Đề bài
Cho hình chữ nhật \[ABCD\] có \[AB=12cm,\ BC=5cm\]. Chứng minh rằng bốn điểm \[A,\ B,\ C,\ D\] thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Để chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn, ta chứng minh các điểm này cùng cách đều một điểm.
+] Sử dụng tính chất của hình chữ nhật: \[ABCD\] là hình chữ nhật, hai đường chéo cắt nhau tại \[O\] thì ta có \[OA=OB=OC=OD=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{BD}{2}\].
+] Định lí Pytago: \[\Delta{ABC}\] vuông tại \[C\] thì \[BC^2=AB^2+AC^2.\]
Lời giải chi tiết
Gọi \[O\] là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có \[OA = OB = OC = OD \] [tính chất].
Suy ra bốn điểm \[A,\ B,\ C,\ D\] cách đều điểm \[O\] nên bốn điểm này cùng thuộc đường tròn tâm \[O\], bán kính \[R=OA\].
Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\], áp dụng định lí Pytago, ta có:
\[AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=12^{2}+5^{2}=169\]
\[\Rightarrow AC=\sqrt{169}=13\,cm\]
\[\Rightarrow OA=\dfrac{13}{2}=6,5\,cm\]
Bán kính của đường tròn là: \[R=OB=OA=OC=OD=6,5\,cm.\]