai chiều trực tiếp (DFT) biến đổi một hình ảnh được cho trong một hệ tọa độ không gian ( x, y), thành một phép biến đổi hình ảnh rời rạc hai chiều được chỉ định trong hệ tọa độ tần số ( u, v): Biến đổi Fourier rời rạc nghịch đảo (IDFT) có dạng: Có thể thấy DFT là một phép biến đổi phức tạp. Mô đun của phép biến đổi này biểu thị biên độ của phổ ảnh và được tính bằng căn bậc hai của tổng bình phương của phần thực và phần ảo của DFT. Pha (góc dịch pha) được định nghĩa là tiếp tuyến cung của tỷ số giữa phần ảo của DFT và phần thực. Phổ năng lượng bằng bình phương biên độ của quang phổ, hoặc tổng bình phương của phần ảo và phần thực của quang phổ. Định lý chuyển đổi Theo định lý tích chập, tích chập của hai hàm trong miền không gian có thể nhận được bằng ODFT của tích DFT của chúng, tức là Lọc trong miền tần số cho phép bạn chọn đáp ứng tần số của bộ lọc từ DFT của hình ảnh, cung cấp sự chuyển đổi hình ảnh cần thiết. Xem xét đáp ứng tần số của các bộ lọc phổ biến nhất. Không thể tưởng tượng được công nghệ truyền thông hiện đại nếu không có phân tích quang phổ. Việc biểu diễn các tín hiệu trong miền tần số là cần thiết cho cả việc phân tích các đặc tính của chúng và cho việc phân tích các khối và các nút của máy thu phát của hệ thống thông tin vô tuyến. Biến đổi Fourier trực tiếp được sử dụng để chuyển đổi tín hiệu vào miền tần số. Công thức tổng quát cho phép biến đổi Fourier trực tiếp được viết như sau: Như có thể thấy từ công thức phân tích tần số này, sự phụ thuộc tương quan giữa tín hiệu được trình bày trong miền thời gian và số mũ phức với một tần số nhất định được tính toán. Trong trường hợp này, theo công thức Euler, số mũ phức được phân tích thành một phần thực và một phần ảo: (2) Một tín hiệu được biểu diễn trong miền tần số có thể được dịch lại thành một biểu diễn thời gian bằng cách sử dụng phép biến đổi Fourier ngược. Công thức tổng quát cho phép biến đổi Fourier ngược được viết như sau: Công thức biến đổi Fourier trực tiếp sử dụng tích phân thời gian từ âm đến vô cùng. Đương nhiên, đây là một sự trừu tượng toán học. Trong điều kiện thực, chúng ta có thể tích phân từ một thời điểm nhất định, mà chúng ta có thể ký hiệu là 0, đến thời điểm T. Công thức biến đổi Fourier trực tiếp sau đó sẽ được chuyển thành dạng sau: Kết quả là các thuộc tính của phép biến đổi Fourier thay đổi đáng kể. Phổ tín hiệu thay vì một chức năng liên tục trở thành một chuỗi giá trị rời rạc. Bây giờ tần số nhỏ nhất và đồng thời bước của các giá trị tần số của phổ tín hiệu trở thành: Chỉ các hàm sin và cos có tần số k / T trực giao lẫn nhau và đây là điều kiện không thể thiếu cho phép biến đổi Fourier. Tập hợp các hàm mở rộng đầu tiên trong chuỗi Fourier được thể hiện trong Hình 1. Trong trường hợp này, thời gian của các hàm trùng với thời gian phân tích T. Hình 1. Các hàm mở rộng Fourier Bây giờ phổ tín hiệu sẽ giống như trong hình 2. Hình 2. Phổ chức năng x(t) khi phân tích trong một khoảng thời gian giới hạn Trong trường hợp này, công thức tính phép biến đổi Fourier trực tiếp (4) được chuyển thành dạng sau: