1 + 1/2 + 1/3 + 1/n C++

Chọn một trang web để nhận nội dung đã dịch nếu có và xem các sự kiện và ưu đãi tại địa phương. Dựa trên vị trí của bạn, chúng tôi khuyên bạn nên chọn.

Bạn cũng có thể chọn một trang web từ danh sách sau

Làm thế nào để có được hiệu suất trang web tốt nhất

Chọn trang Trung Quốc (bằng tiếng Trung hoặc tiếng Anh) để có hiệu suất trang tốt nhất. Các trang web quốc gia khác của MathWorks không được tối ưu hóa cho các lượt truy cập từ vị trí của bạn

Trong toán học, chuỗi điều hòa là chuỗi vô hạn được hình thành bằng cách tính tổng tất cả các phân số đơn vị dương

∑n=1∞1n=1+12+13+14+15+⋯. {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}} . }

N{\displaystyle n}

số hạng đầu tiên của chuỗi tổng bằng xấp xỉ ln⁡n+γ{\displaystyle \ln n+\gamma }, where ln{\displaystyle \ln } is the natural logarithm and γ≈0.577{\displaystyle \gamma \approx 0.577} là hằng số Euler–Mascheroni. Vì logarit có giá trị lớn tùy ý nên chuỗi điều hòa không có giới hạn hữu hạn. nó là một chuỗi khác nhau. Sự phân kỳ của nó đã được chứng minh vào thế kỷ 14 bởi Nicole Oresme bằng cách sử dụng tiền thân của phép thử ngưng tụ Cauchy cho sự hội tụ của chuỗi vô hạn. Nó cũng có thể được chứng minh là phân kỳ bằng cách so sánh tổng với một tích phân, theo phép thử tích phân cho sự hội tụ.

Các ứng dụng của chuỗi điều hòa và các tổng riêng của nó bao gồm chứng minh của Euler rằng có vô số số nguyên tố, phân tích bài toán của người thu thập phiếu giảm giá về số lần thử nghiệm ngẫu nhiên cần thiết để cung cấp một loạt các câu trả lời, các thành phần liên thông của đồ thị ngẫu nhiên,

Lịch sử[sửa]

Một sóng và các hài của nó, với các bước sóng 1,12,13,…{\displaystyle 1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\dots }

Tên của chuỗi hòa âm bắt nguồn từ khái niệm về âm bội hay họa âm trong âm nhạc. bước sóng của các âm bội của một dây dao động là 12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}

, 13{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}} . , của bước sóng cơ bản của chuỗi. [1][2] Mỗi số hạng của chuỗi điều hòa sau số hạng đầu tiên là trung bình điều hòa của các số hạng lân cận, vì vậy các số hạng này tạo thành một cấp số điều hòa; . [2] Ngoài âm nhạc, các chuỗi hài hòa cũng đã có một sự phổ biến nhất định với các kiến ​​trúc sư. Điều này rất đặc biệt trong thời kỳ Baroque, khi các kiến ​​trúc sư sử dụng chúng để thiết lập tỷ lệ của sơ đồ tầng, độ cao và thiết lập mối quan hệ hài hòa giữa các chi tiết kiến ​​trúc bên trong và bên ngoài của nhà thờ và cung điện. [3], 14{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}, etc., of the string's fundamental wavelength.[1][2] Every term of the harmonic series after the first is the harmonic mean of the neighboring terms, so the terms form a harmonic progression; the phrases harmonic mean and harmonic progression likewise derive from music.[2] Beyond music, harmonic sequences have also had a certain popularity with architects. This was so particularly in the Baroque period, when architects used them to establish the proportions of floor plans, of elevations, and to establish harmonic relationships between both interior and exterior architectural details of churches and palaces.[3]

