Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức lớp 9
Bạn đang xem tài liệu "Toán 9 - Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên Các phương pháp chứng minh BĐT 1 (phần 1) Các phương pháp chứng minh BĐT 2 Chương I Sử dụng BĐT Cauchy hai số và các hệ quả của nó để chứng minh BĐT Cauchy hai số có hai dạng thường được sử dụng: · Dạng 1: 2a b ab+ ³ với a,b là các số không âm · Dạng 2: 2 2 2a b ab+ ³ với mọi a,b Các hệ quả của BĐT Cauchy hai số là: · Hệ quả 1: 2 2 22( ) ( ) 4a b a b ab+ ³ + ³ với mọi a,b · Hệ quả 2: 1 1 4 a b a b + ³ + với a,b dương · Hệ quả 3: 2 a b b a + ³ với a,b dương I.Các bài toán cơ bản Bài 1.1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 1 11) 4 2) 8 3) 2 2 2 8 a b a b b c c a abc a b a b c b c a c a b a b b c c a æ ö+ + ³ + + + ³ç ÷ è ø + + + + + + ³ + + + Bài 1.2: Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh; ( ) ( ) ( )22 2 23 3a b c a b c ab bc ca+ + ³ + + ³ + + Bài 1.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 3 4 3 3 4 4 6 6 6 1) 2) 4 8 3) 32 a b a b a b a b a b a b + + + ³ + ³ + + ³ Bài 1.4: Cho các số thực dương a,b. Chứng minh: 1 1 1 2 2 21) 2) 4 a b c a b b c c a b c c a a b a b c a b c b c a c a b + + ³ + + + + + + + + æ ö+ + ³ + +ç ÷+ + +è ø Các phương pháp chứng minh BĐT 3 Bài 1.5: Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh: ( )1 1 11) 9 2) 1 1 13) bc ca aba b c a b c a b c a b c a b c bc ca ab a b c æ ö+ + + + ³ + + ³ + +ç ÷ è ø + + ³ + + Bài 1.6: Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 2 2 3 33 2 2 2 2 1) 2) 4( ) 3) 2 2( ) a b a ba b a b a b b a b a a b a b b a + ³ + + + + ³ + + ³ + II.Các bài toán nâng cao Bài 1.7: Cho a,b là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh: 2 2 2 21 1 25 1 1 251) 2) 2 2 1 1 25 1 1 253) 4) 4 4 a b a b a b b a a b a b a b b a æ ö æ ö æ ö æ ö+ + + ³ + + + ³ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø æ öæ ö æ öæ ö+ + ³ + + ³ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø è øè ø Bài 1.8: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh; 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1) 2 1 1 12) 3 ( 1) 2 a b c a b c b c c a a b abc a b c a b c b c c a a b abc + + + + £ + + + + + + £ + + + = + + + Bài 1.9: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 1) 2 2 2 4 1 1 1 1 1 12) 3 3 3 4 4 4 1 1 1 1 1 13) 2 2 2 4 4 4 ab bc ca a b c a b c b c a c a b a b b c c a a b c a b c b c a c a b a b c + + + + £ + + + + + + + + £ + + + + + + + £ + + + + + + + + Các phương pháp chứng minh BĐT 4 Bài 1.10: Chứng minh rằng trong mọi tam giác đều ta luôn có: 3 31) 2 3 2) 2 a b c a b c m m ma b c m m m a b c + + ³ + + ³ Với , ,a b cm m m là trung tuyến của các cạnh tam giác. Chương II Sử dụng BĐT Cauchy n số và các hệ quả của nó để chứng minh Trong phần này phạm vi sử dụng chính là BĐT Cauchy ba số, phần nhỏ là BĐT Cauchy bốn số và n số. I.Các bài toán cơ bản Bài 2.1: Cho a,b,c,d,n là các số thực dương. Chứng minh: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 11) 9 2) 16a b c a b c d a b c a b c d æ ö æ ö+ + + + ³ + + + + + + ³ç ÷ ç ÷ è ø è ø Bài 2.2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( )( ) ( ) 31) 2 2) 2 2 2 64 1 1 13) 1 1 1 64 ( 1) a b c b c a c a b a b c b c a c a b abc a b c a b c + + ³ + + + + + + + + + ³ æ öæ öæ ö+ + + ³ + + =ç ÷ç ÷ç ÷ è øè øè ø Bài 2.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 1) 3 2) a b c a b b c c a abc a b c a bc b ca c ab + + ³ + + ³ + + ³ + + Bài 2.4: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: Các phương pháp chứng minh BĐT 5 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 1) 2) 3) a b c a b cab bc ca a b c b c a b c a a b c a b c b c a b c a + + ³ + + + + ³ + + + + ³ + + Bài 2.5: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1) 2) a b c a b c b c a a b c a b c b c a b c a + + ³ + + + + ³ + + Bài 2.6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( ) 3 23 1) 2) a b c a b c b c a abc a b c ab bc ca b c a abc + + + + ³ + + + + ³ Bài 2.7: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 9 9 9 1 2 2 a b a b b a æ ö + + ³ç ÷ è ø II.Các bài toán nâng cao Bài 2.8: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( ) 3 23 1) d 2) d a b