Công thức của phép biến đổi Fourier ngược đối với trường hợp xác định quang phổ trong một khoảng thời gian giới hạn sẽ có dạng như sau: Theo cách tương tự, bạn có thể xác định công thức biến đổi Fourier trực tiếp cho các mẫu tín hiệu số. Cho rằng thay vì một tín hiệu liên tục, các số đọc kỹ thuật số của nó được sử dụng, trong biểu thức (6), tích phân được thay thế bằng tổng. Trong trường hợp này, thời lượng của tín hiệu được phân tích được xác định bởi số lượng mẫu kỹ thuật số N. Biến đổi Fourier cho các mẫu tín hiệu số được gọi là biến đổi Fourier rời rạc và được viết như sau: (8) Bây giờ hãy xem xét các thuộc tính của phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT) đã thay đổi như thế nào so với phép biến đổi Fourier trực tiếp trong một khoảng thời gian giới hạn. Khi chúng tôi xem xét lấy mẫu tương tự, chúng tôi thấy rằng phổ của tín hiệu đầu vào phải được giới hạn tần số. Yêu cầu này giới hạn số lượng các thành phần rời rạc của phổ tín hiệu. Ban đầu, có vẻ như chúng ta có thể giới hạn phổ của tín hiệu ở tần số f d / 2, tương ứng với số thành phần tần số K = N/ 2. Tuy nhiên, không phải vậy. Mặc dù phổ tín hiệu cho các mẫu tín hiệu thực tế đối với tần số dương và tần số âm là đối xứng về 0, chẳng hạn như các tần số âm có thể được yêu cầu đối với một số thuật toán phổ. Sự khác biệt thậm chí còn lớn hơn thu được khi thực hiện phép biến đổi Fourier rời rạc trên các mẫu phức tạp của tín hiệu đầu vào. Do đó, để mô tả đầy đủ phổ của tín hiệu kỹ thuật số, cần phải Nđọc tần số ( k = 0, ..., N / 2). Phép biến đổi Fourier (§ 1.5) có thể được xem như một phép biến đổi tuyến tính với hạt nhân Hãy để chúng tôi tìm biểu diễn rời rạc của nó từ cơ sở đối với các tín hiệu có phổ giới hạn trên khoảng thời gian mà biểu diễn là hợp lệ Biến đổi Fourier của một tín hiệu như vậy bằng Bây giờ hãy xem xét tín hiệu tuần hoàn Quang phổ của nó là đâu là số đọc phổ của tín hiệu được lấy trên phân đoạn (xem Bảng 1.2, dòng 19). Nếu T đủ lớn và tín hiệu giảm xuống 0 đủ nhanh trong khoảng thời gian này, để các biến dạng của nó trong tổng (3.60) do sự chồng chất của các chu kỳ có thể bị bỏ qua, thì nơi mà việc tổng kết trên k được thực hiện trong giới hạn Các giá trị của T và luôn có thể được chọn sao cho giá trị là số nguyên. Denote it by N. Denote also Ở đây nó được chọn để tổng trong (3.62) có thể được thực hiện trên k từ 0 đến Sau đó chúng ta thu được Mối quan hệ này được gọi là biến đổi Fourier rời rạc Biến đổi Fourier rời rạc có thể đảo ngược: Cốt lõi của nó là một ma trận là một biểu diễn rời rạc của hạt nhân của phép biến đổi Fourier liên tục. Công thức (3,65) là một công thức tương tự của (3,3). Lưu ý rằng nó có thể được lấy trực tiếp từ (3.3) để làm cơ sở Hệ số trình tự xấp xỉ bằng số đọc phổ của tín hiệu được tiếp tục định kỳ với chu kỳ T, được thực hiện với một bước. Đó là mối quan hệ giữa DFT và biến đổi Fourier liên tục. Từ giả định về độ dài giới hạn của tín hiệu, định lý lấy mẫu có giá trị đối với phổ của nó và do đó, nó có thể được khôi phục từ các giá trị - hệ số DFT của các mẫu tín hiệu. Các