Giai thừa trong javascript

Hoán vị là sự sắp xếp các đối tượng theo một trật tự xác định. Các thành viên hoặc phần tử của các tập hợp được sắp xếp ở đây theo thứ tự hoặc thứ tự tuyến tính. Ví dụ: hoán vị của tập hợp A={1,6} là 2, chẳng hạn như {1,6}, {6,1}. Như bạn có thể thấy, không có cách nào khác để sắp xếp các phần tử của tập hợp A.

Trong hoán vị, các phần tử nên được sắp xếp theo một thứ tự cụ thể trong khi kết hợp, thứ tự của các phần tử không quan trọng. Ngoài ra, đọc. Hoán vị và Tổ hợp

Khi chúng tôi xem lịch trình của xe lửa, xe buýt và các chuyến bay, chúng tôi thực sự tự hỏi làm thế nào chúng được sắp xếp theo sự thuận tiện của công chúng. Tất nhiên, hoán vị rất hữu ích để chuẩn bị lịch trình khởi hành và đến nơi này. Ngoài ra, khi chúng ta bắt gặp biển số xe bao gồm một số bảng chữ cái và chữ số. Chúng ta có thể dễ dàng chuẩn bị các mã này bằng cách sử dụng hoán vị

Về cơ bản Hoán vị là sự sắp xếp các đối tượng theo một cách hoặc thứ tự cụ thể. Trong khi xử lý hoán vị, người ta nên quan tâm đến việc lựa chọn cũng như sắp xếp. Nói tóm lại, thứ tự là rất cần thiết trong hoán vị. Nói cách khác, hoán vị được coi là một tổ hợp có thứ tự.

Biểu diễn hoán vị

Chúng ta có thể biểu diễn hoán vị theo nhiều cách, chẳng hạn như

• \(\begin{array}{l}\large \mathbf{P(n,k)}\end{array} \)

• \(\begin{array}{l}\large \mathbf{P^{n}_{k}}\end{array} \)

• \(\begin{array}{l}\large \mathbf{_{n}P_{k}}\end{array} \)

• \(\begin{array}{l}\large \mathbf{^{n}P_{k}}\end{array} \)

• \(\begin{array}{l}\large \mathbf{P _{n}\, _{,k}}\end{array} \)

Công thức

Công thức hoán vị n đối tượng để chọn r đối tượng được cho bởi. P(n,r) = n. /(n-r).
Ví dụ: số cách trao vị trí thứ 3 và thứ 4 cho 10 thành viên là:.
P(10, 2) = 10. /(10-2). = 10. /số 8. = (10. 9. 8. )/số 8. = 10 x 9 = 90
Nhấp vào đây để hiểu cách tính giai thừa.

Các loại hoán vị

Hoán vị có thể được phân loại thành ba loại khác nhau

• Hoán vị của n đối tượng khác nhau (khi không cho phép lặp lại)
• Sự lặp lại, nơi cho phép lặp lại
• Hoán vị khi các đối tượng không phân biệt (Hoán vị của nhiều bộ)

Hãy để chúng tôi hiểu tất cả các trường hợp hoán vị một cách chi tiết

Hoán vị của n đối tượng khác nhau

Nếu n là số nguyên dương và r là số nguyên, sao cho r < n, thì P(n, r) biểu thị số lượng tất cả các cách sắp xếp hoặc hoán vị có thể có của n đối tượng riêng biệt được lấy r tại một thời điểm. Trong trường hợp hoán vị không lặp lại, số lượng lựa chọn khả dụng sẽ giảm đi mỗi lần. Nó cũng có thể được biểu diễn dưới dạng. nPr.

P(n, r) = n(n-1)(n-2)(n-3)……. tối đa r yếu tố

P(n, r) = n(n-1)(n-2)(n-3)……. (n – r +1)

\(\begin{array}{l}\large \Rightarrow P(n,r) = \frac{n. }{(n-r). }\end{mảng} \)

Ở đây, “nPr” đại diện cho .

Thí dụ. Có bao nhiêu từ 3 chữ cái có hoặc không có nghĩa có thể được tạo thành từ các chữ cái của từ SWING khi không được phép lặp lại các chữ cái?

Dung dịch. Ở đây n = 5, vì từ SWING có 5 chữ cái. Vì chúng ta phải sắp xếp 3 từ có nghĩa hoặc không có nghĩa và không lặp lại, do đó tổng số hoán vị có thể có là

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P(n,r) = \frac{5. }{(5-3). } = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 60\end{array} \)

Hoán vị khi cho phép lặp lại

Chúng ta có thể dễ dàng tính toán hoán vị với sự lặp lại. Hoán vị với sự lặp lại của các đối tượng có thể được viết bằng cách sử dụng dạng số mũ

Khi số lượng đối tượng là “n” và chúng ta có “r” là đối tượng được chọn, thì;

Chọn một đối tượng có thể theo n cách khác nhau (mỗi lần)

Do đó, hoán vị của các đối tượng khi được phép lặp lại sẽ bằng,

n × n × n × ……(r lần) = nr

Đây là công thức hoán vị để tính số lượng hoán vị khả thi cho việc lựa chọn các mục “r” từ các đối tượng “n” khi cho phép lặp lại

Thí dụ. Có bao nhiêu từ 3 chữ cái có hoặc không có nghĩa có thể được tạo thành từ các chữ cái của từ SMOKE khi cho phép lặp lại các từ?