Sự phân kỳ của chuỗi điều hòa lần đầu tiên được chứng minh vào năm 1350 bởi Nicole Oresme. [2][4] Công trình của Oresme, và công trình cùng thời của Richard Swineshead trên một chuỗi khác, đánh dấu sự xuất hiện lần đầu của chuỗi vô hạn ngoài chuỗi hình học trong toán học. [5] Tuy nhiên, thành tích này rơi vào quên lãng. [6] Bằng chứng bổ sung đã được xuất bản vào thế kỷ 17 bởi Pietro Mengoli[2][7] và bởi Jacob Bernoulli. [8][9][10] Bernoulli ghi công anh trai Johann Bernoulli vì đã tìm ra bằng chứng,[10] và sau đó nó được đưa vào các tác phẩm sưu tập của Johann Bernoulli. [11]

Tổng riêng phần của chuỗi điều hòa được đặt tên là số điều hòa và được ký hiệu thông thường là Hn{\displaystyle H_{n}}

, vào năm 1968 bởi Donald Knuth. [12]

Định nghĩa và phân kỳ[sửa | sửa mã nguồn]

Chuỗi điều hòa là chuỗi vô hạn

∑n=1∞1n=1+12+13+14+15+⋯{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac

trong đó các số hạng đều là phân số đơn vị dương. Đó là một chuỗi khác nhau. khi nhiều số hạng của chuỗi được bao gồm trong các tổng riêng của chuỗi, giá trị của các tổng riêng này tăng lớn tùy ý, vượt quá mọi giới hạn hữu hạn. Bởi vì nó là một chuỗi phân kỳ, nên nó nên được hiểu là một tổng chính thức, một biểu thức toán học trừu tượng kết hợp các phân số đơn vị, chứ không phải là một thứ có thể được ước tính thành một giá trị số. Có nhiều bằng chứng khác nhau về sự phân kỳ của chuỗi điều hòa, được khảo sát trong một bài báo năm 2006 của S. J. Kifowit và T. Một. tem. [13] Hai trong số nổi tiếng nhất[1][13] được liệt kê bên dưới

Kiểm tra so sánh[sửa]

Một cách để chứng minh sự phân kỳ là so sánh chuỗi điều hòa với một chuỗi phân kỳ khác, trong đó mỗi mẫu số được thay thế bằng lũy ​​thừa lớn nhất tiếp theo của hai

1+12+13+14+15+16+17+18+19+⋯≥1+12+14+14+18+18+18+18+116+⋯{\displaystyle {\begin{alignedat}{8

Nhóm các số hạng bằng nhau chứng tỏ rằng chuỗi thứ hai phân kỳ (vì mọi nhóm các chuỗi hội tụ đều chỉ hội tụ)

1+(12)+(14+14)+(18+18+18+18)+(116+⋯+116)+⋯=1+12+12+12+12+⋯. {\displaystyle {\begin{aligned}&1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4} . \end{căn chỉnh}}}

Vì mỗi số hạng của chuỗi điều hòa đều lớn hơn hoặc bằng số hạng tương ứng của chuỗi thứ hai (và các số hạng đều dương), nên (bằng phép thử so sánh) chuỗi điều hòa cũng phân kỳ. Lập luận tương tự chứng minh rõ ràng hơn rằng, với mọi số nguyên dương k{\displaystyle k},

∑n=12k1n≥1+k2{\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}}{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {k}{2}

Đây là bằng chứng gốc do Nicole Oresme đưa ra vào khoảng năm 1350. [13] Phép thử ngưng tụ Cauchy là sự tổng quát hóa lập luận này. [14]

Kiểm tra tích phân [ chỉnh sửa ]

Hình chữ nhật có diện tích cho bởi chuỗi điều hòa và hyperbola y=1/x{\displaystyle y=1/x}

qua các góc trên bên trái của những hình chữ nhật này

Có thể chứng minh rằng chuỗi điều hòa phân kỳ bằng cách so sánh tổng của nó với một tích phân không chính xác. Cụ thể, hãy xem xét việc sắp xếp các hình chữ nhật trong hình bên phải. Mỗi hình chữ nhật có chiều rộng 1 đơn vị và chiều cao 1n{\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}

