Điều kiện de bất phương trình có nghiệm thực
Nội Dung Chính
Tìm điều kiện của tham số để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âmTừ định lí về dấu tam thức bậc hai chúng ta có thể giải được các phương trình, bất phương trình tích, phương trình chứa căn, giải bất phương trình chứa căn. Đồng thời, từ đó có thể suy ra cách giải bài toán tìm điều kiện của tham số để tam thức bậc 2 (bất phương trình bậc hai) luôn dương, luôn âm với mọi \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\), tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi số thực \(x\), tìm điều kiện để bất phương trình vô nghiệm Đây là một dạng toán quan trọng, xuyên suốt chương trình Đại số và Giải tích ở cấp THPT. Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể ủng hộ chúng tôi bằng cách bấm vào các banner quảng cáo hoặc tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513. Xin cảm ơn! Để hiểu về các dạng toán tìm điều kiện để phương trình luôn đúng, vô nghiệm chúng ta cần thành thạo các dạng bàiLý thuyết và bài tập dấu tam thức bậc hai. Xem thêm ĐỀ CƯƠNG HỌC KÌ 2 TOÁN 10 1. Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âmBài toán 1. Cho tam thức bậc hai \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) >0\) với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R}\). Để giải quyết bài toán trên, chúng ta cần xét hai trường hợp:
Tương tự, chúng ta có các bài toán sau: Bài toán 2. Cho \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) <0\) với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R} \). Cần xét hai trường hợp:
Bài toán 3. Cho \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) \ge 0\) với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R} \). Xét hai trường hợp:
Bài toán 4. Cho hàm số \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) \le 0\) với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R} \). Để giải quyết bài toán trên, chúng ta cần xét hai trường hợp:
Ví dụ 1. Tìm \(m\) để hàm số \(f(x)=3 x^{2}+ x+m+1>0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Hướng dẫn. Hàm số \(f(x)=3 x^{2}+ x+m+1>0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \[\begin{cases} Ví dụ 2. Tìm \(m\) để biểu thức sau luôn dương với mọi \(x\) \[f(x)=(m-1) x^{2}+(2 m+1) x+m+1.\] Hướng dẫn.Chúng ta xét hai trường hợp:
Tóm lại, không tìm được giá trị nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu đề bài. 2. Tìm điều kiện để bất phương trình luôn đúng, vô nghiệmĐối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình luôn đúng (nghiệm đúng) với mọi \(x\) thuộc \( \mathbb{R}\) thì ta làm như phần trên. Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình vô nghiệm thì ta sử dụng các lập luận sau
Đây chính là 4 bài toán đã xét ở phần trước. Sau đây chúng ta sử dụng các kết quả trên để giải quyết một số bài tập. Ví dụ 1.Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \[ (m-1){{{x}}^{2}}+2(m-1)x+1\ge 0 \] nghiệm đúng với \( \forall x\in \mathbb{R} \). Hướng dẫn. Bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\in \mathbb{R}\) thì cũng chính là \[f(x)\ge 0,\, \forall x\in \mathbb{R},\] trong đó \(f(x)=(m-1){{x}^{2}}+2(m-1)x+1\). Do đó, chúng ta xét hai trường hợp:
Kết luận. Kết hợp cả 2 trường hợp, chúng ta có đáp số \( m\in \left[ 1;2 \right] \). Ví dụ 2. Cho hàm số \(f(x)=(m-1){{x}^{2}}+2mx-3\) trong đó \(m\) là tham số. Tìm tất cả giá trị của \(m\) để bất phương trình \(f(x)>0\) vô nghiệm. Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp:
Ví dụ 3. Cho \(f(x)=(m-2){{x}^{2}}-2(2-m)x+2m-1\), với \(m\) là tham số.
Hướng dẫn. 1. Phương trình \(f(x)=0\) nhận \(x=-2\) làm nghiệm khi và chỉ khi \(f(-2)=0\). Điều này tương đương với 2. Hàm số \( y=\sqrt{f(x)} \) được xác định với mọi giá trị của \(x\in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi:\[f(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\] \[ \Leftrightarrow (m-2){{x}^{2}}-2(2-m)x+2m-1\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\,\,\,\,(1) \] Chúng ta xét hai trường hợp:
Kết luận: Vậy các số thực \( m\ge 2 \) thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3. Bài giảng về bất phương trình bậc 2Chi tiết về các dạng toán trên, mời các bạn xem trong video sau: |