- LG a
- LG b
- LG c
Cho hàm số: \[f\left[ x \right] = {x^3} - 3x + 1\]
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định \[D=\mathbb R\]
\[f'\left[ x \right] = 3{x^2} - 3\]
\[f'[x] = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - 1 \hfill \cr} \right.\]
Hàm số đồng biến trên khoảng: \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\] và \[ \left[ {1; + \infty } \right]\]
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[[-1;1]\]
+] Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \[x=-1;y[-1]=3\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=1; y[1]=-1\]
+] Giới hạn:
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f[x] = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f[x] = - \infty \cr} \]
Bảng biến thiên:
Đồ thị
Đồ thị giao trục \[Oy\] tại điểm \[[0;1]\]
Hàm số đồ thị nhận \[I[0;1]\] làm tâm đối xứng
LG b
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó.
Lời giải chi tiết:
\[f'\left[ x \right] = 3{x^2} - 3\]
\[f''\left[ x \right]=6x\]
\[f''\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow x = 0; f'[0]=-3\]
\[f\left[ 0 \right] = 1\]. Điểm uốn U[0;1]
Phương tiếp tuyến của [C] tại U là:
\[y - 1 = f'\left[ 0 \right]\left[ {x - 0} \right]\] \[ \Leftrightarrow y = - 3x + 1\]
LG c
Gọi \[\left[ {{d_m}} \right]\]là đường thẳng đi qua điểm U và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng\[\left[ {{d_m}} \right]\] cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt.
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng \[\left[ {{d_m}} \right]\] là y = mx +1.
Hoành độ giao điểm của đường thẳng\[\left[ {{d_m}} \right]\] và đường cong [C] là nghiệm của phương trình
\[{x^3} - 3x + 1 = mx + 1\] \[ \Leftrightarrow {x^3} - \left[ {m + 3} \right]x = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
{x^2} = m + 3 \,\,[2]\hfill \cr} \right.\]
\[\left[ {{d_m}} \right]\]cắt [C] tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi [1] có 3 nghiệm phân biệt
\[ \Leftrightarrow \left[ 2 \right]\] có hai nghiệm phân biệt khác 0,tức \[m + 3 > 0 \Leftrightarrow m > - 3\]
Chú ý:
ĐK tổng quát các em có thể dùng:
[1] có 3 nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \left[ 2 \right]\] có hai nghiệm phân biệt khác 0
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left[ 0 \right] \ne 0\end{array} \right.\]