Dung dịch

Số đối tượng, trong trường hợp này là 5, vì từ KHÓI có 5 bảng chữ cái

và r = 3, vì phải chọn từ có 3 chữ cái

Như vậy, hoán vị sẽ là

Hoán vị (khi cho phép lặp lại) = 53  = 125

Hoán vị của nhiều bộ

Hoán vị của n đối tượng khác nhau khi P1 đối tượng giữa 'n' đối tượng giống nhau, P2< objects of the second kind are similar, P3 objects of the third kind are similar ……… and so on, Pk objects of the kth kind are similar and the remaining of all are of a different kind,

Do đó, nó tạo thành một multiset, trong đó hoán vị được đưa ra là

\(\begin{array}{l} \mathbf{\large \frac{n. }{p_{1}. \; . \; . p_{n}. }}\end{mảng} \)

Sự khác biệt giữa Hoán vị và Tổ hợp

Sự khác biệt chính giữa hoán vị và kết hợp được đưa ra dưới đây

nPr = n. /(n-r).

nCr = n. /[r. (n-r). ]

Nguyên tắc đếm cơ bản

Theo nguyên tắc này, “Nếu một thao tác có thể được thực hiện theo ‘m’ cách và có n cách để thực hiện thao tác thứ hai, thì số cách để thực hiện cả hai thao tác cùng nhau là m x n “

Nguyên tắc này có thể được mở rộng cho trường hợp trong đó hoạt động khác nhau được thực hiện trong m, n, p,. . . . . . cách

Trong trường hợp này, số cách thực hiện lần lượt tất cả các thao tác là m x n x p x. . . . . . . . và như thế

Đọc thêm

• Hoán Vị Và Tổ Hợp Lớp 11
• Sự kết hợp

bài học video

Hoán vị và Tổ hợp

Các vấn đề dựa trên hoán vị

Các ví dụ đã giải quyết

ví dụ 1. Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh thành một hàng ngang sao cho

(i) Hai đứa con đặc biệt của họ luôn ở bên nhau

(ii) Hai đứa con đặc biệt của họ không bao giờ ở cùng nhau

Dung dịch

(i) Điều kiện đã cho là 2 học sinh cần ở cùng nhau, do đó chúng ta có thể coi họ là 1

Do đó, 7 phần còn lại đưa ra sự sắp xếp trong 5. cách, tôi. e. 120

Ngoài ra, hai đứa trẻ trong một dòng có thể được sắp xếp thành 2. cách

Do đó, tổng số cách sắp xếp sẽ là,

5. × 2. = 120 × 2 = 240 cách

(ii) Tổng số cách sắp xếp của 6 con sẽ là 6. , tôi. e. 720 cách

Trong tổng số sắp xếp, chúng tôi biết rằng hai đứa trẻ cụ thể khi ở cùng nhau có thể được sắp xếp theo 240 cách

Do đó, tổng số cách sắp xếp con mà hai con đặc biệt không bao giờ ở cạnh nhau sẽ là 720 – 240 cách, i. e. 480 cách

ví dụ 2. Xét tập hợp có 5 phần tử a,b,c,d,e. Có bao nhiêu cách chọn 3 phần tử (không lặp lại) trong tổng số phần tử

Dung dịch. Cho X = {a,b,c,d,e}

3 sẽ được chọn

Vì vậy,

\(\begin{array}{l}^{5}C_{3} = 10\end{array} \)

ví dụ 3. Cần xếp 5 nam và 4 nữ thành một hàng sao cho nữ chiếm các vị trí chẵn. Có bao nhiêu cách sắp xếp như vậy?

Giải pháp. Biết có 5 nam và 4 nữ.

i. e. có 9 vị trí

Các vị trí chẵn là. Vị trí thứ 2, 4, 6 và 8

Bốn chỗ này có thể được chiếm bởi 4 phụ nữ theo P(4, 4) cách = 4.  

= 4. 3. 2. 1

= 24 cách

5 vị trí còn lại có thể được đảm nhiệm bởi 5 người đàn ông trong P(5, 5) = 5.  

= 5. 4. 3. 2. 1

= 120 cách

Do đó, theo Nguyên tắc đếm cơ bản,

Tổng số cách sắp xếp chỗ ngồi = 24 x 120

= 2880

vấn đề thực hành

Thực hành các vấn đề được liệt kê dưới đây

1. Có bao nhiêu số nằm trong khoảng từ 100 đến 1000 có thể lập được bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 nếu không được lặp lại các chữ số
2. Bảy vận động viên đang tham gia một cuộc đua. Có bao nhiêu cách để giành được ba giải nhất

Để giải thêm các bài toán hoặc làm bài kiểm tra, hãy tải xuống BYJU'S – Ứng dụng Học tập

Câu hỏi thường gặp – FAQs