đơn vị, vì vậy nếu chuỗi điều hòa hội tụ thì tổng diện tích của các hình chữ nhật sẽ là . Đường cong y=1x{\displaystyle y={\tfrac {1}{x}}} nằm hoàn toàn bên dưới ranh giới trên của hình chữ nhật, do đó diện tích bên dưới đường cong (trong khoảng . Tuy nhiên, diện tích dưới đường cong được cho bởi một tích phân không chính xác phân kỳ, from one to infinity that is covered by rectangles) would be less than the area of the union of the rectangles. However, the area under the curve is given by a divergent improper integral,

∫1∞1xdx=∞. {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\infty. }

Vì tích phân này không hội tụ nên tổng cũng không hội tụ. [13]

Thay thế từng hình chữ nhật bằng hình tiếp theo trong chuỗi sẽ tạo ra một chuỗi các hình chữ nhật có ranh giới nằm bên dưới đường cong chứ không phải bên trên nó. Điều này cho thấy tổng riêng của chuỗi điều hòa khác với tích phân một lượng được giới hạn trên và dưới bởi diện tích đơn vị của hình chữ nhật đầu tiên

∫1N+11xdx<∑i=1N1i<∫1N1xdx+1. {\displaystyle \int _{1}^{N+1}{\frac {1}{x}}\,dx<\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{i} . }

Tổng quát hóa đối số này, bất kỳ tổng giá trị vô hạn nào của hàm đơn điệu giảm dần dương của n{\displaystyle n} (như chuỗi điều hòa) đều có tổng riêng phần nằm trong giới hạn . Do đó, tổng hội tụ khi và chỉ khi tích phân trên cùng một khoảng của cùng một hàm số hội tụ. Khi sự tương đương này được sử dụng để kiểm tra sự hội tụ của một tổng bằng cách thay thế nó bằng một tích phân dễ hơn, nó được gọi là phép kiểm tra tích phân cho sự hội tụ. [15]

Tổng một phần [ chỉnh sửa ]

n{\displaystyle n}Tổng riêng của chuỗi điều hòa, Hn{\displaystyle H_{n}}được biểu thị dưới dạng phân số thập phân kích thước tương đối11 . 51. 5311/6~1. 833331. 83333425/12~2. 083332. 083335137/60~2. 283332. 28333649/202. 452. 457363/140~2. 592862. 592868761/280~2. 717862. 7178697129/2520~2. 828972. 82897107381/2520~2. 928972. 928971183711/27720~3. 019883. 019881286021/27720~3. 103213. 10321131145993/360360~3. 180133. 18013141171733/360360~3. 251563. 25156151195757/360360~3. 318233. 31823162436559/720720~3. 380733. 380731742142223/12252240~3. 439553. 439551814274301/4084080~3. 495113. 4951119275295799/77597520~3. 547743. 547742055835135/15519504~3. 597743. 59774

Cộng n{\displaystyle n} số hạng đầu tiên của chuỗi điều hòa sẽ tạo ra một phần tổng, được gọi là số điều hòa và được ký hiệu là Hn{\displaystyle H_{n}}:[12]

Hn=∑k=1n1k. {\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}. }

Tốc độ tăng trưởng[sửa]

Những con số này tăng rất chậm, với mức tăng logarit, như có thể thấy từ bài kiểm tra tích phân. [15] Chính xác hơn,

Hn=ln⁡n+γ+12n−εn{\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\varepsilon _{n}}

trong đó γ≈0. 5772{\displaystyle \gamma \xấp xỉ 0. 5772} là hằng số Euler–Mascheroni và 0≤εn≤1/8n2{\displaystyle 0\leq \varepsilon _{n}\leq 1/8n^{2}} which approaches 0 as n{\displaystyle n} goes to infinity.[16]

Tính chia hết[sửa]

