|
Bài toán. Viết phương trình tiếp tuyến $[\Delta]$ của đồ thị $\left[ C \right]:y = f\left[ x \right]$ song song với đường thẳng $\left[ d \right]:y = kx + b$.
Giải. Gọi $M_0[x_0;y_0]$ là tiếp điểm. Từ $[i]$ và$[ii]$ta có hệ số góc của $\Delta$và $d$ lần lượt là $f'\left[ {{x_0}} \right]$ và$k$.
Vì $\Delta \parallel d$ nên theo$[iii]$ ta có $f'\left[
{{x_0}} \right] = k$. Từ đây ta có $x_0$ là nghiệm của phương trình$f'\left[ {{x}} \right] = k$.
Từ đây ta có các bước để viết phương tình tiếp tuyến củađồ thị $\left[ C \right]:y = f\left[ x \right]$ song song với đường thẳng $\left[ d \right]:y = kx + b$ như sau:
| Bước 1. Giải phương trình$f'\left[ {{x}} \right] = k$, nghiệm $x_0$ của phương trình là hoành độ của tiếp điểm. Bước 2. Tính ${y_0} = f\left[ {{x_0}} \right]$ để được tiếp điểm$M_0[x_0;y_0]$. Bước 3. Viết phương trình tiếp tuyến của$\left[ C \right]$ tại$M_0[x_0;y_0]$theo mệnh đề$[iv]$. |
Ví dụ 1.Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số $[C]: y = {x^2} - 2x - 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\left[ d \right]:y = 2x - 1$.
Giải. Bước 1. Ta có $f\left[ x \right] = {x^2} - 2x - 1 \Rightarrow f'\left[ x \right] = 2x - 2.$Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình $$f'\left[ x \right] = 2 \Leftrightarrow 2x - 2 = 2 \Leftrightarrow x = 2.$$
Bước 2. Thay $x_0=2$ vào phương trình của$[C]$ ta được $y_0=-1$. Suy ra tiếp điểm là ${M_0}\left[ {2; - 1} \right].$
Bước 3. Ta có $f'\left[ {{x_0}} \right] = 2$. Phương trình tiếp tuyến tại${M_0}\left[ {2; - 1} \right]$ là
$$y = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + {y_0} \Leftrightarrow y = 2\left[ {x - 2} \right] - 1 \Leftrightarrow y = 2x - 5.$$
Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số $\left[ C \right]: y = {x^3} + 3x - 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\left[ d \right]:y = 6x - 1$.
Giải. Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình
$$f'\left[ x \right] = 6 \Leftrightarrow 3{x^2} + 3 = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = 1 \Rightarrow {y_1} = f\left[ 1 \right] = 3\\
{x_2} = - 1 \Rightarrow {y_2} = f\left[ 1 \right] = - 5\end{array} \right.$$
Vậy có hai tiếp điểm là ${M_1}\left[ {1;3} \right],{M_2}\left[ { - 1; - 5} \right]$.
Phương trình tiếp tuyến tại ${M_1}\left[ {1;3} \right]$ là $$\left[ {{\Delta_1}} \right]:\;\;\;\;y = 6\left[ {x - {x_1}} \right] + {y_1} \Leftrightarrow y = 6\left[ {x - 1} \right] + 3 \Leftrightarrow y = 6x - 3.$$
Phương trình tiếp tuyến tại ${M_2}\left[ { - 1; - 5} \right]$ là $$\left[ {{\Delta_2}} \right]:\;\;\;\;y = 6\left[ {x - {x_2}} \right] + {y_2} \Leftrightarrow y = 6\left[ {x + 1} \right] - 5 \Leftrightarrow y = 6x + 1.$$