Đề bài
Đố em biết vì sao khi \[a > 0\] và phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\]vô nghiệm thì\[a{x^2} + bx + c > 0\]với mọi giá trị của \[x \]?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Sử dụng phương trình vô nghiệm khi \[\Delta < 0\].
+] Biến đổi \[ax^2+bx+c=a\left [ x + \dfrac{b}{2a} \right ]^{2}-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}\] rồi đánh giá từng hạng tử.
Lời giải chi tiết
Khi \[a > 0\] và phương trình vô nghiệm thì \[\Delta = b{^2} - 4ac 0\]
Lại có:
\[\begin{array}{l}a{x^2} + bx + c = a\left[ {{x^2} + \dfrac{b}{a}x} \right] + c\\ = a\left[ {{x^2} + 2.\dfrac{b}{{2a}}.x + \dfrac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right] - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}} + c\\ = a{\left[ {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right]^2} - \dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}\end{array}\]
\[=a\left [ x + \dfrac{b}{2a} \right ]^{2}+ {\left[-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}\right]}\]
Vì \[a\left [ x + \dfrac{b}{2a} \right ]^{2} \ge 0\] với mọi \[x \in R\], mọi \[a>0\].
Lại có \[-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} > 0\] [cmt]
Vì tổng của số không âm và số dương là một số dương do đó
\[a\left [ x + \dfrac{b}{2a} \right ]^{2}+ {\left[\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}\right]} >0\]với mọi \[x\].
Hay\[a{x^2} + bx + c >0\]với mọi \[x\].
loigiaihay.com