thuộc tính được sử dụng phổ biến nhất của DFT một chiều được đưa ra trong Bảng. 3.1. Để tiện cho việc so sánh chúng với các thuộc tính của phép biến đổi Fourier liên tục ở cột bên phải của Bảng. 3.1 hiển thị số lượng các dòng tương ứng của bảng. 1.2. Sự khác biệt chính giữa DFT và (xem quét) (xem quét) (xem quét) Tiếp tục của bảng. 3.1 (xem quét) biến đổi Fourier liên tục - tính chu kỳ, hay tính tuần hoàn: số lượng mẫu của dãy và DFT của nó được tính theo modulo N, nghĩa là, như thể trong một vòng tròn; số điểm trong chu kỳ là N (Bảng 3.1, dòng 2). Tương tự với DFT một chiều, bằng cách áp dụng định lý lấy mẫu hai chiều cho các tín hiệu và phổ hai chiều, người ta có thể thu được DFT hai chiều. Thông thường, chỉ một DFT hai chiều như vậy được sử dụng, tuân theo định lý lấy mẫu hai chiều trong tọa độ hình chữ nhật: Nó thuận tiện ở chỗ nó phân tích thành hai DFT một chiều, tức là nó có thể phân tách được. DFT 2D nghịch đảo được viết là Một số thuộc tính của DFT hai chiều được đưa ra trong Bảng. 3.2. DFT hai chiều được đặc trưng bởi tính chu kỳ hai chiều (tính tuần hoàn). Chúng ta có thể giả định rằng các hệ số của DFT hai chiều là các mẫu của phổ liên tục hai chiều của tín hiệu được nhân định kỳ trên mặt phẳng trong một hệ tọa độ hình chữ nhật, như trong Hình. 3,4, a. Tôi tin rằng mọi người nói chung đều nhận thức được sự tồn tại của một công cụ toán học tuyệt vời như phép biến đổi Fourier. Tuy nhiên, trong các trường đại học, vì một lý do nào đó, nó được dạy quá tệ nên tương đối ít người hiểu được cách thức hoạt động của phép biến đổi này và cách sử dụng nó một cách chính xác. Trong khi đó, toán học của sự biến đổi này lại đẹp đẽ, đơn giản và tao nhã một cách đáng ngạc nhiên. Tôi mời mọi người tìm hiểu thêm một chút về phép biến đổi Fourier và chủ đề liên quan về cách các tín hiệu tương tự có thể được chuyển đổi thành tín hiệu số một cách hiệu quả để xử lý tính toán. Không sử dụng các công thức phức tạp và matlab, tôi sẽ cố gắng trả lời các câu hỏi sau:
Tôi sẽ tiếp tục từ giả định rằng người đọc hiểu tích phân là gì, một số phức (cũng như mô đun và đối số của nó), tích chập của các hàm, cộng với ít nhất “trên ngón tay” hình dung hàm Dirac delta là gì. Không biết - nó không quan trọng, hãy đọc các liên kết ở trên. Bằng “tích của các hàm” trong văn bản này, tôi luôn muốn nói đến “phép nhân từng điểm” Chúng ta có lẽ nên bắt đầu với thực tế là phép biến đổi Fourier thông thường là một dạng nào đó, như bạn có thể đoán từ tên, biến đổi một hàm thành một hàm khác, nghĩa là, gán cho mỗi hàm của một biến thực x (t) phổ của nó. hoặc hình ảnh Fourier y (w): Nếu chúng ta đưa ra các phép loại suy, thì ví dụ về một phép biến đổi tương tự về nghĩa có thể là sự khác biệt hóa, biến một hàm số thành đạo hàm của nó. Tức là, trên thực tế, phép biến đổi Fourier là một phép toán giống như phép lấy đạo hàm, và nó thường được biểu thị theo một cách tương tự, vẽ một “nắp” tam giác trên hàm. Không giống như sự phân biệt, cũng có thể được xác định cho các số thực, phép biến đổi Fourier luôn "hoạt động" với các