Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho tồn tại số thực b thỏa mãn 2 3 ab và ab 4

DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ sao cho ứng với mỗi $a$ bất phương trình$\left( {{{\log }_3}x – 1} \right)\left( {{3^x} – a} \right) < 0$ có ít nhất một nghiệm nguyên và nhiều nhất $5$ nghiệm nguyên?

A. $19610$.

B. $19445$.

C. $19443$.

D. $19446$.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện: $x > 0$.

Ta có: $\left( {{{\log }_3}x – 1} \right)\left( {{3^x} – a} \right) < 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\log _3}x < 1\\{3^x} > a\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{\log _3}x > 1\\{3^x} < a\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x > {\log _3}a\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x < {\log _3}a\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.;\,\left( {{\rm{do }}a \in {\mathbb{Z}^ + }\,} \right)$.

+ Nếu $a = 27$ thì,đều vô nghiệm nênvô nghiệm.

+ Nếu $a > 27$ thìvô nghiệm. Khi đó $\left( * \right) \Leftrightarrow x \in \left( {3;{{\log }_3}a} \right)$.

Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow 4 < {\log _3}a \le 9 \Leftrightarrow {3^4} < a \le {3^9}$$ \Leftrightarrow $$81 < a \le 19683$.

Do $a \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow a \in \left\{ {82;\,83;\,…;19683} \right\} \Rightarrow $ có $19602$ số $a$.

+ Nếu $a < 27$ thìvô nghiệm. Khi đó $\left( * \right) \Leftrightarrow x \in \left( {{{\log }_3}a;3} \right)$.

Vì $x > 0$ nên yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow {\log _3}a < 2 \Leftrightarrow a < 9$.

Do $a \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;…;8} \right\} \Rightarrow $ có 8 số $a$.

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán có $19602 + 8 = 19610$ giá trị.

Chọn câu A Điều kiện $x>0.$ Đặt $y={{a}^{\log x}}+2>0$ thì ${{y}^{\log a}}=x-2\Leftrightarrow {{a}^{\log y}}+2=x$. Từ đó ta có hệ $\left\{ \begin{align} & y={{a}^{\log x}}+2 \\ & x={{a}^{\log y}}+2 \\ \end{align} \right.$ Do $a\ge 2$ nên hàm số $f(t)={{a}^{t}}+2$ là đồng biến trên $\mathbb{R}.$ Giả sử $x\ge y$ thì $f( y )\ge f(x)$ sẽ kéo theo $y\ge x,$ tức là phải có $x=y.$ Tương tự nếu $x\le y.$ Vì thế,ta đưa về xét phương trình $x={{a}^{\log x}}+2$ với $x>0$ hay $x-{{x}^{\log a}}=2$ Ta phải có $x>2$ và $x>{{x}^{\log a}}\Leftrightarrow 1>\log a\Leftrightarrow a<10.$ Ngược lại,với $a<10$ thì xét hàm số liên tục $g(x)=x-{{x}^{\log a}}-2={{x}^{\log a}}({{x}^{1-\log a}}-1)-2$ có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty $ và $g(2)<0.$

nên $g(x)$ sẽ có nghiệm trên $(2;+\infty ).$ Do đó,mọi số $a\in \{2,3,\ldots ,9\}$ đều thỏa mãn

Solution

Trang chủ

Sách ID

Khóa học miễn phí

Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Đặt ${\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = t$, biểu diễn $P = x + y$ và $S = xy$ theo $t$.

- Sử dụng định lí Vi-ét đảo, khi đó $x,\,\,y$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - SX + P = 0$ (ẩn t).

- Tìm điều kiện để phương trình ${X^2} - SX + P = 0$ ẩn t có nghiệm, chặn khoảng giá trị của $t$.

- Từ đó chặn khoảng giá trị của ${x^2} + {y^2}$ và tìm các số nguyên x thỏa mãn.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\{x^2} + {y^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\x,\,\,y e 0\end{array} \right.$.

Đặt ${\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = t$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = {9^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2xy = {9^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = \dfrac{{{9^t} - {4^t}}}{2}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\end{array}$

Khi đó $x,\,\,y$ là nghiệm của phương trình

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{X^2} - {3^t}.X + \dfrac{{{9^t} - {4^t}}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{X^2} - {2.3^t}.X + {9^t} - {4^t} = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}$

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (*) phải có nghiệm, khi đó ta có $\Delta {'_{\left( * \right)}} \ge 0$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{3^t}} \right)^2} - 2.\left( {{9^t} - {4^t}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {2.4^t} - {9^t} \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {\dfrac{4}{9}} \right)^t} - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{4}{9}} \right)^t} \ge \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow t \le {\log _{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2} \approx 0,85\end{array}$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t} \le {3^{{{\log }_{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2}}}\,\,\,\,\left( {{d_1}} \right)\\{x^2} + {y^2} = {4^t} \le {4^{{{\log }_{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2}}}\,\,\left( C \right)\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)$.

Mà $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0; \pm 1} \right\}$.