Không có số điều hòa nào là số nguyên, ngoại trừ H1=1{\displaystyle H_{1}=1}

. [17][18] Một cách để chứng minh rằng Hn{\displaystyle H_{n}} không phải là số nguyên là xét lũy thừa cao nhất của hai số 2k{\displaystyle 2^{k} . Nếu M{\displaystyle M} in the range from 1 to n{\displaystyle n}. If M{\displaystyle M} là bội chung nhỏ nhất của các số từ 1 đến n{\displaystyle n}, thì Hk{\displaystyle H_{ can be rewritten as a sum of fractions with equal denominators

Hn=∑i=1nM/iM{\displaystyle H_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {M/i}{M}}}

trong đó chỉ một trong các tử số, M/2k{\displaystyle M/2^{k}}, là lẻ và các tử số còn lại là chẵn và (khi n> . Do đó, kết quả là một phân số có tử số lẻ và mẫu số chẵn, không thể là số nguyên. [17] Mạnh mẽ hơn, bất kỳ dãy số nguyên liên tiếp nào cũng có một phần tử duy nhất chia hết cho 2 lũy thừa lớn hơn tất cả các phần tử khác của dãy, từ đó suy ra cùng lập luận rằng không có hai số điều hòa nào khác nhau bởi một số nguyên. [18]) M{\displaystyle M} is itself even. Therefore, the result is a fraction with an odd numerator and an even denominator, which cannot be an integer.[17] More strongly, any sequence of consecutive integers has a unique member divisible by a greater power of two than all the other sequence members, from which it follows by the same argument that no two harmonic numbers differ by an integer.[18]

Một bằng chứng khác cho thấy các số điều hòa không phải là số nguyên quan sát thấy rằng mẫu số của Hn{\displaystyle H_{n}} phải chia hết cho mọi số nguyên tố lớn hơn n/2{ . Lập luận tương tự hàm ý mạnh mẽ hơn rằng, ngoại trừ H1=1{\displaystyle H_{1}=1}

, and uses Bertrand's postulate to prove that this set of primes is non-empty. The same argument implies more strongly that, except for H1=1{\displaystyle H_{1}=1}, H2=1. 5{\displaystyle H_{2}=1. 5} và H6=2. 45{\displaystyle H_{6}=2. 45}, không có số điều hòa nào có thể có biểu diễn thập phân tận cùng. [17] Người ta đã phỏng đoán rằng mọi số nguyên tố đều chia tử số của chỉ một tập hợp con hữu hạn của các số điều hòa, nhưng điều này vẫn chưa được chứng minh. [19]

Nội suy[sửa]

Hàm digamma được định nghĩa là đạo hàm logarit của hàm gamma

ψ(x)=ddxln⁡(Γ(x))=Γ′(x)Γ(x). {\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\big (}\Gamma (x){\big )}={\frac {\Gamma '(x)}{\ . }

Giống như hàm gamma cung cấp phép nội suy liên tục của các giai thừa, hàm digamma cung cấp phép nội suy liên tục của các số hài, theo nghĩa là ψ(n)=Hn−1−γ{\displaystyle \psi ( . [20] Phương trình này có thể được sử dụng để mở rộng định nghĩa cho các số điều hòa với các chỉ số hữu tỷ. [21].[20] This equation can be used to extend the definition to harmonic numbers with rational indices.[21]

Nhiều bài toán nổi tiếng có nghiệm liên quan đến chuỗi điều hòa và tổng riêng của nó

Băng qua sa mạc[sửa]