số phức tổng quát hơn. Do đó, các vấn đề liên tục nảy sinh với việc hiển thị kết quả của phép biến đổi này, vì các số phức không được xác định bởi một mà bởi hai tọa độ trên một đồ thị hoạt động với số thực. Theo quy tắc, cách thuận tiện nhất là biểu diễn các số phức dưới dạng một mô-đun và một đối số và vẽ chúng riêng biệt dưới dạng hai đồ thị riêng biệt: Trong trường hợp này, đồ thị của đối số của một giá trị phức thường được gọi là "phổ pha", và đồ thị của môđun thường được gọi là "phổ biên độ". Phổ biên độ, như một quy luật, được quan tâm nhiều hơn, và do đó phần "pha" của phổ thường bị bỏ qua. Trong bài viết này, chúng ta cũng sẽ tập trung vào những thứ “biên độ”, nhưng chúng ta không nên quên về sự tồn tại của phần pha bị thiếu của đồ thị. Ngoài ra, thay vì môđun thông thường của một giá trị phức, người ta thường rút ra lôgarit của nó nhân với 10. Kết quả là một đồ thị lôgarit, các giá trị được hiển thị bằng decibel (dB). Xin lưu ý rằng các số âm của biểu đồ lôgarit (-20 dB trở xuống) không quá âm trong trường hợp này tương ứng với các số gần như bằng 0 trên biểu đồ “bình thường”. Do đó, "đuôi" dài và rộng của các phổ khác nhau trên các đồ thị như vậy, khi được hiển thị ở tọa độ "thông thường", như một quy luật, thực tế sẽ biến mất. Sự tiện lợi của một biểu diễn có vẻ kỳ lạ như vậy xuất phát từ thực tế là các phép biến đổi Fourier của các hàm khác nhau thường cần được nhân với nhau. Với phép nhân theo chiều như vậy của các ảnh Fourier có giá trị phức tạp, phổ pha của chúng được thêm vào, và phổ biên độ của chúng được nhân lên. Cách đầu tiên là dễ làm, trong khi cách thứ hai tương đối khó. Tuy nhiên, logarit của biên độ được thêm vào khi nhân các biên độ, do đó, đồ thị biên độ logarit có thể, giống như đồ thị pha, chỉ cần được cộng từng điểm một. Ngoài ra, trong các bài toán thực tế, việc vận hành không phải với "biên độ" của tín hiệu thường thuận tiện hơn mà với "công suất" của nó (bình phương của biên độ). Trên thang đo logarit, cả hai biểu đồ (cả biên độ và công suất) trông giống hệt nhau và chỉ khác nhau về hệ số - tất cả các giá trị trên biểu đồ công suất đều lớn gấp đôi so với trên thang biên độ. Theo đó, để vẽ biểu đồ phân bố tần số của lũy thừa (tính bằng decibel), bạn không thể bình phương bất kỳ thứ gì, mà tính logarit thập phân và nhân nó với 20. Bạn có thấy chán không? Chờ chút nữa, với cái phần nhàm chán của bài viết giải thích cách diễn giải biểu đồ, chúng ta sẽ sớm kết thúc :). Nhưng trước đó, một điều rất quan trọng cần hiểu là mặc dù tất cả các đồ thị ở trên được vẽ cho một số phạm vi giá trị giới hạn (cụ thể là số dương), tất cả các đồ thị này thực sự tiếp tục thành cộng và trừ vô cùng. Biểu đồ chỉ hiển thị một số phần "có ý nghĩa nhất" của biểu đồ, phần này thường được phản ánh cho các giá trị âm của tham số và thường lặp lại định kỳ với một số bước khi được xem trên quy mô lớn hơn. Sau khi quyết định về những gì được vẽ trên đồ thị, chúng ta hãy quay lại với chính phép biến đổi Fourier và các thuộc tính của nó. Có một số cách khác nhau để xác định sự chuyển đổi