Cách xác định a b c của đồ thị hàm số bậc 3
|
Với Cách nhận dạng đồ thị hàm số bậc 3 Toán lớp 12 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải chi tiết giúp học sinh biết cCách nhận dạng đồ thị hàm số bậc 3 . Show A. Phương pháp giải & Ví dụ Các dạng đồ thị của hàm số bậc 3 y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)  Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm 2 phía so với trục Oy khi ac < 0 Đồ thị hàm số bậc ba luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y = x3 - 3x + 1. B. y = -x3 + 3x2 + 1. C. y = x3 - 3x2 + 3x + 1. D. y = -x3 - 3x2 - 1. Hướng dẫn Nhìn dạng đồ thị thấy a > 0 , suy ra loại B, D. Mặt khác hàm số không có cực trị nên loại A. Chọn C. Ví dụ 2: Cho hàm số bậc 3 có dạng: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Hãy chọn đáp án đúng? A. Đồ thị (IV) xảy ra khi a > 0 và f'(x) = 0 có nghiệm kép. B. Đồ thị (II) xảy ra khi a ≠ 0 và f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt. C. Đồ thị (I) xảy ra khi a < 0 và f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt. D. Đồ thị (III) xảy ra khi a > 0 và f'(x) = 0 vô nghiệm. Hướng dẫn Hàm số của đồ thị (II) có a < 0 nên điều kiện a ≠ 0 chưa đảm bảo. Do đó loại phương án B. Hàm số của đồ thị (I) có a > 0 nên loại luôn phương án C. Hàm số của đồ thị (IV) có a < 0 nên loại luôn phương án A. Chọn D. Ví dụ 3: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a < 0,b > 0,c > 0,d > 0. B. a < 0,b < 0,c = 0,d > 0. C. a > 0,b < 0,c > 0,d > 0. D. a < 0,b > 0,c = 0,d > 0. Hướng dẫn Từ hình dáng đồ thị ta suy ra hệ số a < 0,d > 0 loại đáp án C. Ta có: y' = 3ax2 + 2bx + c Vì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 nên y'(0) = 0 ⇒ c = 0 loại đáp án A. Khi đó: y' = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -2b/3a Do hoành độ điểm cực đại dương nên -2b/3a > 0, mà a < 0 ⇒ b > 0. Chọn D. Tải tài liệu Bài viết liên quan« Bài kế sau Bài kế tiếp » Nhận dạng đồ thị hàm số | Đồ thị hàm số | Chuyên đề đồ thị hàm số | Đồ thị hàm số thần tốc |Tài liệu gồm có:1.1 Dấu hiệu nhận biết các hệ số của hàm bậc ba dựa vào đồ thị.
1.2. Đồ thị hàm bậc 4 trùng phương
1.5. Đồ thị hàm số f'(x)
- Với $a>0$ thì $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty $ và $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty $. - Với $a<0$ thì $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty $ và $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty $. Đạo hàm và cực trị: ${y}'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$. Khi đó:- Hàm số có hai điểm cực trị khi ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {{{\Delta }'}_{{{y}'}}}>0$. Gọi $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$ và $B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ là hai tọa độ điểm cực trị thì theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-2b}{3a} \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{3a} \\ \end{array} \right.$ - Hàm số không có cực trị khi ${y}'=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $\Leftrightarrow {{{\Delta }'}_{{{y}'}}}\le 0$ Chú ý: Đối với hàm số bậc ba ta luôn có ${{y}_{C\tilde{N}}}>{{y}_{CT}}$ và: - Nếu $a>0$ thì ${{x}_{CÐ}}<{{x}_{CT}}$. - Nếu $a{{x}_{CT}}$. 2. Bảng biến thiênTH1: Hàm số có hai điểm cực trị
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Phương pháp giải toán
Để nhận diện đồ thị hàm số bậc ba: $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ $\left( a\ne 0 \right)$ ta làm như sau:
Ta có ${y}'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$
Dựa vào $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y$ để xác định hệ số $a$:
- Nếu $a>0$ thì nhánh cuối của đồ thị đi lên $x;y$ tiến về vô cùng.
- Nếu $a<0$ thì nhánh cuối của đồ thị đi xuống $x\to +\infty $ và $y\to -\infty $.
Dựa vào giao điểm với trục tung $\left( 0;d \right)$ suy ra tính chất của hệ số $d$
Dựa vào số điểm cực trị của đồ thị hàm số suy ra số nghiệm của phương trình ${y}'=0$
Dựa vào vị trí của các điểm cực trị, tọa độ các điểm cực trị và các điểm mà đề bài đã cho thuộc đồ thị hàm số.
Trong trường hợp đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-2b}{3a} \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{3a} \\ \end{array} \right.$ (định lý Viet)
Khi đó dựa vào ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-2b}{3a}$ suy ra tính chất của b; dựa vào ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{3a}$ suy ra tính chất của c.