Giải pháp cho vấn đề xe jeep cho n=3{\displaystyle n=3}

, hiển thị lượng nhiên liệu trong mỗi kho và trong xe jeep ở mỗi bước

Bài toán xe jeep hay bài toán băng qua sa mạc có trong bộ sưu tập bài toán thế kỷ thứ 9 của Alcuin, Propositiones ad Acuendos Juvenes (được xây dựng dưới dạng lạc đà chứ không phải xe jeep), nhưng có một giải pháp không chính xác. [22] Bài toán hỏi một chiếc xe jeep có thể đi và về trong sa mạc bao xa, bắt đầu từ một bệ có n{\displaystyle n} lượng nhiên liệu, bằng cách mang một ít nhiên liệu vào . Giải pháp tối ưu liên quan đến việc đặt các kho cách nhau các khoảng cách r2n,r2(n−1),r2(n−2),…{\displaystyle {\tfrac {r}{2n}},{\tfrac {r}{2(n . Trên mỗi chuyến đi ra khỏi căn cứ, xe jeep đặt thêm một kho, tiếp nhiên liệu tại các kho khác trên đường đi và đổ càng nhiều nhiên liệu càng tốt vào kho mới đặt trong khi vẫn còn đủ để tự quay trở lại kho trước đó. . Do đó, tổng quãng đường đã đi được trong chuyến đi thứ n{\displaystyle n}

from the starting point and each other, where r{\displaystyle r} is the range of distance that the jeep can travel with a single load of fuel. On each trip out and back from the base, the jeep places one more depot, refueling at the other depots along the way, and placing as much fuel as it can in the newly placed depot while still leaving enough for itself to return to the previous depots and the base. Therefore, the total distance reached on the n{\displaystyle n}là

r2n+r2(n−1)+r2(n−2)+⋯=r2Hn,{\displaystyle {\frac {r}{2n}}+{\frac {r}{2(n-1)}}+

trong đó Hn{\displaystyle H_{n}} là số điều hòa thứ n{\displaystyle n}. Sự phân kỳ của chuỗi điều hòa ngụ ý rằng có thể giao cắt ở bất kỳ độ dài nào với đủ nhiên liệu. [23]

Ví dụ: đối với phiên bản sự cố của Alcuin, r=30{\displaystyle r=30}

. một con lạc đà có thể chở 30 đơn vị đo ngũ cốc và có thể di chuyển một đồng leuca trong khi ăn một đơn vị đo, trong đó leuca là một đơn vị khoảng cách gần bằng 2. 3 km (1. 4 dặm). Sự cố có n=3{\displaystyle n=3}. có 90 đấu thóc, đủ cung cấp cho ba chuyến. Đối với công thức chuẩn của bài toán băng qua sa mạc, con lạc đà có thể đi được 302(13+12+11)=27. 5{\displaystyle {\tfrac {30}{2}}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{1} . 5} leucas và quay trở lại, bằng cách đặt một kho chứa ngũ cốc 5 leucas từ căn cứ trong chuyến đi đầu tiên và 12. 5 leucas từ căn cứ trong chuyến đi thứ hai. Tuy nhiên, thay vào đó, Alcuin hỏi một câu hỏi hơi khác, có thể vận chuyển bao nhiêu ngũ cốc trong quãng đường 30 leucas mà không có chuyến trở về cuối cùng, và làm mắc cạn một số con lạc đà trong sa mạc hoặc không tính được lượng ngũ cốc mà một con lạc đà tiêu thụ trên đường. . [22]

Khối xếp chồng [ chỉnh sửa ]

Vấn đề xếp chồng khối. các khối được sắp xếp theo chuỗi điều hòa có thể nhô ra cạnh của bảng bằng các số điều hòa

Trong bài toán xếp khối, người ta phải xếp n{\displaystyle n} khối hình chữ nhật giống hệt nhau, mỗi khối một lớp, sao cho chúng treo càng xa càng tốt . Khối trên cùng có thể được đặt với 12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} có chiều dài kéo dài ra ngoài khối bên dưới tiếp theo. Nếu nó được đặt theo cách này, thì khối tiếp theo phải được đặt với tối đa 12⋅12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}}