này, khác nhau về các chi tiết nhỏ (các cách chuẩn hóa khác nhau). Ví dụ, trong các trường đại học của chúng tôi, vì một số lý do, họ thường sử dụng phép chuẩn hóa phép biến đổi Fourier để xác định phổ theo tần số góc (radian trên giây). Tôi sẽ sử dụng một công thức phương Tây thuận tiện hơn để xác định phổ theo tần số thông thường (hertz). Các phép biến đổi Fourier trực tiếp và nghịch đảo trong trường hợp này được xác định bởi các công thức ở bên trái và một số thuộc tính của phép biến đổi này mà chúng ta cần là danh sách bảy mục ở bên phải: Thuộc tính đầu tiên của những thuộc tính này là tuyến tính. Nếu chúng ta lấy một tổ hợp tuyến tính nào đó của các hàm, thì biến đổi Fourier của tổ hợp này sẽ là tổ hợp tuyến tính giống như các ảnh Fourier của các hàm này. Thuộc tính này cho phép người ta giảm các hàm phức tạp và các phép biến đổi Fourier của chúng thành các hàm đơn giản hơn. Ví dụ, biến đổi Fourier của một hàm hình sin với tần số f và biên độ a là sự kết hợp của hai hàm delta đặt tại các điểm f và -f và với hệ số a / 2: Nếu chúng ta lấy một hàm bao gồm tổng của một tập hợp các sin có tần số khác nhau, thì theo tính chất tuyến tính, biến đổi Fourier của hàm này sẽ bao gồm tập các hàm delta tương ứng. Điều này cho phép chúng ta giải thích một cách ngây thơ, nhưng trực quan về phổ theo nguyên tắc "nếu trong phổ của một tần số hàm f tương ứng với biên độ a, thì hàm gốc có thể được biểu diễn dưới dạng tổng các hình sin, một trong số đó sẽ là một hình sin với tần số f và biên độ 2a ”. Nói một cách chính xác, cách giải thích này là không chính xác, vì hàm delta và điểm trên đồ thị là những thứ hoàn toàn khác nhau, nhưng như chúng ta sẽ thấy thêm, đối với các phép biến đổi Fourier rời rạc, nó sẽ không quá xa sự thật. Tính chất thứ hai của phép biến đổi Fourier là sự độc lập của phổ biên độ với sự dịch chuyển thời gian của tín hiệu. Nếu chúng ta di chuyển hàm sang trái hoặc phải dọc theo trục x, thì chỉ có phổ pha của nó là thay đổi. Tính chất thứ ba - kéo giãn (nén) của hàm gốc dọc theo trục thời gian (x) nén (giãn) theo tỷ lệ biến đổi Fourier của nó dọc theo thang tần số (w). Trong đó, phổ của tín hiệu có thời lượng hữu hạn luôn rộng vô hạn và ngược lại, phổ của tín hiệu có độ rộng hữu hạn luôn tương ứng với tín hiệu có thời lượng không giới hạn. Thuộc tính thứ tư và thứ năm có lẽ là hữu ích nhất. Chúng làm cho nó có thể giảm tích chập của các hàm thành phép nhân theo chiều kim của các phép biến đổi Fourier của chúng, và ngược lại - phép nhân theo chiều của các hàm thành tích của các phép biến đổi Fourier của chúng. Xa hơn một chút tôi sẽ cho thấy nó thuận tiện như thế nào. Tính chất thứ sáu nói về tính đối xứng của các ảnh Fourier. Cụ thể, từ tính chất này, trong phép biến đổi Fourier của một hàm có giá trị thực (tức là bất kỳ tín hiệu “thực” nào), phổ biên độ luôn là một hàm chẵn và phổ pha (nếu giảm xuống dải -pi .. .pi) là số lẻ. Chính vì lý do này mà phần âm của phổ hầu như không bao giờ được vẽ trên đồ thị phổ - đối với các tín hiệu có giá trị thực, nó không cung cấp bất kỳ thông