Bài tập vận dụng tính đơn điệu của hàm số năm 2024
Tìm hiểu lý thuyết tính đơn điệu của hàm số, dạng bài tìm khoảng đơn điệu dựa vào hàm số – đồ thị và các dạng biện luận m để hàm đơn điệu. Các định nghĩa, định lý về tính đơn điệu của hàm số trong bài viết này sẽ giúp các bạn học sinh nắm chắc hơn trong việc khảo sát hàm số cũng như các dạng toán trong phần giải tích toán 12. Là nền tảng kiến thức đóng vai trò quan trọng trong các kỳ thi trên trường cũng như ôn thi THPT quốc gia. Show
Tính đơn điệu của hàm số là cách gọi chung cho tính đồng biến (tăng) và tính nghịch biến (giảm). Thông thường để xác định tính chất đơn điệu của hàm số ta thường tìm đạo hàm của nó. Xét trong khoảng bất kỳ, nếu đạo hàm dương trong khoảng nào thì hàm số đồng biến trong khoảng đó và ngược lại với đạo hàm âm. Wikipedia, Hàm số đơn điệu, 25/04/2022 Định nghĩa đồng biến, nghịch biếnCho hàm số y = f(x) xác định trên K , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng.
Định lí cơ bảnCho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K .
Chú ý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x) > 0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a;b]. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x) < 0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a;b]. Định lí mở rộngCho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số– Bước 1: Tìm tập xác định. – Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xᵢ (i = 1, 2, …,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. – Bước 3: Sắp xếp các điểm xᵢ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. – Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Phân dạng bài tậpDạng 1. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số bất kìPhương pháp giảiCho hàm số y = f(x) +) f’(x) > 0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy. +) f’(x) < 0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy. Quy tắc +) Tính f’(x), giải phương trình f’(x) = 0 tìm nghiệm. +) Lập bảng xét dấu f’(x). +) Dựa vào bảng xét dấu và kết luận. Bài tập vận dụngCâu 1. Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định với mọi x ∊ R Ta có: y’ = 3x² – 6x, cho y’ = 0 ⇒ 3x² – 6x = 0 ⇔ x = 0, x = 2 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên suy ra: – Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;0) và (2;+∞). – Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) Chú ý: Không được kết luận: “Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;0) ∪ (2;+∞)”
Hàm số xác định với mọi x ∊ R Ta có: y’ = -3x² + 6x – 3, cho y’ = 0 ⇒ -3x² + 6x – 3 = 0 ⇔ x = 1 (nghiệm kép) ⇒ y’ ≤ 0, ∀ x ∊ R ⇒ hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định R
Hàm số xác định với mọi x ∊ R y’ = 3x² + 2, cho y’ = 0 ⇒ 3x² + 2 = 0 (vô nghiệm) ⇒ y’ > 0, ∀ x ∊ R ⇒ hàm số luôn đồng biến trên tập xác định R Câu 2. Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau:
Hướng dẫn giải
Hàm số xác định với mọi x ∊ R y’ = 4x³ – 4x = 4x (x² – 1), cho y’ = 0 ⇒ 4x (x² – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = 1 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên suy ra:
Hàm số xác định với mọi x ∊ R y’ = -4x³ + 2x = 2x (-2x² + 1) Cho y’ = 0 ⇒ 2x (-2x² + 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên suy ra: – Hàm số đồng biến trên các khoảng: – Hàm số nghịch biến trên các khoảng:
Hàm số xác định với mọi x ∊ R y’ = x³ + 4x = x (x² + 4), cho y’ = 0 ⇒ x (x² + 4) = 0 ⇔ x = 0 (do x² + 4 vô nghiệm) Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0). Dạng 2. Đọc khoảng đơn điệu của hàm số bằng hình ảnh đồ thị cho trướcPhương pháp giảiNếu đề bài cho đồ thị y = f(x), ta chỉ việc nhìn các khoảng mà đồ thị “đi lên” hoặc “đi xuống”.