of its length extending beyond the next lower block, so that the center of mass of the top two block is supported and they do not topple. The third block needs to be placed with at most 12⋅13{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{3}}} của nó . Theo cách này, có thể đặt các khối n{\displaystyle n} sao cho chúng kéo dài 12Hn{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}H_{n . [24][25] Sự phân kỳ của chuỗi sóng hài ngụ ý rằng không có giới hạn về khoảng cách mà ngăn xếp khối có thể mở rộng ra ngoài bàn. [25] Đối với các ngăn xếp có một khối trên mỗi lớp, không có giải pháp nào tốt hơn, nhưng có thể đạt được phần nhô ra nhiều hơn đáng kể bằng cách sử dụng các ngăn xếp có nhiều hơn một khối trên mỗi lớp. [26] lengths beyond the table, where Hn{\displaystyle H_{n}} is the n{\displaystyle n}th harmonic number.[24][25] The divergence of the harmonic series implies that there is no limit on how far beyond the table the block stack can extend.[25] For stacks with one block per layer, no better solution is possible, but significantly more overhang can be achieved using stacks with more than one block per layer.[26]

Đếm số nguyên tố và số chia[sửa]

Năm 1737, Leonhard Euler quan sát thấy rằng, như một tổng chính thức, chuỗi điều hòa bằng tích Euler trong đó mỗi số hạng bắt nguồn từ một số nguyên tố

∑i=1∞1i=∏p∈P(1+1p+1p2+⋯)=∏p∈P11−1/p,{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1

trong đó P{\displaystyle \mathbb {P} } biểu thị tập hợp các số nguyên tố. Đẳng thức bên trái xuất phát từ việc áp dụng luật phân phối cho tích và nhận ra các số hạng thu được là các thừa số nguyên tố của các số hạng trong chuỗi điều hòa và đẳng thức bên phải sử dụng công thức chuẩn cho một chuỗi hình học. Tích là phân kỳ, giống như tổng, nhưng nếu nó hội tụ, người ta có thể lấy logarit và thu được

ln⁡∏p∈P11−1/p=∑p∈Pln⁡11−1/p=∑p∈P(1p+12p2+13p3+⋯)=∑p∈P1p+K. {\displaystyle \ln \prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-1/p}}=\sum _{p\in \mathbb {P} }\ln {\ . }

Ở đây, mỗi logarit được thay thế bằng chuỗi Taylor của nó và hằng số K{\displaystyle K} ở bên phải là đánh giá của chuỗi hội tụ các số hạng có số mũ lớn hơn . Từ những thao tác này, suy ra là tổng nghịch đảo của các số nguyên tố, ở vế phải của đẳng thức này, phải phân kỳ, vì nếu nó hội tụ thì các bước này có thể đảo ngược để chứng tỏ rằng chuỗi điều hòa cũng hội tụ, điều mà nó không hội tụ. Một hệ quả trực tiếp là có vô số số nguyên tố, bởi vì một tổng hữu hạn không thể phân kỳ. [27] Mặc dù công trình của Euler không được coi là đủ nghiêm ngặt theo tiêu chuẩn của toán học hiện đại, nhưng nó có thể được làm cho nghiêm ngặt hơn bằng cách quan tâm nhiều hơn đến các giới hạn và giới hạn sai số. [28] Kết luận của Euler rằng tổng riêng phần của các nghịch đảo của các số nguyên tố tăng theo logarit kép của số các số hạng đã được các nhà toán học sau này xác nhận là một trong những định lý của Mertens,[29] và có thể được coi là tiền thân của số nguyên tố . [28]

Một vấn đề khác trong lý thuyết số liên quan chặt chẽ đến chuỗi điều hòa liên quan đến số ước trung bình của các số trong phạm vi từ 1 đến n{\displaystyle n}, được chính thức hóa là

1n∑i=1n⌊ni⌋≤1n∑i=1nni=Hn. {\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left\lfloor {\frac {n}{i}}\right\rfloor \leq {\frac {1 . }

Thao tác làm tròn từng số hạng trong chuỗi điều hòa thành bội số nguyên nhỏ hơn tiếp theo của 1n{\displaystyle {\tfrac {1}{n}}} khiến giá trị trung bình này là . Giới hạn số hạng sai số cuối cùng chính xác hơn vẫn là một bài toán mở, được gọi là bài toán ước số của Dirichlet. [30] (expressed in big O notation). Bounding the final error term more precisely remains an open problem, known as Dirichlet's divisor problem.[30]