tin mới nào (nhưng, tôi nhắc lại, nó cũng không phải là 0). Cuối cùng, thuộc tính cuối cùng, thứ bảy, nói rằng phép biến đổi Fourier bảo toàn “năng lượng” của tín hiệu. Nó chỉ có ý nghĩa đối với các tín hiệu có thời lượng hữu hạn, mà năng lượng của chúng là hữu hạn, và nói rằng phổ của các tín hiệu như vậy ở vô cực đang nhanh chóng tiến về 0. Chính vì đặc tính này mà theo quy luật, chỉ phần "chính" của tín hiệu được mô tả trên đồ thị quang phổ, phần này mang phần năng lượng của sư tử - phần còn lại của đồ thị chỉ đơn giản có xu hướng bằng không (nhưng, một lần nữa , nó không phải là số không). Được trang bị 7 thuộc tính này, chúng ta hãy xem toán học về "số hóa" tín hiệu để chuyển một tín hiệu liên tục thành một chuỗi các chữ số. Để làm điều này, chúng ta cần sử dụng một hàm được gọi là "Dirac comb": Lược Dirac chỉ đơn giản là một chuỗi tuần hoàn các hàm đồng bằng thống nhất, bắt đầu từ 0 và tiếp tục với bước T. Để số hóa tín hiệu, T được chọn càng nhỏ càng tốt, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации: Thay vì một hàm liên tục, sau khi nhân như vậy, một chuỗi các xung delta có độ cao nhất định sẽ thu được. Trong trường hợp này, theo tính chất 5 của phép biến đổi Fourier, phổ của tín hiệu rời rạc thu được là tích chập của phổ gốc với lược Dirac tương ứng. Có thể hiểu đơn giản rằng, dựa trên các tính chất của tích chập, phổ của tín hiệu ban đầu, như nó vốn có, được “sao chép” vô số lần dọc theo trục tần số với bước 1 / T, và sau đó được tổng hợp . Lưu ý rằng nếu phổ gốc có độ rộng hữu hạn và chúng tôi sử dụng tốc độ lấy mẫu đủ cao, thì các bản sao của phổ gốc sẽ không chồng lên nhau và do đó sẽ không được thêm vào nhau. Có thể hiểu đơn giản rằng sẽ dễ dàng khôi phục lại phổ ban đầu từ một phổ “gấp khúc” như vậy - chỉ cần lấy thành phần của phổ trong vùng 0, “cắt bỏ” các bản sao thừa sẽ là đủ. đến vô cùng. Cách đơn giản nhất để làm điều này là nhân phổ với một hàm hình chữ nhật bằng T trong phạm vi -1 / 2T ... 1 / 2T và 0 nằm ngoài phạm vi này. Một phép biến đổi Fourier tương tự tương ứng với hàm sinc (Tx) và theo tính chất 4, phép nhân như vậy tương đương với tích chập của chuỗi các hàm delta ban đầu với hàm sinc (Tx) Nghĩa là, với sự trợ giúp của phép biến đổi Fourier, chúng tôi đã có một cách để dễ dàng khôi phục tín hiệu ban đầu từ tín hiệu được lấy mẫu theo thời gian, hoạt động với điều kiện là chúng tôi sử dụng tần số lấy mẫu ít nhất hai lần (do sự hiện diện của tần số âm trong phổ) cao hơn tần số lớn nhất có trong tín hiệu ban đầu. Kết quả này được biết đến rộng rãi và được gọi là định lý Kotelnikov / Shannon-Nyquist. Tuy nhiên, có thể dễ dàng nhận thấy ngay bây giờ (hiểu bằng chứng), kết quả này, trái với một quan niệm sai lầm phổ biến, xác định hợp lý, nhưng không cần thiếtđiều kiện để khôi phục tín hiệu ban đầu. Tất cả những gì chúng ta cần là đảm bảo rằng phần phổ mà chúng ta quan tâm sau khi lấy mẫu, tín hiệu không chồng lên nhau và nếu tín hiệu đủ dải hẹp (có “độ rộng” nhỏ của phần khác 0 của phổ), thì kết quả này thường có thể đạt được ngay cả ở tốc độ lấy