Đề bài
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình thoi \[ABCD\] cạnh \[a\], góc \[\widehat {BAD} = 60^0\]và \[SA = SB = SD = {{a\sqrt 3 } \over 2}\]
a] Tính khoảng cách từ \[S\] đến mặt phẳng \[[ABCD]\] và độ dài cạnh \[SC\]
b] Chứng minh mặt phẳng \[[SAC]\] vuông góc với mặt phẳng \[[ABCD]\]
c] Chứng minh \[SB\] vuông góc với \[BC\]
d] Gọi \[\varphi\] là góc giữa hai mặt phẳng \[[SBD]\] và \[[ABCD]\]. Tính \[\tan\varphi\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Gọi \[H\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABD\] thì\[SH \bot \left[ {ABCD} \right]\].
Sử dụng định lí Pitago tính \[SH\] và \[SC\].
b] Chứng minh mặt phẳng \[[SAC]\] chứa 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \[[ABCD]\].
c] Sử dụng định lí Pitago đảo chứng minh \[\Delta SBC\] vuông tại B.
d] Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
a] Kẻ \[SH[ABCD]\]
Do \[SA = SB = SD\] suy ra \[HA = HB = HC\]
\[ H\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ ABD\].
Ta có: \[AB = AD = a\] và \[\widehat{ BAD} = 60^0\] nên \[\Delta ABD\] là tam giác đều cạnh \[a\]\[ \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},\,\,AH = \dfrac{2}{3}AO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\]
Trong tam giác vuông \[SAH\], ta có: \[SA = {{a\sqrt 3 } \over 2};AH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\]
\[ \Rightarrow SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}\]
\[CH = AC - AH = 2AO - AH \] \[= 2.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\]
Trong tam giác vuông \[SHC\]: \[S{C^2} = S{H^2} + H{C^2}\Rightarrow SC = {{a\sqrt 7 } \over 2}\]
b] \[\left. \matrix{SH \bot [ABCD] \hfill \cr SH \subset [SAC] \hfill \cr} \right\} \Rightarrow [SAC] \bot [ABCD]\]
c] Ta có:
\[S{C^2} = \dfrac{{7{a^2}}}{4};\,\,B{C^2} = {a^2};\,\,S{B^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\]
\[ \Rightarrow S{C^2} = B{C^2} + S{B^2}\]
\[\Rightarrow \Delta SBC\] vuông tại \[B\]\[ \Rightarrow SB \bot BC.\]
Cách khác:
Ta có: \[SH \bot \left[ {ABD} \right] \Rightarrow SH \bot AD\].
\[H\] là tâm tam giác \[ABD\] nên \[BH\bot AD\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
BH \bot AD\\
SH \bot AD
\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left[ {SBH} \right]\]
Mà \[BC//AD\] nên \[BC\bot \left[ {SBH} \right]\]
\[ \Rightarrow BC \bot SB\]
d] Ta có:
\[\eqalign{
& \left. \matrix{
DB \bot AC \hfill \cr
SH \bot [ABCD] \Rightarrow SH \bot DB \hfill \cr} \right\} \cr &\Rightarrow DB \bot [SAC] \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
DB \bot {\rm{OS}} \hfill \cr
{\rm{DB}} \bot AC \hfill \cr} \right. \cr} \]
\[\left\{ \begin{array}{l}
\left[ {SBD} \right] \cap \left[ {ABCD} \right] = BD\\
SO \bot BD,AC \bot BD\\
SO \subset \left[ {SBD} \right]\\
AC \subset \left[ {ABCD} \right]
\end{array} \right.\]
Nên góc giữa [SBD] và [ABCD] bằng góc giữa SO và AC hay \[\widehat{ SOH}\] là góc giữa hai mặt phẳng \[[SBD]\] và \[[ABCD]\]
Ta có:
\[ SH = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}\] và \[OH = \dfrac{1}{3}AO = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\]
\[\Rightarrow \tan \varphi = \dfrac{{SH}}{{OH}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}}} = \sqrt 5 \]