Nếu đề bài cho đồ thị y = f’(x). Ta tiến hành lập bảng biến thiên của hàm y = f(x) theo các bước:
Bài tập vận dụngCâu 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Hướng dẫn giải Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng (0;1) và (-∞;-1) ⟹ Chọn D Dạng 3. Tìm m để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác địnhPhương pháp giảiTính – Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó ⇔ y’ > 0 ⇔ ad − cb > 0. – Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó ⇔ y’ < 0 ⇔ ad − cb < 0. Bài tập vận dụngCâu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;-6)
Hướng dẫn giải Tập xác định: D = (-∞;-3m) ∪ (-3m; +∞) Ta có Hàm số đổng biến trên khoảng Mà m nguyên nên m ∊ {1; 2} ⟹ Chọn A Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (6;+∞)
Hướng dẫn giải Tập xác định D = ℝ\{-3m}; Hàm số nghịch biến trên khoảng (6;+∞) khi và chỉ khi: Vì m ∊ ℤ ⇒ m ∊ {-2; -1; 0} ⟹ Chọn C Dạng 4. Tìm m để hàm số bậc 3 (y = ax3 + bx2 + cx + d) đơn điệu trên ℝPhương pháp giải– Hàm số đồng biến trên ℝ thì y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ ⇔ hoặc suy biến – Hàm số nghịch biến trên ℝ thì y’ ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ ⇔ hoặc suy biến Bài tập vận dụngCâu 1. Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = (m2 – 1) x3 + (m – 1) x2 – x + 4 nghịch biến trên khoảng (-∞;+∞)
Hướng dẫn giải TH1: m = 1. Ta có: y = – x + 4 là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên ℝ. Do đó nhận m = 1. TH2: m = -1. Ta có: y = -2x2 – x + 4 là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên ℝ. Do đó loại m = -1. TH3: m ≠ 1. Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;+∞) ⇔ y’ ≤ 0 ∀ x ∊ ℝ, dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên ℝ. ⇔ 3(m2 – 1) x2 + 2(m – 1) x – 1 ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ Vì m ∊ ℤ nên m = 0 Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m = 0 hoặc m = 1. ⟹ Chọn C Câu 2. Cho hàm số y = -x3 – mx2 + (4m + 9) x + 5 , với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;+∞)
Hướng dẫn giải Ta có: TXĐ: D = ℝ y’ = -3x2 – 2mx + 4m + 9 Hàm số nghịch biến trên (-∞;+∞) khi y’ ≤ 0, ∀ x ∊ (-∞;+∞) ⇒ Có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn. ⟹ Chọn D Câu 3. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;+∞)?
Hướng dẫn giải y’ = (m2 – m) x2 + 4mx + 3 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;+∞) ⇔ y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ Với m = 0 ta có y’ = 3 > 0 với ∀ x ∊ ℝ ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;+∞). Với m = 1 ta có y’ = 4x + 3 > 0 ⇔ x > -¾ ⇒ m = 1 không thỏa mãn. Với ta có y’ ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ Tổng hợp các trường hợp ta được -3 ≤ m ≤ 0. Vì m ∊ ℤ ⇒ m ∊ {-3; -2; -1; 0}. Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài ra. ⟹ Chọn A Dạng 5. Tìm m để hàm số lượng giác đơn điệu trên khoảng cho trước.Để tìm hiểu chi tiết dạng toán này. Chúng ta có thể xem xét các ví dụ dưới đây: Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng
Hướng dẫn giải Đặt t = tan x , vì x ∊ ⇒ t ∊ {0; 1} Xét hàm số . Tập xác định: D = ℝ\{m} Ta có Ta thấy hàm số t(x) = tan x đồng biến trên khoảng . Nên để hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi: f’(t) > 0, ∀ t ∊ {0; 1} ⟹ Chọn A Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số nghịch biến trên khoảng
Hướng dẫn giải Điều kiện: cos x ≠ m. Ta có: Vì x ∊ ⇒ sin x > 0, (cos x – m)2 > 0, ∀ x ∊ ; cos x ≠ m Để hàm số nghịch biến trên khoảng ⇔ y’ < 0 ∀ x ∊ Chú ý: Tập giá trị của hàm số y = cos x, ∀ x ∊ là (-1; 0) ⟹ Chọn A Dạng 6. Tìm khoảng đơn điệu khi biết đồ thị hàm f’(x)Phương pháp giảiLoại 1. Cho đồ thị y = f’(x), hỏi tính đơn điệu của hàm y = f(x).– Tìm nghiệm của f’(x) = 0 (hoành độ giao điểm với trục hoành); – Xét dấu f’(x) (phần trên Ox mang dấu dương; phần dưới Ox mang dấu âm); – Lập bảng biến thiên của y = f(x), suy ra kết quả tương ứng. Loại 2. Cho đồ thị y = f’(x), hỏi tính đơn điệu của hàm hợp y = f(u).– Tính y’ = u’ ‧ f’(u); – Giải phương trình f’(u) = 0 (Nhìn đồ thị, suy ra nghiệm); – Lập bảng biến thiên của y = f(u), suy ra kết quả tương ứng. Loại 3. Cho đồ thị y = f’(x), hỏi tính đơn điệu của hàm hợp y = g(x), trong đó g(x) có liên hệ với f(x).– Tính y’ = g’(x); – Giải phương trình g’(x) = 0 (thường dẫn đến việc giải phương trình liên quan đến f’(x). Loại này ra nhìn hình để suy ra nghiệm); – Lập bảng biến thiên của y = g(x), suy ra kết quả tương ứng. Bài tập vận dụngCâu 1. Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y = f(2-x) đồng biến trên khoảng
Hướng dẫn giải Cách 1: Ta thấy f’(x) < 0 với nên f(x) nghịch biến trên (1; 4) và (-∞; -1) suy ra g(x) = f(-x) đồng biến trên (-4; -1) và (1; +∞). Khi đó f (2 – x) đồng biến trên khoảng (-2; 1) và (3; +∞) Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y = f’(x) ta có f’(x) < 0 Ta có (f (2 – x))’ = (2 – x)’. f’(2 – x) = – f’(2 – x) Để hàm số y = f (2 – x) đồng biến thì (f (2 – x))’ > 0 ⇔ f’(2 – x) < 0 ⟹ Chọn B Câu 2. Cho hàm số f(x), bảng xét dấu của f’(x) như sau: Hàm số y = f (5 – 2x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Hướng dẫn giải Ta có y’ = f’(5 – 2x) = -2f’(5 – 2x) Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f (5 – 2x) đồng biến trên khoảng (4; 5) ⟹ Chọn D Dạng 7. Biện luận đơn điệu của hàm đa thức trên khoảng con của tập ℝPhương pháp giảiLoại 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên toàn miền xác định ℝ– Đồng biến trên hoặc suy biến – Nghịch biến trên ℝ thì hoặc suy biến Loại 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên khoảng con của tập ℝTa thường gặp hai trường hợp: – Nếu phương trình y’ = 0 giải được nghiệm “đẹp”: Ta thiết lập bảng xét dấu y’ theo các nghiệm vừa tìm (xét hết các khả năng nghiệm trùng, nghiệm phân biệt). Từ đó “ép” khoảng mà dấu y’ không thỏa mãn ra khỏi khoảng đề bài yêu cầu. – Nếu phương trình y’ = 0 có nghiệm “xấu” : Ta sử dụng 1 trong 2 cách sau
Loại 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = ax4 + bx2 + c đơn điệu trên khoảng con của tập ℝ– Giải phương trình y’ = 0, tìm nghiệm. – Biện luận các trường hợp nghiệm (nghiệm trùng, nghiệm phân biệt). Từ đó “ép” khoảng mà dấu y’ không thỏa mãn ra khỏi khoảng đề bài yêu cầu. Bài tập vận dụngCâu 1. Cho hàm số với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.