mẫu thấp hơn nhiều so với hai lần tần số tín hiệu lớn nhất. Kỹ thuật này được gọi là “lấy mẫu dưới” (lấy mẫu con, lấy mẫu thông dải) và được sử dụng khá rộng rãi trong việc xử lý tất cả các loại tín hiệu vô tuyến. Ví dụ, nếu chúng ta lấy một đài FM hoạt động ở dải tần từ 88 đến 108 MHz, thì một bộ ADC chỉ có tần số 43,5 MHz có thể được sử dụng để số hóa nó thay vì 216 MHz theo định lý Kotelnikov. Tuy nhiên, trong trường hợp này, bạn cần một bộ ADC chất lượng cao và một bộ lọc tốt. Tôi lưu ý rằng "sự trùng lặp" của các tần số cao với các tần số của bậc thấp hơn (răng cưa) là một thuộc tính trực tiếp của việc lấy mẫu tín hiệu, không thể đảo ngược "làm hỏng" kết quả. Do đó, nếu về nguyên tắc, các tần số bậc cao có thể có trong tín hiệu (tức là hầu như luôn luôn), thì một bộ lọc tương tự được đặt trước ADC, bộ lọc này "cắt bỏ" mọi thứ thừa trực tiếp trong tín hiệu gốc (vì nó sẽ quá muộn để thực hiện việc này sau khi lấy mẫu). Các đặc tính của các bộ lọc này, với tư cách là các thiết bị tương tự, không lý tưởng, vì vậy một số "hư hỏng" tín hiệu vẫn xảy ra, và trong thực tế, các tần số cao nhất trong phổ thường không đáng tin cậy. Để giảm thiểu vấn đề này, không có gì lạ khi lấy mẫu tín hiệu ở tốc độ lấy mẫu quá mức, trong khi đặt bộ lọc đầu vào tương tự ở băng thông thấp hơn và chỉ sử dụng phần dưới của dải tần số có sẵn về mặt lý thuyết của ADC. Nhân tiện, một quan niệm sai lầm phổ biến khác là khi tín hiệu ở đầu ra của DAC được vẽ theo “các bước”. “Các bước” tương ứng với tích chập của một chuỗi tín hiệu được lấy mẫu có hàm hình chữ nhật có chiều rộng T và chiều cao 1: Với phép biến đổi như vậy, phổ tín hiệu được nhân với phép biến đổi Fourier của hàm hình chữ nhật này, và đối với một hàm hình chữ nhật tương tự, nó lại là sinc (w), “kéo căng” càng mạnh thì chiều rộng của hình chữ nhật tương ứng càng nhỏ. Phổ của tín hiệu được lấy mẫu với một "DAC" tương tự được nhân theo chiều kim đồng hồ với phổ này. Trong trường hợp này, các tần số cao không cần thiết với các “bản sao bổ sung” của phổ không bị cắt bỏ hoàn toàn, và ngược lại, phần trên của phần “hữu ích” của phổ sẽ bị suy yếu. Trong thực tế, tất nhiên, không ai làm điều này. Có nhiều cách tiếp cận khác nhau để xây dựng một DAC, nhưng ngay cả trong các loại DAC có trọng số tương tự nhất, thì ngược lại, các xung hình chữ nhật trong DAC được chọn càng ngắn càng tốt (tiếp cận chuỗi hàm delta thực) để tránh bị triệt tiêu không cần thiết. của phần hữu ích của quang phổ. Các tần số “bổ sung” trong tín hiệu băng thông rộng thu được hầu như luôn bị giảm âm lượng bằng cách truyền tín hiệu qua bộ lọc thông thấp tương tự, do đó không có “bước kỹ thuật số” nào ở “bên trong” bộ chuyển đổi, hoặc hơn nữa, ở đầu ra của nó. Tuy nhiên, hãy quay lại với phép biến đổi Fourier. Biến đổi Fourier được mô tả ở trên được áp dụng cho chuỗi tín hiệu được lấy mẫu trước được gọi là Biến đổi Fourier theo thời gian rời rạc (DTFT). Phổ thu được bằng cách biến đổi như vậy luôn là 1 / T-tuần hoàn, vì vậy phổ DTFT hoàn toàn được xác định bởi các giá trị của nó trên đoạn) |
