Đề bài
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \[y = {x^2} + 1\], tiếp tuyến với đường này tại điểm \[M[2;5]\] và trục \[Oy\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y=f[x]\] tại điểm \[M[x_0;y_0]\] theo công thức: \[y=y'[x_0] [x-x_0]+y_0.\]
+] Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm nghiệm.
+] Tính diện tích hình phẳng thông qua tích phân.
Lời giải chi tiết
Ta có: \[y'=2x.\]
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y=x^2+1\] tại \[M[2;\, \, 5]\] là:\[y = y'\left[ 2 \right]\left[ {x - 2} \right] + 5 = 4\left[ {x - 2} \right] + 5 = 4x - 3.\]
Phương trình tiếp tuyến là \[y = 4x - 3\].
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với tiếp tuyến là: \[{x^2} + 1 =4x - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4= 0 \\ [x-2]^2=0 x = 2.\]
Do đó diện tích phải tìm là:
\[S=\int_{0}^{2}|x^{2}+1 -4x+3|dx \] \[=\int_{0}^{2}[x^{2}-4x+4]dx\]
\[=\left. {\left[ {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{4{x^2}}}{2} + 4x} \right]} \right|_0^2\]
\[=\dfrac{8}{3} \, \, [đvdt]\].