c a b c b c abc a b c ab bc ca b c abc + + + + ³ + + + + ³ Bài 2.9: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 9 9 9 1 2 2 a b a b b a æ ö + + ³ç ÷ è ø Bài 2.10: Cho a,b,c,d là các số thực dương. Chứng minh: 6 6 6 6 3 2 3 2 3 2 3 2a b c d a b c b c d c d a d a b+ + + ³ + + + Các phương pháp chứng minh BĐT 6 Chương III Sử dụng BĐT Trêbưsép để chứng minh BĐT Giới thiệu với các bạn BĐT Trêbưsép: Cho một số nguyên dương 2n ³ và hai dãy số thực 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b thỏa mãn điều kiện: 1 2 ... na a a³ ³ ³ và 1 2 ... nb b b³ ³ ³ . Khi đó ta có: ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1... ... ...n n n na b a b a b a a a b b bn + + + ³ + + + + + + Hay ( ) ( )( )1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n nn a b a b a b a a a b b b+ + + ³ + + + + + + Bài tập: Bài 3.1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 1 1 1 9 a b c a b c + + ³ + + Bài 3.2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 3 2 a b c b c c a b a + + ³ + + + ( BĐT Nesbit) Bài 3.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 2 2 2 22 2 2 1) 2 3( ) 2) 2 a b c a b c b c c a b a a b ca b c b c c a b a + + + + ³ + + + + + + + ³ + + + Bài 3.4: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: 2 2 2 1a b c+ + = Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 2 2 2 2a b b c c aP b c c a a b + + + = + + + + + Bài 3.5: Cho a,b,c là các số thực khác 0. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 2 2 3 5 a b c a b c b c a c a b + + ³ + + + + + + Bài 3.6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 9 1 1 1 1a b c a b c abc æ öæ ö+ + + + ³ç ÷ç ÷+ + + +è øè ø Các phương pháp chứng minh BĐT 7 Chương IV Sử dụng phép biến đổi đồng nhất để chứng minh BĐT Để chứng minh bất đẳng thức A B³ , hay 0A B- ³ , ta tìm cách biến đổi biểu thức A B- thành tổng của các biểu thức có giá trị không âm, thông thường là các biểu thức bình phương. I.Các bài toán cơ bản Bài 4.1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1) 2) 3 3) 3 a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c a b c + + ³ + + + + ³ + + + + ³ + + Bài 4.2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( )2 2 2 1) 2) 3 bc ca ab a b c a b c bc ca ab a b c a b c + + ³ + + + + ³ + + Bài 4.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( )( ) ( ) ( )( ) 1) 8a 2) 9a a b b c c a bc a b c ab ba ca bc + + + ³ + + + + ³ Bài 4.4: Chứng minh 3 3 3 3aa b c bc+ + ³ với 0a b c+ + ³ Bài 4.5: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 1) 6 1 1 1 92) a b b c c a c a b a b c a b c + + + + + ³ + + ³ + + Các phương pháp chứng minh BĐT 8 II.Các bài toán nâng cao Bài 4.6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 2a b c a b c b c a + + ³ + + Bài 4.7: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b + + + + ³ + + + Bài 4.8: Cho a,b,c là các số thực dương sao cho , ,a b c là số đo ba cạnh của một tam giác. Chứng minh: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0a b c a b c b c a b a c c a c c b a+ - - + + + - + - + + - + - ³ Bài 4.9: Cho a,b,c là các số thực dương sao cho a b c³ ³ . Chứng minh: 3 2 a b c a b b c c a + + ³ + + + Bài 4.10: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: ( )( )( ) ( )33 3 31 1 1 1a b c abc- - - £ - Tài liệu được sưu tầm từ nhiều tài liệu có liên quan khác
Cập nhật lúc: 09:40 02-01-2018 Mục tin: LỚP 10
Chương I. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Chủ đề 1 Kỹ thuật biến đổi tương đương 3 Chương II. MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN ĐẶC SẮC tìm cực trị. Chương III. TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I. Định nghĩaGiả sử A và B là hai biểu thức bằng số hoặc bằng chữ. Khi đó +) \(A > B;A < B;A \ge B;A \le B\) được gọi là các bất đẳng thức. + \(A - B > 0;A - B < 0;A - B \ge 0;A - B \le 0\) Các bất đẳng thức trên được viết lại như sau + Một bất đẳng thức bất kì có thể đúng, cũng có thể sai. Quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó là một bất đẳng thức đúng. Chương I – MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây: Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay >> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. |