Đề bài
Cho ba dây cung song song \[AA_1, BB_1, CC_1\]của đường tròn \[[O]\]. Chứng minh rằng trực tâm của ba tam giác \[ABC_1, BCA_1, CAB_1\]nằm trên một đường thẳng.
Lời giải chi tiết
Gọi \[H_1, H_2, H_3\]lần lượt là trực tâm của các tam giác \[ABC_1, BCA_1, CAB_1\]. Theo kết quả bài 38, ta có:
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {O{H_1}} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {O{C_1}} \,\,\,;\\\overrightarrow {O{H_2}} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {O{A_1}} \,\,\,;\\\overrightarrow {O{H_3}} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {O{B_1}} \,\,.\end{array}\]
Suy ra
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {{H_1}{H_2}} = \overrightarrow {O{H_2}} - \overrightarrow {O{H_1}} \\ = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {O{C_1}} + \overrightarrow {O{A_1}} - \overrightarrow {OA}\\ = \overrightarrow {{C_1}C} + \overrightarrow {A{A_1}} \\\overrightarrow {{H_1}{H_3}} = \overrightarrow {O{H_3}} - \overrightarrow {O{H_1}} \\ = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {O{C_1}} + \overrightarrow {O{B_1}} - \overrightarrow {OB} \\ = \overrightarrow {{C_1}C} + \overrightarrow {B{B_1}} .\end{array}\]
Vì các dây cung \[AA_1, BB_1, CC_1\]song song với nhau nên ba vec tơ \[\overrightarrow {A{A_1}} ,\overrightarrow {B{B_1}} ,\overrightarrow {C{C_1}} \] có cùng phương.
Do đó hai vec tơ \[\overrightarrow {{H_1}{H_2}} \] và \[\overrightarrow {{H_1}{H_3}} \] cùng phương , hay ba điểm \[H_1, H_2, H_3\]thẳng hàng.