Thu thập phiếu giảm giá [ chỉnh sửa ]

Biểu đồ số lượng vật phẩm so với số lần thử dự kiến ​​cần thiết để thu thập tất cả các vật phẩm

Một số trò chơi hoặc hoạt động giải trí phổ biến liên quan đến việc lặp lại lựa chọn ngẫu nhiên từ một tập hợp vật phẩm cho đến khi tất cả các lựa chọn có thể được chọn; . [33] Các ứng dụng nghiêm trọng hơn của vấn đề này bao gồm lấy mẫu tất cả các biến thể của một sản phẩm được sản xuất để kiểm soát chất lượng,[34] và khả năng kết nối của các biểu đồ ngẫu nhiên. [35] Trong các tình huống ở dạng này, khi còn k{\displaystyle k} mục cần thu thập trong tổng số n{\displaystyle n} equally-likely items, the probability of collecting a new item in a single random choice is k/n{\displaystyle k/n}

and the expected number of random choices needed until a new item is collected is n/k{\displaystyle n/k}. Summing over all values of k{\displaystyle k} từ n{\displaystyle n} xuống còn 1 cho thấy tổng số lựa chọn ngẫu nhiên dự kiến ​​cần thiết để . [36], where Hn{\displaystyle H_{n}} is the n{\displaystyle n}th harmonic number.[36]

Phân tích các thuật toán[sửa | sửa mã nguồn]

Hoạt hình của phiên bản quicksort trường hợp trung bình, với các bài toán con đệ quy được biểu thị bằng mũi tên tô bóng và với các trục (mục màu đỏ và đường màu xanh) được chọn làm mục cuối cùng trong mỗi bài toán con

Thuật toán sắp xếp nhanh để sắp xếp một tập hợp các mục có thể được phân tích bằng cách sử dụng các số điều hòa. Thuật toán hoạt động bằng cách chọn một mục làm "trục", so sánh nó với tất cả các mục khác và sắp xếp đệ quy hai tập hợp con các mục mà phép so sánh đặt chúng trước trục và sau trục. Trong cả độ phức tạp của trường hợp trung bình (với giả định rằng tất cả các hoán vị đầu vào đều có khả năng như nhau) hoặc trong phân tích thời gian dự kiến ​​của các đầu vào trong trường hợp xấu nhất với lựa chọn trục ngẫu nhiên, tất cả các mục đều có khả năng được chọn làm trục như nhau. Đối với những trường hợp như vậy, người ta có thể tính xác suất để hai mục được so sánh với nhau, trong suốt quá trình đệ quy, như một hàm của số mục khác tách chúng theo thứ tự được sắp xếp cuối cùng. Nếu các mục x{\displaystyle x} và y{\displaystyle y}

cách nhau bởi k{\displaystyle k} other items, then the algorithm will make a comparison between x{\displaystyle x} and y{\displaystyle y} only when, as the recursion progresses, it picks x{\displaystyle x} or y{\displaystyle y} as a pivot before picking any of the other k{\displaystyle k} items between them. Because each of these k+2{\displaystyle k+2} mục này đều có khả năng được chọn đầu tiên như nhau nên điều này xảy ra với xác suất 2k+2{\displaystyle {\tfrac {2}{k . Sau đó, tổng số phép so sánh dự kiến ​​kiểm soát tổng thời gian chạy của thuật toán có thể được tính bằng cách tính tổng các xác suất này trên tất cả các cặp, đưa ra[37]. The total expected number of comparisons, which controls the total running time of the algorithm, can then be calculated by summing these probabilities over all pairs, giving[37]

∑i=2n∑k=0i−22k+2=∑i=1n−12Hi=O(nlog⁡n). {\displaystyle \sum _{i=2}^{n}\sum _{k=0}^{i-2}{\frac {2}{k+2}}=\sum _{i=1} . }

