Đề bài
Cho điểm \[M[a; b]\] với \[a > 0, b > 0\]. Viết phương trình đường thẳng qua \[M\] và cắt các tia \[Ox, Oy\] lần lượt tại \[A, B\] sao cho tam giác \[OAB\] có diện tích nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết
[h.95].
Gọi \[A[x_0; 0], B[0 ; y_0].\]
Khi đó, \[x_0> 0, y_0> 0\]. Phương trình đường thẳng AB là \[ \dfrac{x}{{{x_0}}} + \dfrac{y}{{{y_0}}} = 1\].
\[\begin{array}{l}M \in AB \Rightarrow \dfrac{a}{{{x_0}}} + \dfrac{b}{{{y_0}}} = 1.\\{S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}.OA.OB = \dfrac{1}{2}{x_0}.{y_0}.\end{array}\]
Ta có
\[1 = \dfrac{a}{{{x_0}}} + \dfrac{b}{{{y_0}}} \ge 2\sqrt { \dfrac{{ab}}{{{x_0}{y_0}}}}\]
\[\Rightarrow {x_0}{y_0} \ge 4ab\].
Do đó \[{S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}{x_0}{y_0} \ge \dfrac{1}{2}.4ab = 2ab\].
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \[ \dfrac{a}{{{x_0}}} = \dfrac{b}{{{y_0}}} = \dfrac{1}{2}\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 2a\\{y_0} = 2b\end{array} \right.\].
Vậy diện tích tam giác \[OAB\] nhỏ nhất bằng 2ab khi \[\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 2a\\{y_0} = 2b\end{array} \right.\]. Phương trình đường thẳng cần tìm là \[ \dfrac{x}{{2a}} + \dfrac{y}{{2b}} = 1\].