Hướng dẫn giải D = ℝ \ {m}; Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y’ < 0, ∀ x ∊ D ⇔ m2 – 4m < 0 ⇔ 0 < m < 4 Mà m ∊ ℤ nên có 3 giá trị thỏa mãn. ⟹ Chọn D Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (10; +∞)?
Hướng dẫn giải Tập xác định D = ℝ \ {-5m} Hàm số nghịch biến trên (10; +∞) khi và chỉ khi Mà m ∊ ℤ nên m ∊ {-2; -1; 0; 1} ⟹ Chọn B Tài liệu tham khảoChuyên đề tính đơn điệu của hàm số – Thầy Hoàng Xuân Nhàn – 52 trang Các dạng toán về hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến – Thầy Nguyễn Bảo Vương – 59 trang Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan – Thầy Phùng Hoàng Em – 17 trang Bài tập trắc nghiệm VDC tính đơn điệu của hàm số – 34 trang Bài tập trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số chứa tham số m – VerbaLearn – 28 trang Bài toán vận dụng cao về tính đơn điệu của hàm số – Thầy Nguyễn Công Định – 126 trang Nguồn tham khảoVerbaLearn chỉ sử dụng các nguồn tham khảo chất lượng cao, bao gồm các nghiên cứu được đánh giá cùng chuyên mục để hỗ trợ các dữ liệu trong bài viết. Từ đó luôn giữ cho nội dung trên website chính xác và đáng tin cậy nhất. Mang thêm nguồn thông tin hữu ích đến bạn đọc thông qua các nguồn được nghiên cứu. 2. Phan Đức Chinh, Toán lớp 9 Tập 1 Trang 44, 2011 3. Trần Văn Hạo và đồng nghiệp, Giải tích 12 Trang 6 – Định lí thừa nhận Câu hỏi thường gặpTính đơn điệu của hàm số là gì?Tính đơn điệu của hàm số là cách gọi chung cho tính đồng biến (tăng) và tính nghịch biến (giảm). Thông thường để xác định tính chất đơn điệu của hàm số ta thường tìm đạo hàm của nó. Xét trong khoảng bất kì, nếu đạo hàm dương trong khoảng nào thì hàm số đồng biến trong khoảng đó và ngược lại với đạo hàm âm. Có những dạng bài tập tính đơn điệu hàm số nào?Có 7 dạng bài tập cơ bản về tính đơn điệu của hàm số bao gồm: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số bất kì; Đọc khoảng đơn điệu của hàm số bằng hình ảnh đồ thị cho trước; Tìm m để hàm phân thức đơn điệu trên từng khoảng xác định; Tìm m để hàm bậc 3 đơn điệu trên R; Tìm m để hàm số lượng giác đơn điệu trên R; Tìm khoảng đơn điệu khi biết đồ thị hàm f'(x); Biện luận tính đơn điệu của hàm đa thức trên khoảng con của R. Tính đơn điệu của hàm số là gì?Tính đơn điệu của hàm số là một thuộc tính quan trọng để nghiên cứu sự biến đổi của hàm số trên một khoảng cụ thể. Một hàm số được coi là đơn điệu trên một khoảng nào đó nếu giá trị của hàm này luôn thay đổi theo cùng một hướng khi biến đổi độc lập của biến đầu vào trên khoảng đó. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác là gì?Tính đơn điệu của hàm số lượng giác là việc xác định sự tăng hoặc giảm của hàm số lượng giác trên một khoảng xác định. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi nào?Đồng biến: Một hàm số được gọi là đồng biến trên một khoảng xác định nếu giá trị của hàm số tăng khi biến số tăng trong khoảng đó. Trong trường hợp của hàm số lượng giác, chẳng hạn sin(x), khi x tăng thì giá trị của sin(x) cũng tăng. Ví dụ: Trong khoảng (0; π/2), hàm số y = sin(x) là một hàm số đồng biến. K là gì trong hàm số?Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. |