Sự phân kỳ của chuỗi điều hòa tương ứng trong ứng dụng này với thực tế là, trong mô hình so sánh sắp xếp được sử dụng cho sắp xếp nhanh, không thể sắp xếp theo thời gian tuyến tính

Chuỗi điều hòa xen kẽ [ chỉnh sửa ]

Mười bốn tổng riêng phần đầu tiên của chuỗi điều hòa xen kẽ (các đoạn thẳng màu đen) được hiển thị hội tụ về logarit tự nhiên của 2 (đường màu đỏ)

bộ truyện

∑n=1∞(−1)n+1n=1−12+13−14+15−⋯{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{

được gọi là chuỗi điều hòa xen kẽ. Nó hội tụ có điều kiện bằng phép thử chuỗi xen kẽ, nhưng không hội tụ tuyệt đối. Tổng của nó là logarit tự nhiên của 2. [39]

Sử dụng các dấu hiệu xen kẽ chỉ với các phân số đơn vị lẻ sẽ tạo ra một chuỗi liên quan, công thức Leibniz cho π[40]

∑n=0∞(−1)n2n+1=1−13+15−17+⋯=π4. {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{ . }

Hàm Riemann zeta[sửa]

Hàm Riemann zeta được xác định cho x>1 thực{\displaystyle x>1}

theo chuỗi hội tụ

ζ(x)=∑n=1∞1nx=11x+12x+13x+⋯,{\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^

mà với x=1{\displaystyle x=1} sẽ là chuỗi điều hòa. Nó có thể được mở rộng bằng cách tiếp tục giải tích thành hàm chỉnh hình trên tất cả các số phức ngoại trừ x=1{\displaystyle x=1}, trong đó hàm mở rộng có một cực đơn giản. Các giá trị quan trọng khác của hàm zeta bao gồm ζ(2)=π2/6{\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}, giải pháp cho bài toán Basel . [41], proved by Roger Apéry to be an irrational number, and the "critical line" of complex numbers with real part 12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}, conjectured by the Riemann hypothesis to be the only values other than negative integers where the function can be zero.[41]

Chuỗi điều hòa ngẫu nhiên [ chỉnh sửa ]

Chuỗi điều hòa ngẫu nhiên là

∑n=1∞snn,{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}

trong đó các giá trị sn{\displaystyle s_{n}} là các biến ngẫu nhiên độc lập và được phân phối giống hệt nhau nhận hai giá trị +1{\displaystyle +1} and −1{\displaystyle -1} with equal probability 12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}. It converges with probability 1, as can be seen by using the Kolmogorov three-series theorem or of the closely related Kolmogorov maximal inequality. The sum of the series is a random variable whose probability density function is close to 14{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}} đối với các giá trị trong khoảng −1{\displaystyle -1 . Trung gian giữa các phạm vi này, tại các giá trị ±2{\displaystyle \pm 2} and 1{\displaystyle 1}, and decreases to near-zero for values greater than 3{\displaystyle 3} or less than −3{\displaystyle -3}. Intermediate between these ranges, at the values ±2{\displaystyle \pm 2}, mật độ xác suất là 18−ε{\displaystyle {\tfrac {1}{8}}-\varepsilon . [42][43] for a nonzero but very small value ε<10−42{\displaystyle \varepsilon <10^{-42}}.[42][43]

Chuỗi điều hòa đã cạn kiệt [ chỉnh sửa ]

Chuỗi điều hòa đã cạn kiệt trong đó tất cả các số hạng trong đó chữ số 9 xuất hiện ở bất kỳ đâu trong mẫu số đều bị loại bỏ có thể được hiển thị để hội tụ đến giá trị 22. 92067661926415034816. [44] Trên thực tế, khi tất cả các số hạng chứa bất kỳ chuỗi chữ số cụ thể nào (trong bất kỳ cơ số nào) bị loại bỏ, chuỗi sẽ hội tụ. [45]

Giá trị của 1/2 trong mã hóa là gì?

Làm thế nào để Python tính toán chuỗi?